數(shù)學(xué)到底是什么？

數(shù)學(xué)及其思想是如何從古代、中世紀(jì)、近代一路走向現(xiàn)代的？

這其中經(jīng)歷過怎樣的轉(zhuǎn)折？

我們?yōu)槭裁匆私鈹?shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)？

學(xué)問發(fā)展的一個(gè)有趣之處就是“最前沿”與“最簡單”相連通，數(shù)學(xué)家經(jīng)過長年累月的思考，所研究的最難之處，其思考方法卻與小學(xué)生的思考方法相似?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的思考方法（僅指思考方法）與小學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)非常接近。

遠(yuǎn)山啟在其《數(shù)學(xué)與生活》系列中非常注重不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域、不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，而且是既有知識(shí)之間邏輯推理的聯(lián)系，也有歷史發(fā)展的先后承繼的聯(lián)系，讓讀者對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生可親近感。

新書《數(shù)學(xué)與生活5》更是延續(xù)以往風(fēng)格，著眼于數(shù)學(xué)思考方法的歷史發(fā)展，引導(dǎo)讀者對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更深刻的理解。

《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法》

作者 | [日]遠(yuǎn)山啟

譯者 | 武曉宇

01

數(shù)學(xué)的變遷

數(shù)學(xué)一直在變化，我想和大家聊聊這個(gè)話題，這將非常有助于各位理解數(shù)學(xué)，弄懂?dāng)?shù)學(xué)究竟是什么。

或許有人納悶：“數(shù)學(xué)真的在變化嗎？”這里說的“變化”，其實(shí)是數(shù)學(xué)在“容貌”上的變化。雖然數(shù)學(xué)的本質(zhì)沒有改變，但其“容貌”在從古代到現(xiàn)代的歷程中產(chǎn)生了諸多變化。了解這些變化，將能更好地從本質(zhì)上理解數(shù)學(xué)。

在所有學(xué)問中，數(shù)學(xué)恐怕是最古老的一門學(xué)問了。早在幾千年前人類文明剛剛開始的時(shí)候，數(shù)學(xué)這門學(xué)問便已萌芽。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)真可謂源遠(yuǎn)流長。

為了考察跨越幾千年的數(shù)學(xué)歷史，我們最好將其劃分為幾個(gè)時(shí)代，這樣會(huì)比較方便。本書的劃分方法并非學(xué)界定論，而是我根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出的劃分。我認(rèn)為這種劃分方法能讓各位更好地理解數(shù)學(xué)“容貌”的變化。

我將數(shù)學(xué)的歷史劃分為古代、中世紀(jì)、近代、現(xiàn)代四個(gè)時(shí)代，并將在后文中分別說明數(shù)學(xué)在這四個(gè)時(shí)代是如何變化的。

古代數(shù)學(xué)，是指古代文明時(shí)期誕生的數(shù)學(xué)。古代文明是指古埃及、古巴比倫、古印度和中國。這些文明以農(nóng)業(yè)為中心而誕生。這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)，現(xiàn)在多出現(xiàn)在小學(xué)數(shù)學(xué)的課程中。在古代與中世紀(jì)的交替之際，古希臘人開辟了全新的數(shù)學(xué)，之后數(shù)學(xué)就進(jìn)入了中世紀(jì)。在漫長的中世紀(jì)時(shí)期，為數(shù)學(xué)史劃分出下一個(gè)時(shí)代邊界的是17世紀(jì)的笛卡兒。大家可能都非常熟悉，笛卡兒構(gòu)想出了坐標(biāo)，而這就是近代數(shù)學(xué)的開端。近代數(shù)學(xué)從17世紀(jì)持續(xù)到19 世紀(jì)，而從20世紀(jì)起，數(shù)學(xué)就進(jìn)入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的階段。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)是進(jìn)入20世紀(jì)之后的數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)史中最新的那一段，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的前沿。正因?yàn)槿绱?，有些讀者可能覺得，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想相當(dāng)難，不是一兩天就能理解的。但實(shí)際上，從某種意義上來說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)反而比古代、中世紀(jì)、近代的數(shù)學(xué)更好理解，因?yàn)樗懈咏咏ＷR(shí)的一面。

從20世紀(jì)開始的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，從某種意義上說，其思考方法（僅指思考方法）與小學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)非常接近。也就是說，“最前沿”與“最簡單”相連通，這也是學(xué)問發(fā)展的一個(gè)有趣之處。數(shù)學(xué)家經(jīng)過長年累月的思考，所研究的最難之處，其思考方法卻與小學(xué)生的思考方法相似，真是有趣。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的很多構(gòu)想，比如集合，已經(jīng)逐漸進(jìn)入了學(xué)校的數(shù)學(xué)教科書中。而對(duì)于這些內(nèi)容，一些學(xué)生家長當(dāng)年上學(xué)時(shí)可能根本沒學(xué)過，當(dāng)孩子問家長相關(guān)內(nèi)容時(shí)，家長也就不知如何應(yīng)對(duì)。本書或許也能對(duì)這類家長有所幫助。

古代數(shù)學(xué)其實(shí)并沒有數(shù)學(xué)中常見的“定理—證明”體系，可以說是非常經(jīng)驗(yàn)性的東西。古代數(shù)學(xué)時(shí)期的著作，現(xiàn)在留存不多。這些書中會(huì)有一些名為“定理”的“一般性法則”，但這些所謂的“定理”并不是以“證明”的形式產(chǎn)生的。古代數(shù)學(xué)的著作，其形式多是收錄很多問題，并記錄這些問題的解答方法。

02

古代數(shù)學(xué)——古埃及、中國

想了解古代數(shù)學(xué)，其實(shí)只要回想一下小學(xué)的算術(shù)即可。公元前三四千年時(shí)，古埃及的數(shù)學(xué)書記錄的便是這類內(nèi)容。這些數(shù)學(xué)書的各章記載了相似的問題，并講述了問題的解法。此時(shí)的數(shù)學(xué)書沒有記錄“一般性法則”，而是通過讓研讀者不斷解題，最終自行獲得一般性的解法。

另外，中國有本較為古老的數(shù)學(xué)書叫《九章算術(shù)》。這部數(shù)學(xué)書總共由九章構(gòu)成，故得其名。《九章算術(shù)》具體的成書年代不詳。據(jù)研究者的推測(cè)，其內(nèi)容原本大約出現(xiàn)在中國的戰(zhàn)國時(shí)期，秦統(tǒng)一天下后，秦始皇焚書坑儒，《九章算術(shù)》這類數(shù)學(xué)書也未能幸免。在秦之后的漢代，有人搜集了散落在各地的殘章，重新整理、增補(bǔ)，編纂出了《九章算術(shù)》。中國有很多數(shù)學(xué)著作，《九章算術(shù)》是其中較為古老的一部，其寫作方式也與我們前文提到的相同：它沒有使用“定理—證明”的體系，而是收錄許多類似的題目，然后記錄這些題目的詳細(xì)解法。值得一提的是，與同時(shí)代其他地方的數(shù)學(xué)著作相比，《九章算術(shù)》的內(nèi)容是最先進(jìn)的。

《九章算術(shù)》第八章的題目為“方程”。這便是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的“方程”的術(shù)語起源。由此也可以看到，“方程”可謂歷史悠久的古物?！胺健笔恰氨容^”之意，“程”則指大小，也就是“量”之意。也就是說，“方程”即“對(duì)量進(jìn)行比較”?，F(xiàn)在的方程其實(shí)也有這層含義，即“對(duì)等號(hào)左右兩邊的量進(jìn)行比較，使其相等”。這就是我們今天所說的一次方程?！毒耪滤阈g(shù)》非常系統(tǒng)地記錄了這類方程的解法。但即便是《九章算術(shù)》這樣優(yōu)秀的數(shù)學(xué)著作，也沒有使用“定理—證明”的體系來撰寫，所以我之前才說古代數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)性的。

在當(dāng)時(shí)，《九章算術(shù)》是為官吏（政府的工作人員）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而編寫的。之前我們提到過的古埃及的數(shù)學(xué)書也是如此。這類書相當(dāng)于現(xiàn)在國家公務(wù)員考試的參考書，而不是大眾讀物。也就是說，如果不掌握這些書上的數(shù)學(xué)知識(shí)，那么當(dāng)時(shí)政府的工作人員就無法順利完成工作。例如，計(jì)算田地的面積就需要掌握四邊形、三角形、圓面積的相關(guān)知識(shí)。而且，在古代數(shù)學(xué)中，出現(xiàn)過即便從現(xiàn)在的角度看，水平也相當(dāng)高的數(shù)學(xué)內(nèi)容。例如，在古巴比倫的數(shù)學(xué)中，出現(xiàn)過現(xiàn)在的二次方程的解法。

數(shù)學(xué)究竟是如何發(fā)展出這些內(nèi)容的呢？

我認(rèn)為是當(dāng)時(shí)的社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)提出了這種程度的要求。例如，維持國家的運(yùn)轉(zhuǎn)需要有效的行政系統(tǒng)，那自然就需要建立稅收系統(tǒng)。另外，修建道路、興建治理河流的水利工程以及建造金字塔之類的大型建筑，這些都需要管理者具備相當(dāng)高水平的數(shù)學(xué)知識(shí)。

由此可見，數(shù)學(xué)果然不是頭腦中單純的思維游戲，它的發(fā)展是在社會(huì)發(fā)展需求的刺激下產(chǎn)生的，在古代文明時(shí)期尤其是這樣。

在以農(nóng)業(yè)為主的古代文明國家中，還有一門學(xué)問與數(shù)學(xué)一起獲得了發(fā)展，那就是天文學(xué)。古代天文學(xué)的發(fā)展，絕不是因?yàn)楣糯顺鲇跇啡とヌ魍强眨菫榱藵M足農(nóng)業(yè)上的需求。

對(duì)于農(nóng)業(yè)而言，了解氣候，也就是了解季節(jié)之事是最重要的。我們現(xiàn)在都知道，一年有365天，但古時(shí)候的人們最初并不知道這一點(diǎn)，這其實(shí)是長時(shí)間觀星而得出的結(jié)果。如果不明白這一點(diǎn)，那么人們就無法知道應(yīng)該在什么時(shí)候播種。了解時(shí)節(jié)變化，把握季節(jié)更替，對(duì)于農(nóng)業(yè)國家而言至關(guān)重要。即使到了現(xiàn)代，雖然住在城市里的人已不用再過多關(guān)注季節(jié)變化，與播種之類的事情也漸行漸遠(yuǎn)，但對(duì)于依舊從事農(nóng)業(yè)的人而言，不了解季節(jié)之變可以說就無法生存。所以，以農(nóng)業(yè)為主的古代國家，其天文學(xué)自然會(huì)得到發(fā)展。

天文學(xué)的發(fā)展中會(huì)出現(xiàn)計(jì)算方面的需求，而這則會(huì)刺激數(shù)學(xué)的發(fā)展?？梢哉f，這是數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。古代數(shù)學(xué)的“容貌”，大致就是如此了。

03

古希臘數(shù)學(xué)與泰勒斯

古代數(shù)學(xué)進(jìn)化到下一階段，其契機(jī)來自古希臘文明。大約在公元前6世紀(jì)到公元前5世紀(jì)，古希臘文明登上歷史舞臺(tái)。與古埃及、古巴比倫等文明不同，古希臘的農(nóng)業(yè)并不繁榮，出產(chǎn)的農(nóng)作物多是橄欖、葡萄等。

古希臘以商業(yè)貿(mào)易為主，即將橄欖、葡萄等產(chǎn)物用船賣到地中海附近的地區(qū)。也正因?yàn)槿绱?，古希臘所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)也不同于之前那些以農(nóng)業(yè)為主的文明古國。

各位讀者可能在課堂中聽說過古希臘的七賢之首泰勒斯（約前624 —約前547）。泰勒斯常被稱為古希臘哲學(xué)的開山鼻祖，他其實(shí)也是古希臘數(shù)學(xué)的開山鼻祖。另外，據(jù)說泰勒斯還是一位商人，頭腦非常好，做生意做得也挺成功。

那個(gè)時(shí)期的古希臘人會(huì)頻繁到古埃及和古巴比倫做生意，得益于此，古希臘人也學(xué)習(xí)了古代數(shù)學(xué)的成果。之后，古希臘人用一種全新的思考方法將數(shù)學(xué)推進(jìn)到了一個(gè)全新的階段。這種新的思考方法是什么呢？那就是古代數(shù)學(xué)中所欠缺的“證明”。

泰勒斯本人并沒有撰寫過任何著作。在那個(gè)時(shí)期，人們似乎并不把寫書看作了不起的事情。當(dāng)時(shí)的著書者，多被世人看作二流之人，而非一流。例如，耶穌本人沒有寫過書，釋迦牟尼也沒有。佛經(jīng)多是釋迦牟尼的弟子對(duì)其說教的記錄。蘇格拉底（前470 — 前 399）自己也未曾寫書，其話語大多由他的弟子柏拉圖（前427 — 前 347）以“對(duì)話”的形式記錄下來。中國的孔子也是如此，《論語》也是由其弟子記錄孔子的言論而寫成的。在那個(gè)時(shí)期，偉大的思想家自己都不怎么寫書。

泰勒斯也是此類“不著書者”之一。他思考的事情，以及他是如何思考的，也都是由他人記錄下來的。當(dāng)然，這些記錄中也包括他對(duì)數(shù)學(xué)的思考。據(jù)說，泰勒斯的數(shù)學(xué)成就之一便是提出了三角形全等的判定定理，即兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。換言之，如果三角形的兩個(gè)角及其夾邊確定，那么這個(gè)三角形便確定了。泰勒斯最先提出了這個(gè)三角形全等的判定定理，并對(duì)其進(jìn)行了證明。

其實(shí)，泰勒斯之所以會(huì)提出這個(gè)定理，與他所從事的生意有很大的關(guān)系，或者說和他父親是往返于地中海的商人有很大的關(guān)系。如果想通過海岸線上的兩點(diǎn)來判斷在近海上航行的船只的位置，那么就可以使用這個(gè)定理。例如，可以測(cè)量陸地海岸線上的兩個(gè)點(diǎn)分別到船只方位的角度，知道了這兩個(gè)角度以及兩點(diǎn)間的距離，便可以確定一個(gè)三角形，也就可以確定船的位置。另外，據(jù)說泰勒斯還證明了“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”。

泰勒斯將“證明”一詞帶到了數(shù)學(xué)中。此后，“證明”，即“描述一般性法則，并對(duì)其進(jìn)行證明”，成了數(shù)學(xué)中不可或缺之物。從這層意義上說，古希臘以前的數(shù)學(xué)與古希臘之后的數(shù)學(xué)，可謂大不相同。就這樣，古希臘人開辟了數(shù)學(xué)的新時(shí)代。

《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法》

作者：[日]遠(yuǎn)山啟

譯者：武曉宇

• 走向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的通道：一本書講明現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)和意義，讀懂百年數(shù)學(xué)。高中生應(yīng)該人手一冊(cè)。

• 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“通關(guān)地圖”：針對(duì)數(shù)學(xué)教育中的“知識(shí)碎片化”問題，獨(dú)創(chuàng)性地用“結(jié)構(gòu)”（群/域/拓?fù)淇臻g）串聯(lián)現(xiàn)代數(shù)學(xué)核心領(lǐng)域，通過同構(gòu)、同態(tài)等統(tǒng)一視角，將離散的代數(shù)、幾何、分析知識(shí)整合為有機(jī)體系。

本書是關(guān)于“數(shù)學(xué)是什么”的通俗科普讀物。作者著眼于數(shù)學(xué)思考方法的發(fā)展，將數(shù)學(xué)劃分為古代數(shù)學(xué)、中世紀(jì)數(shù)學(xué)、近代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)，以生動(dòng)的講述方法清晰呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，并結(jié)合日常經(jīng)驗(yàn)講述了諸多數(shù)學(xué)概念與思想的來源與發(fā)展。此外，本書還通俗地講述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要概念與方法，引導(dǎo)讀者對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更深刻的理解。

《數(shù)學(xué)與生活》系列

作者：[日]遠(yuǎn)山啟

譯者：武曉宇等

勾勒數(shù)學(xué)“通關(guān)地圖”，開創(chuàng)數(shù)學(xué)“全局認(rèn)知”

生活故事 詮釋小學(xué)至大學(xué)數(shù)學(xué)的原理與精髓！

人性思維 消解“應(yīng)試數(shù)學(xué)”帶來的數(shù)學(xué)恐懼感！

• 《數(shù)學(xué)與生活》：五年級(jí)以上中小學(xué)生，生活與數(shù)學(xué)的緊密結(jié)合

• 《數(shù)學(xué)與生活2：要領(lǐng)與方法》：五年級(jí)以上全體學(xué)生，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法、思考法

• 《數(shù)學(xué)與生活3：無窮與連續(xù)》：初中以上，無窮、極限、微積分等概念入門

• 《數(shù)學(xué)與生活4：函數(shù)》：初中以上，函數(shù)入門

• 《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法 》：初中以上，高中生和大本階段尤其需要好好讀