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幾何學(xué)的起源或許可以追溯到數(shù)千年前的古代土地測量，但它對現(xiàn)代物理學(xué)的影響卻令人驚嘆。在最新一期量子雜志播客《因悅The Joy of Why》（舊譯名：為何之樂、追問的樂趣）中，何楊輝探討了幾何學(xué)的演變及其通過人工智能展現(xiàn)的未來潛力。

圖源：Peter Greenwood | Quanta Magazine

作者：史蒂文·斯特羅加茨（播客主持人）、詹娜·萊文（專欄作家） 2025-5-15

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-6-7

幾何學(xué)是人類歷史上最古老的學(xué)科之一，但其描述的世界已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出最初用途。這門始于數(shù)千年前用于丈量土地和建造金字塔的學(xué)問，在古希臘被歐幾里得賦予嚴(yán)謹(jǐn)體系，19世紀(jì)被應(yīng)用于曲線和曲面研究，最終幫助愛因斯坦理解宇宙。

何楊輝（Yang-Hui He，倫敦數(shù)學(xué)科學(xué)研究所理論物理學(xué)家）將幾何學(xué)視為現(xiàn)代物理學(xué)的統(tǒng)一語言，認(rèn)為兩者相互影響、相互塑造。在《因悅The Joy of Why》最新一期中，他向聯(lián)合主持人史蒂文·斯特羅加茨講述了幾何學(xué)如何從古代文明的實(shí)用根源，發(fā)展到對廣義相對論和弦理論的影響，并推測人工智能可能如何徹底改變這一領(lǐng)域。

他們還討論了形式化嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)與直覺驅(qū)動的洞察力之間的張力，以及為何數(shù)學(xué)家分為兩類——俯瞰思想全景的“飛鳥型”，和深耕特定理念的“刺猬型”。

斯特羅加茨：我是史蒂文·斯特羅加茨（Steven Strogatz）。

萊文：我是詹娜·萊文（Steven Strogatz）。

斯特羅加茨：這里是《因悅The Joy of Why》，量子雜志推出的播客節(jié)目，探索當(dāng)今數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域一些最大的未解之謎。

萊文：嗨！

斯特羅加茨：嗨，詹娜。很高興見到你。

萊文：很高興見到你。

斯特羅加茨：我想和你聊聊一個你會感興趣的話題。

萊文：好吧，我已經(jīng)被勾起了興趣。

斯特羅加茨：是的，我覺得這正合你意：幾何學(xué)。

萊文：哦，不錯。是啊，我們目之所及處處是幾何。

斯特羅加茨：確實(shí)如此，對吧？我妻子喜歡藝術(shù)，有一次她問我，如果我們的房間有七英尺高的天花板，我有一塊八英尺的畫布，把它斜靠在墻角，它會在地板上伸出多遠(yuǎn)？

萊文：所以你真的用切線理論讓她大開眼界？

斯特羅加茨：召喚出畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）。

萊文：是啊。這對婚姻很有好處。

斯特羅加茨：畢達(dá)哥拉斯確實(shí)幫了我們婚姻一點(diǎn)忙，因?yàn)樗_實(shí)想知道，這會占用多少空間？這塊畫布會占很多地板面積嗎？

萊文：沒錯。你看過那種從側(cè)面看才能顯現(xiàn)畫面的畫嗎？比如看到一張臉的圖像？

斯特羅加茨：對，對。

萊文：這些投影幾何的概念，我認(rèn)為可能存在于很多藝術(shù)實(shí)踐中。也許創(chuàng)作者并未意識到自己在運(yùn)用幾何，但這本質(zhì)上就是幾何學(xué)。

斯特羅加茨：是的，這是我們作為視覺生物的全部體驗(yàn)。

萊文：哦，是的。這很有趣。我的一些朋友可能以為我們只是在討論三角形，但愛因斯坦用幾何理論完全取代了引力理論。這非常精妙。宇宙就是一種幾何結(jié)構(gòu)。

斯特羅加茨：你如此推崇幾何學(xué)，我并不感到驚訝。

萊文：沒錯。

斯特羅加茨：最近我有機(jī)會和一位志同道合者交談。他是理論物理學(xué)家何楊輝，熱愛幾何學(xué)，將幾何視為現(xiàn)代物理學(xué)的統(tǒng)一語言。

萊文：嗯。哦，真棒。

斯特羅加茨：我想你會喜歡聽他的見解。這位是來自倫敦數(shù)學(xué)科學(xué)研究所和牛津大學(xué)的何楊輝。

萊文：太棒了。讓我們開始吧。

斯特羅加茨：嗨，何楊輝。很高興見到你。

何楊輝：榮幸之至。很高興見到你。

斯特羅加茨：告訴我，你現(xiàn)在在哪里？

何楊輝：我現(xiàn)在在倫敦數(shù)學(xué)科學(xué)研究所，這里曾是邁克爾·法拉第（Michael Faraday，1791 - 1867）生活和工作的房間。所以這是非常特別、令人興奮的地方。能在這里我感到非常榮幸。

斯特羅加茨：太不可思議了。邁克爾·法拉第，你能提醒我們他是誰嗎？

何楊輝：邁克爾·法拉第可以說是維多利亞時代最偉大的科學(xué)家。法拉第籠、電動機(jī)的先驅(qū)。他與我的偶像麥克斯韋相遇，法拉第是實(shí)驗(yàn)家，麥克斯韋是數(shù)學(xué)家，他們共同開創(chuàng)了電磁理論。所以這是個非常令人興奮的地方。他們就是在這堵墻后面的房間見面的。我們有一系列漂亮而令人振奮的工作空間。

斯特羅加茨：非常激動人心。我已經(jīng)看出你對科學(xué)史很感興趣?？梢韵胂笤谶@種圣地工作對你來說多么令人振奮。

何楊輝：我覺得自己非常幸運(yùn)，因?yàn)槲乙丛诜ɡ谒诘倪@座18世紀(jì)建筑里，要么在牛津大學(xué)的默頓學(xué)院，那里曾有許多偉人駐足。我是個崇拜英雄的人。這就是我如此熱愛歷史的原因。

斯特羅加茨：我注意到你曾在普林斯頓待過一段時間，那里也有許多數(shù)學(xué)和物理學(xué)界的偉人。

何楊輝：確實(shí)。

斯特羅加茨：特別是其中一位；我想知道你是否去朝圣過他的故居之類的。

何楊輝：哦，當(dāng)然。事實(shí)上，我在普林斯頓讀大一做的第一件事，就是放下行李直奔默瑟街112號尋找愛因斯坦的故居，大膽走進(jìn)去問這里是不是博物館。一位女士和藹地開門說，很遺憾這是私人住宅。

多年后我才知道，那位女士其實(shí)是弗蘭克·維爾切克（Frank Wilczek，1951 -）的妻子，他搬到普林斯頓的條件就是得到愛因斯坦的故居。多年后我和這家人成了朋友，我把這個故事告訴了弗蘭克，他覺得很有趣。

斯特羅加茨：確實(shí)有趣。告訴你，我在普林斯頓讀大一時，也去參觀過。

何楊輝：哦，你也是？太好了。加油，老虎隊(duì)（普林斯頓大學(xué)吉祥物是老虎，zzllrr小樂譯注）。

斯特羅加茨：我也去朝圣過愛因斯坦故居，做了和你一樣的事。我敲門后，一位老婦人開門對我說這是私人住宅，但這位正是愛因斯坦的秘書海倫·杜卡斯（Helen Dukas）。

何楊輝：哦，不會吧。哇。你知道我還做過什么瘋狂事嗎？我花了多個周日下午在普林斯頓公墓學(xué)習(xí)，因?yàn)楦绲聽枺↘urt G?del，1906 - 1978）和馮·諾伊曼（John von Neumann，1903 - 1957）的墓地之間有一片草地。

斯特羅加茨：真的嗎？

何楊輝：他們被安葬在彼此旁邊。所以我經(jīng)常去那片草地上做量子力學(xué)習(xí)題或測度論習(xí)題，試圖沾些靈氣。但從未成功過。

斯特羅加茨：他們的墓穴真的是緊挨著的嗎？

何楊輝：千真萬確，就緊挨著。

斯特羅加茨：這我倒不知道。

何楊輝：那里有個非常奇妙的小空間。

斯特羅加茨：好吧，我們可以聊上一整天各種話題。

何楊輝：我想我們會成為很好的朋友。

斯特羅加茨：我很期待。雖然這是我們第一次見面交談，但讓我們深入探討這個非常經(jīng)典的主題。很多聽眾可能對幾何學(xué)的印象還停留在中學(xué)幾何課，在大眾認(rèn)知里這不是當(dāng)代數(shù)學(xué)家的主流研究方向。請談?wù)勀愕慕?jīng)歷，是從小就對幾何感興趣嗎？

何楊輝：最初吸引我的是數(shù)學(xué)物理，因?yàn)榕ｎD和愛因斯坦。當(dāng)我試圖理解學(xué)習(xí)狹義相對論、廣義相對論時，發(fā)現(xiàn)必須研究高等幾何。諷刺的是，我越深入研究，對幾何本身的興趣反而超過了最初追求的數(shù)學(xué)物理。

斯特羅加茨：所以你說的幾何是帶修飾詞的“高等幾何”，不是三角形和平行公設(shè)那種幾何，而是微分幾何之類的？

何楊輝：完全正確。我十幾歲就想研究微分幾何，因?yàn)檫@是理解廣義相對論等現(xiàn)代物理理論必需的工具。當(dāng)時我對歐幾里得幾何其實(shí)沒什么興趣。

在代數(shù)派與幾何派的分野中，我更喜歡代數(shù)符號運(yùn)算。但后來走上這條研究微分幾何的道路后，才逐漸意識到歐幾里得古典幾何那種水晶般清晰的公理化表述才是數(shù)學(xué)的真金。這是個漫長的認(rèn)知過程。

斯特羅加茨：真有趣，竟是隨著閱歷增長才開始欣賞更基礎(chǔ)的學(xué)科。

何楊輝：正是。當(dāng)時太年輕，沒能領(lǐng)悟這種絕對的美。

斯特羅加茨：這很有意思，因?yàn)槲以暾埻顺鲋袑W(xué)幾何課，覺得太枯燥。后來學(xué)校體貼地把我調(diào)到了微積分預(yù)備班，導(dǎo)致我至今缺少某些基礎(chǔ)幾何知識。

何楊輝：我也在重讀古典公理，發(fā)現(xiàn)它們?nèi)绱撕啙崈?yōu)美。

斯特羅加茨：剛才提到的微分幾何，為什么你認(rèn)為它如此重要？

何楊輝：就現(xiàn)代物理學(xué)而言——這里“現(xiàn)代”指的是20世紀(jì)后的物理學(xué)，以區(qū)別于牛頓物理學(xué)——其中一個核心思想就是要突破歐幾里得幾何的框架，不再拘泥于歐幾里得公理體系下的平面與平面直線相交概念。

我認(rèn)為這正是愛因斯坦的偉大洞見。他意識到要構(gòu)建這種自洽的廣義相對論，就需要非歐幾何這個數(shù)學(xué)工具——需要彎曲的時空連續(xù)體。

當(dāng)然，這要?dú)w功于黎曼（Riemann）、羅巴切夫斯基（Lobachevsky）和鮑耶（Bolyai）三人在19世紀(jì)末奠定的局部幾何理論（即彎曲幾何，現(xiàn)稱微分幾何）。愛因斯坦的過人之處，就在于敏銳地識別出這正是他所需的理論工具。

斯特羅加茨：這里的好東西實(shí)在太多了。在告別歐氏幾何前，我想與你共同探討它對人類歷史的深遠(yuǎn)影響。你想必了解美索不達(dá)米亞、埃及乃至世界各地的幾何學(xué)發(fā)展。那么幾何學(xué)究竟源起何處？為何早在公元前3000年那樣的遠(yuǎn)古時代，人類就開始研究幾何？

何楊輝：確實(shí)，這是個極好的問題?！皫缀巍边@個詞本身源自希臘語，字面意思是“測量土地”。但這個學(xué)科的出現(xiàn)其實(shí)更早——現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)的古巴比倫泥板上就有勾股定理，中國古代和印度的石刻中也有記載。這些都是我們觀察周遭世界時最基礎(chǔ)的發(fā)現(xiàn)，我認(rèn)為這體現(xiàn)了人類與生俱來的本能。

我們最先感知到的世界本質(zhì)就是幾何性的：形狀、大小、距離，這種認(rèn)知逐漸演化成理解事物關(guān)系的需求。但真正從嚴(yán)謹(jǐn)角度系統(tǒng)構(gòu)建幾何學(xué)的榮譽(yù)，確實(shí)要?dú)w于古希臘人。

比如歐幾里得，他的《幾何原本》十三卷匯集了當(dāng)時所有古代數(shù)學(xué)知識，其中九卷都專注于幾何學(xué)——正因?yàn)檫@是最直觀的學(xué)科。

斯特羅加茨：讓我理解下你所說的區(qū)別。在前歐幾里得時代，無論是印度的神廟還是埃及的金字塔建造，幾何學(xué)已用于神圣建筑、土地測量，或許還有部分天文學(xué)。但后來歐幾里得引入了嚴(yán)謹(jǐn)性和公理體系的概念。

中學(xué)老師總愛強(qiáng)調(diào)幾何是學(xué)習(xí)證明的起點(diǎn)——在更基礎(chǔ)的課程里很少涉及證明，但幾何課人人都會接觸。為何這在人類思想史上如此重要？

何楊輝：我認(rèn)為這正是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。沒有精確定義、嚴(yán)格證明和嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)，數(shù)學(xué)就不復(fù)存在。歐幾里得之前當(dāng)然已有思想流派，但他將前人智慧匯集起來，用精確語言系統(tǒng)闡述。

幾何學(xué)正是通向這種語言最直觀的路徑，這正是《幾何原本》的非凡之處，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的奠基之作。

雖然書中還包含初等數(shù)論等內(nèi)容（比如著名的素數(shù)無限性證明），但幾何論證的直觀性無可比擬——你可以真切看到一個三角形，然后嘗試用嚴(yán)謹(jǐn)方式定義這個我們早已熟知的圖形，這實(shí)在美妙。

斯特羅加茨：確實(shí)有趣。我們談到歐幾里得對教育及人類文化（不僅是西方文明，更是世界文明）的遺產(chǎn)。你提到羅巴切夫斯基、鮑耶等人，能否為不太了解這些學(xué)者的聽眾講講歐幾里得之后幾何學(xué)的發(fā)展？公元前300年有歐幾里得，然后呢？

何楊輝：之后各文明都在某些方面有所發(fā)展，彼此間必有交流。耐人尋味的是，這種經(jīng)典歐氏方法直到牛頓時代仍是核心——牛頓在構(gòu)建定律、推導(dǎo)行星運(yùn)動時，使用的并非現(xiàn)代微積分符號體系。

《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中大量推導(dǎo)純靠幾何完成，他甚至用笨拙的幾何累加法推導(dǎo)出高斯定律，這不僅是純數(shù)學(xué)的成就，更為數(shù)學(xué)物理確立了幾何化思維范式。

高斯——這位史上最偉大的數(shù)學(xué)家，與羅巴切夫斯基、鮑耶是同時代人。而這兩位甚至比高斯更早萌生了一個顛覆性的想法：如果放寬歐幾里得的一條公設(shè)（即著名的平行公設(shè)）會怎樣？該公設(shè)規(guī)定：給定一條直線和直線外一點(diǎn)，有且僅有一條平行線能通過該點(diǎn)。

他們試圖推翻這條公設(shè)，構(gòu)建了若干替代性公理，最終開創(chuàng)了一種全新的幾何體系。高斯深受啟發(fā)，隨后與黎曼共同奠定了這一領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)。

實(shí)際上，黎曼的教授資格論文答辯題目就是《論幾何學(xué)基礎(chǔ)》，高斯正是答辯評委之一。黎曼發(fā)展的正是我們現(xiàn)在所稱的微分幾何——對經(jīng)典歐氏幾何的廣義拓展。

斯特羅加茨：嗯...你提到更接近我們這個時代的愛因斯坦也受到黎曼幾何的影響。那么愛因斯坦是如何運(yùn)用這套來自黎曼的數(shù)學(xué)理論的？

何楊輝：這正體現(xiàn)了愛因斯坦的天才之處。他擁有近乎超人的直覺...總能精準(zhǔn)把握關(guān)鍵要素。狹義相對論的誕生堪稱神來之筆——其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不過是高中代數(shù)水平，但他通過思想實(shí)驗(yàn)擺弄時鐘和量桿，就意識到這才是正確路徑。我不確定具體時間線，或許他先有這種直覺，然后才向格羅斯曼Grossman等數(shù)學(xué)家朋友（甚至可能是他妻子米列娃Mileva）請教合適的數(shù)學(xué)工具，而這套工具恰好就是黎曼早已構(gòu)建的體系。

斯特羅加茨：??！你讓我想到許多值得探討的方向。比如歐幾里得代表的嚴(yán)謹(jǐn)性——人們常將幾何與嚴(yán)密證明、絕對確定性聯(lián)系在一起，那些歷經(jīng)千年依然屹立不倒的定理。但數(shù)學(xué)物理還有另一面：直覺。能談?wù)勥@個嗎？

何楊輝：菲爾茲獎得主米爾諾有篇精彩論文...

斯特羅加茨：約翰·米爾諾（John Milnor，1931 -）。

何楊輝：正是。米爾諾精辟地指出：人們總以為數(shù)學(xué)家的工作就是枯燥的形式化定義，但實(shí)際上我們往往先憑直覺探索，再逆向構(gòu)建嚴(yán)格定義。這種數(shù)學(xué)直覺主義正是阿諾德大力推崇的

這位大師甚至稱數(shù)學(xué)是物理學(xué)的分支，說“數(shù)學(xué)是最廉價的物理實(shí)驗(yàn)”，這話實(shí)在太妙了！

某種程度上，這是對布爾巴基學(xué)派的反叛。那群法國數(shù)學(xué)家推崇極端形式化、干巴巴的定義式數(shù)學(xué)。但阿諾德和米爾諾都認(rèn)為：數(shù)學(xué)的樂趣根本不在于此。不過說實(shí)話，大多數(shù)數(shù)學(xué)家本來就不那么工作。

斯特羅加茨：這是個有趣的社會學(xué)現(xiàn)象?？v觀數(shù)學(xué)史，總能看見兩種沖動在角力：直覺派與可視化派永遠(yuǎn)在相互制衡。

就像拉格朗日曾在《分析力學(xué)》序言里驕傲宣稱全書不用一張圖示——他認(rèn)為視覺化是敵人，圖形可能誘導(dǎo)錯誤認(rèn)知。

所以聽你回顧學(xué)術(shù)生涯特別有意思：你說自己最初癡迷代數(shù)演算，后來才逐漸領(lǐng)悟幾何直觀之美。這種認(rèn)知轉(zhuǎn)變本身就印證了數(shù)學(xué)思想史的辯證發(fā)展。

何楊輝：你看，我這輩子就在不斷搖擺。就像人們說音樂品味的變化——年輕時聽莫扎特，青春期迷戀浪漫派，成熟后鐘情巴赫，臨終前又回歸莫扎特。據(jù)說馬勒臨終時最后的囈語就是“莫扎特...莫扎特...”。

斯特羅加茨：真的嗎？

何楊輝：某種意義上，莫扎特的純粹性就像歐式幾何一樣永恒。

斯特羅加茨：這很有趣，因?yàn)閯?chuàng)造力的源泉究竟在哪里？我們討論的其實(shí)是數(shù)學(xué)在人類心智中的誕生過程。作為能在世界中移動、觀察的生物，我們天生具有直覺。我們總在說“直覺”——讓我問個難題：你說的直覺究竟指什么？

何楊輝：要追溯學(xué)派的話，數(shù)學(xué)史上確實(shí)存在直覺主義學(xué)派，與之對立的是希爾伯特的形式主義，以及羅素和懷特海那種極端形式化體系。不過說到直覺...我終究還是要談到AI人工智能。我一直在思考所謂“自下而上”和“自上而下”的數(shù)學(xué)方法論差異。

斯特羅加茨：這兩個概念是指？

何楊輝：自下而上的數(shù)學(xué)就是希爾伯特、羅素那種逐行構(gòu)建的公理化體系——可以說是歐幾里得式的。

而自上而下則是直覺引導(dǎo)的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)：我會綜合公式、論述、論文等各種數(shù)據(jù)，形成初步認(rèn)知，在腦中建立某種預(yù)判，再沿著這個方向探索。

但數(shù)學(xué)最妙之處在于可以驗(yàn)證對錯。高斯繪制素數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)π(X)就是個經(jīng)典案例——他僅憑觀察散點(diǎn)圖就直覺判斷出π(X)≈X/lnX。

最驚人的是，歷史記載顯示他當(dāng)時甚至為此發(fā)明了回歸分析這種統(tǒng)計(jì)方法。這究竟是怎么做到的？

斯特羅加茨：按你的描述，高斯是通過觀察實(shí)例來研究的。比如我們知道100以內(nèi)有25個質(zhì)數(shù)，然后可以繼續(xù)統(tǒng)計(jì)1000以內(nèi)有多少個——就這樣記錄每個數(shù)以內(nèi)的質(zhì)數(shù)數(shù)量，而高斯竟能從中猜出這個函數(shù)的近似公式。

你把這稱為直覺，因?yàn)樗殚喠舜罅繑?shù)據(jù)。事實(shí)上傳說——很可能是真事——他手工編制了龐大的質(zhì)數(shù)表。

何楊輝：純手工??！據(jù)說他整理了數(shù)萬條數(shù)據(jù)，超過十萬后就力不從心了。想想這位可憐的天才當(dāng)時的工作量...

斯特羅加茨：但你堅(jiān)持把這歸為直覺而非實(shí)驗(yàn)證據(jù)？

何楊輝：我認(rèn)為直覺正是建立在這種實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的。首先，單是想到要定義質(zhì)數(shù)計(jì)數(shù)函數(shù)就夠天才了——質(zhì)數(shù)本是不連續(xù)的離散對象，他卻突發(fā)奇想：“我要用連續(xù)函數(shù)來研究這個”。然后繪制曲線、計(jì)算估值，最終猜出π(X)≈X/lnX這個形式。這種近乎神啟的數(shù)學(xué)直覺，是所有偉大數(shù)學(xué)家的共同特質(zhì)。

斯特羅加茨：二者的區(qū)別在于： 自下而上（按你的術(shù)語用法）是指從基礎(chǔ)構(gòu)建——從堅(jiān)實(shí)的定義、公理出發(fā)。你就像一臺機(jī)器，逐步推導(dǎo)定理。每一步都穩(wěn)扎穩(wěn)打，因?yàn)樗薪Y(jié)論都源自根基。

而自上而下則更像是：你作為世界中的存在者觀察現(xiàn)象。好比嬰兒用嘴探索物品，通過不同形狀觸碰嘴唇的觸感來認(rèn)知世界。又比如高斯研究數(shù)表時，數(shù)據(jù)逐漸賦予他對世界規(guī)律的直覺——這種不依賴定義構(gòu)建、憑借直覺把握數(shù)學(xué)的方式，就是你說的“自上而下”。

何楊輝：精辟！這讓我想起俄羅斯學(xué)派的比喻——他們用鳥和刺猬來區(qū)分這兩種思維。

斯特羅加茨：??！弗里曼·戴森（Freeman Dyson，1923 - 2020）那篇《飛鳥與青蛙》的著名文章...

何楊輝：確實(shí)。我認(rèn)為這個理念最早源自希臘關(guān)于狐貍與刺猬的寓言——狐貍通曉百事，刺猬專精一術(shù)。不過我最初聽到的版本來自普林斯頓的俄國教授們。我入學(xué)時正值蘇聯(lián)解體不久，美國學(xué)術(shù)界涌入了大批頂尖的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家。

我們這代學(xué)生何其幸運(yùn)，能師從雅科夫·西奈（Yakov Sinai）、薩沙·波利亞科夫（Sasha Polyakov）、薩沙·米格達(dá)爾（Sasha Migdal）等大師。他們不僅傳授了許多當(dāng)時我們根本消化不了的高深知識，更帶來了鮮活的學(xué)術(shù)哲學(xué)——畢竟蘇聯(lián)學(xué)派深受朗道（Landau）、阿諾德（Arnold）等思想巨匠的影響，學(xué)術(shù)氛圍極為活躍。

西奈和麥克道爾等人是這樣詮釋的：有些學(xué)者像飛鳥或雄鷹，能迅速掠過數(shù)學(xué)蒼穹俯瞰全貌；另一些則如刺猬般向深處掘進(jìn)。這種二分法深刻影響了我的思考。

但必須強(qiáng)調(diào)，這兩種特質(zhì)在科學(xué)探索中都不可或缺。這不是非此即彼的學(xué)派之爭。

每位研究者都需要在不同階段切換這兩種角色。我想說的是，有時直覺恰恰來自“不”埋頭深挖，而是退后一步縱覽全局。當(dāng)然，這種視野唯有在經(jīng)歷過深度鉆研、理解學(xué)科本質(zhì)之后才能真正獲得。

萊文：聽數(shù)學(xué)家自我剖析很有意思。這個群體通常不太習(xí)慣自我反思——研究工作本身已經(jīng)足夠耗費(fèi)心力。但你揭示的科研過程令人寬慰：并非總是直線前進(jìn)，而是在黑暗中摸索，時而憑直覺飛躍，時而如刺猬般深挖。這個類比太精妙了。你之前知道戴森也討論過類似觀點(diǎn)嗎？我倒是第一次聽說。

斯特羅加茨：戴森有篇著名文章《飛鳥與青蛙》，精神內(nèi)核與狐貍刺猬之說相近。飛鳥翱翔天際，對應(yīng)著理論構(gòu)建者。

他們著眼學(xué)科全景，不拘泥細(xì)節(jié)，致力于創(chuàng)建統(tǒng)攝全局的理論框架。

而青蛙棲居泥沼，對應(yīng)問題解決者——他們專注攻克具體難題，理論只是副產(chǎn)品。這就是所謂的“理論構(gòu)建者vs問題解決者”之分，飛鳥與青蛙之喻。

萊文：這個分類法我倒是第一次聽說，但細(xì)想確實(shí)如此?，F(xiàn)在環(huán)顧四周，都能辨認(rèn)出“那邊就住著個理論構(gòu)建者”。

斯特羅加茨：戴森那篇文章妙趣橫生。最幽默的是他對各位數(shù)學(xué)大師的點(diǎn)評——如果沒記錯，他說馮·諾伊曼是“自以為是飛鳥的青蛙”，這個評價多耐人尋味??！

萊文：太精辟了！最打動我的是他承認(rèn)數(shù)學(xué)需要多元思維。

斯特羅加茨：沒錯，數(shù)學(xué)是頂大帳篷，容得下各種風(fēng)格。稍后我們將探討另一種數(shù)學(xué)研究方式——我們硅基朋友的思維方式。

萊文：哦？拭目以待。

斯特羅加茨：廣告之后馬上回來。

斯特羅加茨：歡迎回到《因悅The Joy of Why》，今天我們邀請到數(shù)學(xué)物理學(xué)家何楊輝。

現(xiàn)在讓我們轉(zhuǎn)向硅基朋友：人工智能。眾所周知，2022年ChatGPT的橫空出世震撼全球。我們突然發(fā)現(xiàn)AI不再只是雜志概念，而是能直接在筆記本上把玩的工具。它的能力令人驚嘆——但AI與物理數(shù)學(xué)的關(guān)系如何？你認(rèn)為它能在這些領(lǐng)域發(fā)揮作用嗎？

何楊輝：當(dāng)然可以。數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與理論發(fā)現(xiàn)的未來，必定是人類智慧與AI輔助的結(jié)合。

這已在發(fā)生。2017年我初涉此領(lǐng)域時，對機(jī)器學(xué)習(xí)還一竅不通。當(dāng)時我正研究弦論相關(guān)的幾何問題——具體來說是需要將十維弦論壓縮到四維時空的卡拉比-丘流形。最終推導(dǎo)出愛因斯坦方程的一個六維空間解，就來自威滕（Witten）、霍羅威茨（Horowitz）、坎德拉斯（Candelas）和斯特羅明格（Strominger）的那篇經(jīng)典論文——他們發(fā)現(xiàn)這些特殊幾何結(jié)構(gòu)正是關(guān)鍵所在。當(dāng)時處于80年代中期，此后二十年學(xué)界建立了約五億個這類流形的數(shù)據(jù)庫。

我當(dāng)時的工作就是篩選數(shù)據(jù)庫，尋找對應(yīng)四維標(biāo)準(zhǔn)模型粒子構(gòu)成的流形。直到2017年兒子出生——連續(xù)三個月每天只睡一小時。有一天晚上家人熟睡后，我盯著數(shù)百萬流形數(shù)據(jù)突發(fā)奇想：何不試試當(dāng)時PhD學(xué)生們正在研究的機(jī)器學(xué)習(xí)算法？

普通的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能計(jì)算這些流形的拓?fù)洳蛔兞繂?？畢竟這些計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜...它會不會只是簡單擬合出個答案？

斯特羅加茨：讓我理清頭緒——你是說處理六維空間的多種方式都編碼在不同卡拉比-丘流形中？而你提到的那些不變量數(shù)值，比如整數(shù)或其他優(yōu)美結(jié)構(gòu)，是已經(jīng)計(jì)算好的，還是需要你親自計(jì)算？

何楊輝：部分需要我計(jì)算。讀博和做博士后時，我大量從事這類計(jì)算。對年輕學(xué)者來說，這些能對應(yīng)具體物理量——比如粒子代的數(shù)量、規(guī)范理論中BPS粒子數(shù)，或是貝蒂數(shù)、霍奇數(shù)這類表征高維空間“孔洞”數(shù)量的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

但我理解的核心是：存在某些流形，它們以特定方式表征，然后你需要附加拓?fù)洳蛔兞俊谶@個案例中就是整數(shù)。

這種計(jì)算極其困難，因?yàn)槟惚仨殢氐淄瓿烧麄€序列追蹤（基本上就是哈茨霍恩（Hartshorne）教材里那些讓人抓狂的內(nèi)容，還有布爾巴基學(xué)派那些讓人算到哭的東西）。不過幸運(yùn)的是，現(xiàn)在至少有很多計(jì)算可以由計(jì)算機(jī)自動完成了。但當(dāng)時我處于半幻覺狀態(tài)——

斯特羅加茨：午夜對吧？

何楊輝：沒錯。我當(dāng)時直接把流形轉(zhuǎn)化成圖像來表征，畢竟這些都是代數(shù)簇，你可以記錄它們的多重次數(shù)，轉(zhuǎn)換成某種張量表示。

一旦獲得這種張量表示，本質(zhì)上就變成圖像了。于是我就得到了一個帶標(biāo)簽的圖像識別問題——這看起來挺酷的。我直接把它輸入到一個標(biāo)準(zhǔn)的MNIST神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)里，本來預(yù)期會得到一堆垃圾結(jié)果。因?yàn)橐A(yù)測這些不變量，本應(yīng)需要非常精妙的代數(shù)幾何知識。

斯特羅加茨：雖然不知道后續(xù)發(fā)展，但這故事開頭就很有趣。

何楊輝：先用50%的數(shù)據(jù)訓(xùn)練，再用剩余數(shù)據(jù)驗(yàn)證。我最初只是隨便試試，結(jié)果準(zhǔn)確率瞬間飆到95%。我當(dāng)時就驚了：開什么玩笑？這不可能！神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)明明不懂幾何，連基礎(chǔ)數(shù)學(xué)都不懂——它本質(zhì)上就是個手寫識別系統(tǒng)，卻給出了正確答案。

數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練不僅能錘煉思維，更讓我們理解何以為人。

現(xiàn)在人們已經(jīng)改進(jìn)了這個方法。他們采用更復(fù)雜的架構(gòu)，將預(yù)測準(zhǔn)確率提升到99.99%的水平。這實(shí)在太詭異了——系統(tǒng)根本不知道自己在算什么，因?yàn)槲覐奈唇踢^它運(yùn)算規(guī)則。

斯特羅加茨：所以它是個超級模式識別器？擅長發(fā)現(xiàn)規(guī)律并外推？

何楊輝：正是。這讓我開始思考：什么是數(shù)學(xué)直覺？當(dāng)AI進(jìn)行原始版本的數(shù)學(xué)推理時，究竟發(fā)生了什么？

斯特羅加茨：2017年的AI就有這種能力，如今肯定更強(qiáng)了。這對弦論或代數(shù)幾何等領(lǐng)域確實(shí)有幫助？

何楊輝：當(dāng)時我徹底著了魔，覺得這簡直太神奇了。我開始瘋狂收集所有能搞到的數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)集——差不多騷擾了上百位同行朋友，見人就問：“能分享些數(shù)據(jù)嗎？順便給我講講這些數(shù)據(jù)在數(shù)學(xué)哪個分支里有應(yīng)用？”

我特別感激自己受過弦論訓(xùn)練。雖然如今弦論頗具爭議，但這段經(jīng)歷讓我能相對輕松地與不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的專家對話。作為弦論研究者，我被迫涉獵了群論、表示論、數(shù)論等眾多領(lǐng)域——當(dāng)然并非所有弦論學(xué)者都這樣培養(yǎng)，但我的導(dǎo)師阿米?！す{尼（Amihay Hanany）始終告誡我：“要保持好奇心，多探索不同問題?！?/p>

過去七年里，我基本就干了兩件事：一是結(jié)交各領(lǐng)域數(shù)學(xué)家，厚著臉皮討要數(shù)據(jù)；二是追問這些數(shù)據(jù)在其領(lǐng)域的意義。我們不斷測試神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能否超越傳統(tǒng)計(jì)算方法，并探究其成功原因。令人欣慰的是，數(shù)學(xué)界整體對這種跨界研究持非常開放的態(tài)度。

斯特羅加茨：不過我也知道，有些數(shù)學(xué)家認(rèn)為這可能會嚴(yán)重扭曲我們共同的學(xué)術(shù)文化。畢竟歐幾里得的偉大遺產(chǎn)在于：我們能真正理解自己在做什么。當(dāng)我們從公理出發(fā)構(gòu)建體系時，可以清晰地洞察定理為何成立——我們不是巴比倫人僅憑經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)勾股定理，而是通過嚴(yán)謹(jǐn)證明獲得真知。許多人都將這種“洞察力”視為數(shù)學(xué)最寶貴的特質(zhì)。

我有些朋友（相信你也是）堅(jiān)持認(rèn)為，數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)就是獲得洞察。就像那句老話所說：“數(shù)值分析的終點(diǎn)不是數(shù)字，而是洞見?！表槺阋惶?，就像你提到與邁克爾·法拉第相鄰的辦公室——我現(xiàn)在的辦公室正是偉大拓?fù)鋵W(xué)家威廉·瑟斯頓（Bill Thurston）曾經(jīng)工作過的地方。

何楊輝：真的嗎？太巧了！

斯特羅加茨：是的。所以他寫了這篇精彩的文章《論數(shù)學(xué)的證明與進(jìn)步》（Proof and Progress in Mathematics），主張數(shù)學(xué)不是像機(jī)器那樣一個接一個地生產(chǎn)定理——就像希爾伯特希望我們做的那樣。而是一個人向另一個人傳遞洞見。這才是我們真正要做的事。

這些AI并沒有給我們帶來洞見。它們提供模式，但尚不能自我解釋。它們不會告訴我們該如何思考。所以我不確定每位數(shù)學(xué)家都喜歡這種發(fā)展。你對此怎么看？

何楊輝：你說得完全正確。最初實(shí)驗(yàn)時，我收到最多的批評就是：好吧，你給了我一個能計(jì)算99.99%準(zhǔn)確率的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——不是100%，它有時還是會出錯。但比如說在拓?fù)溆?jì)算上達(dá)到99.99%準(zhǔn)確率。所以呢？我從中什么都沒學(xué)到。它沒有提供任何我能使用的新工具。正因?yàn)槿绱?，這些年來...天啊，八年了，噢天哪。

斯特羅加茨：是啊，你孩子現(xiàn)在多大了？

何楊輝：我兒子現(xiàn)在八歲。

斯特羅加茨：對，他現(xiàn)在八歲了。

何楊輝：沒錯。噢，我真不愿想這個。不過正因如此，我和同事米沙·布爾采夫（Misha Burtsev）嘗試構(gòu)建一個更精確有效的方案。這源于2023年我在劍橋艾薩克·牛頓研究所組織的一個會議。我們聚集了一些量子場論專家、數(shù)論專家，舉辦了為期三個月的工作坊，讓大家共同探討現(xiàn)狀。期間我們聽了布萊恩·伯奇（Bryan Birch）的講座后，

為《自然》雜志撰寫了一篇快訊，題為《伯奇測試》。面對所有這些AI引導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)，我們需要比ChatGPT更強(qiáng)大的東西。你知道ChatGPT能通過圖靈測試。所以我們覺得數(shù)學(xué)需要更嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)。

我們稱之為"AI發(fā)現(xiàn)的AIN標(biāo)準(zhǔn)"。AIN是伯奇測試的三個組成部分："A"代表自動化（Automaticity），要求神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提出的猜想在其生成過程中不受人為干預(yù)；"I"代表可解釋性（Interpretable）——如何從中解讀出真正的人類數(shù)學(xué)；"N"代表非平凡性（Non-trivial），即必須能激發(fā)一個足夠精確的實(shí)際研究課題供人類深入研究。

迄今為止，還沒有任何成果能完全通過伯奇測試。當(dāng)然有些已非常接近。比如DeepMind團(tuán)隊(duì)2022年那篇關(guān)于紐結(jié)不變量的精彩論文。

斯特羅加茨：確實(shí)。

何楊輝：他們運(yùn)用顯著性檢測方法，得出了瓊斯多項(xiàng)式的新公式。這個成果滿足了自動化標(biāo)準(zhǔn)——因?yàn)樗麄兺ㄟ^顯著性檢測獲得了不同結(jié)果；也滿足可解釋性——畢竟最終得出了明確公式。但在非平凡性方面稍有欠缺，因?yàn)樗麄兲岢龅牟孪雰H用一個月就自行證明了。

再比如我和奧利弗（Oliver）、李（Lee）以及波茲德尼亞科夫（Pozdnyakov）研究的“椋鳥群飛”murmuration項(xiàng)目（關(guān)于L函數(shù)分布的猜想，參閱）。該研究通過了可解釋性測試——因?yàn)槲覀兊贸隽司_公式；也具備非平凡性——因?yàn)椴孪胫两袢晕赐耆蛔C明（部分已獲證）。但它沒能通過自動化測試，畢竟我們在過程中進(jìn)行了人為干預(yù)：沒有簡單輸入300萬條橢圓曲線數(shù)據(jù)就按下回車鍵，而是不斷調(diào)整算法。

雖然我們嘗試了不同算法，但最終得出的猜想?yún)s極具反直覺性——完全超出我們的預(yù)期認(rèn)知，因?yàn)樗婕皹O高維度。就連解析數(shù)論泰斗彼得·薩納克（Peter Sarnak）收到我們的信時都說：“從未見過這樣的猜想?！比绻B薩納克都無法立即證明，那確實(shí)是個難題?，F(xiàn)在他和研究團(tuán)隊(duì)仍在攻關(guān)，我們也持續(xù)合作研究，這非常有意思。

回到你關(guān)于“優(yōu)秀AI輔助發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)”的問題——我認(rèn)為至少要能通過伯奇測試。

斯特羅加茨：我之前從未聽說過伯奇測試。不過你可能知道，當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界正在熱議將更多數(shù)據(jù)科學(xué)納入課程體系。支持者認(rèn)為，21世紀(jì)公民需要具備數(shù)字處理能力、圖表解讀技巧以及對概率、風(fēng)險和不確定性的感知力。

按照這個邏輯，鑒于課時有限，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育中的某些內(nèi)容可能需要讓位。不少人將矛頭指向三角學(xué)甚至幾何學(xué)，主張轉(zhuǎn)向更注重數(shù)據(jù)的課程體系。你對此有何看法？

何楊輝：學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)科學(xué)確實(shí)很重要，對現(xiàn)代人來說這是必備素養(yǎng)。如果對機(jī)器學(xué)習(xí)算法和基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)推斷一無所知，這樣的教育是不完整的。

但數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)——不一定要達(dá)到大學(xué)專業(yè)水平，而是作為通識教育——具有獨(dú)特價值。這種訓(xùn)練能錘煉思維，讓我們理解人類認(rèn)知的起源與本質(zhì)。

我曾與安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）大師就“AI會取代數(shù)學(xué)家嗎”進(jìn)行過精彩對話。他的回答很深刻：“計(jì)算器早已讓算術(shù)能力變得過時，但為什么我們?nèi)砸趟奈鍤q的孩子算術(shù)？因?yàn)檫@是人之為人的根本。盡管有些工具算得比我們快，但這種訓(xùn)練對塑造大腦神經(jīng)通路至關(guān)重要?！?/p>

斯特羅加茨：這個回答發(fā)人深省。我們的節(jié)目叫《因悅The Joy of Why》，作為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，你的研究帶給你怎樣的快樂？

何楊輝：當(dāng)然，我會給出那個標(biāo)準(zhǔn)答案——學(xué)科的美麗，理解的喜悅。有趣的是，我少年時代踏入這個領(lǐng)域是為了理解宇宙的運(yùn)行機(jī)制。但現(xiàn)在，宇宙如此浩瀚，我已放棄完全理解它的企圖，反而越來越沉醉于數(shù)學(xué)本身的純粹美感。我所領(lǐng)悟的是：眼前這個待證明的定理，這個內(nèi)在優(yōu)美的計(jì)算過程——這才是真正的魅力所在。

而比獨(dú)自研究數(shù)學(xué)更美好的，莫過于與眾多志同道合者共同探索。就像此刻在這塊黑板前，或是結(jié)識新友，或是重逢故交，我們用粉筆演繹著歐幾里得千百年前也曾描繪過的美妙圖景。這種學(xué)術(shù)共同體的歸屬感，同樣令人心馳神往。

斯特羅加茨：正是這種跨越時空的學(xué)術(shù)共同體，讓你能與歐幾里得、畢達(dá)哥拉斯乃至巴比倫先賢們神交，對嗎？

何楊輝：沒錯。當(dāng)你在黑板上演算時，要知道瑟斯頓也曾在此揮毫——這種傳承本身就是件美妙的事。

斯特羅加茨：今天我們非常榮幸邀請到何楊輝。真希望能與你暢談更多時間，感謝做客《因悅The Joy of Why》。

何楊輝：非常感謝，這次對話令我非常愉快。

萊文：（笑）這個黑板演算的畫面真美好。粉筆與光滑黑板的組合至今仍是最完美的技術(shù)——那種觸感簡直神奇。那些老式黑板...不知道你們是否了解，哥倫比亞大學(xué)拆樓時我搶救過一塊——是用壓制玻璃制成的，就像碎玻璃重組的那種。

斯特羅加茨：真的嗎？

萊文：書寫體驗(yàn)無比順滑，根本不是黑板漆能比擬的。這種純粹的快感，確實(shí)堪稱最佳技術(shù)。

斯特羅加茨：我很好奇你對人工智能的看法——它將對數(shù)學(xué)和物理學(xué)那些深奧領(lǐng)域產(chǎn)生什么影響？假設(shè)幾十年后（或許更快），最卓越的定理真的都由機(jī)器證明甚至創(chuàng)造，人類被遠(yuǎn)遠(yuǎn)拋在后面...那時的數(shù)學(xué)研究還會有樂趣嗎？還值得從事嗎？

萊文：呃...我認(rèn)為數(shù)學(xué)的意義在于：當(dāng)他人理解某個概念時，我要繼續(xù)鉆研直到自己也領(lǐng)悟。就像我們討論的幾何學(xué)——不會因?yàn)槭澜缫颜莆諑缀沃R，我就無需學(xué)習(xí)。事情不是這樣運(yùn)作的。我依然要嘗試?yán)斫?、消化這些知識。

這不像“別人大腦里有的東西，我就不必儲存”那么簡單。恰恰相反，數(shù)學(xué)應(yīng)該是我們共同的精神觸點(diǎn)。

通過思考圓、三角、方形這些基本圖形，我們進(jìn)行著思想實(shí)驗(yàn)。所以即便超級智能解決了量子引力難題，洞悉了宇宙時空幾何...我的探索也不會終止。我必須親自理解它。

斯特羅加茨：說得好！這份樂觀令人振奮，下期節(jié)目再見。

萊文：下期見。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/how-did-geometry-create-modern-physics-20250515/

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