今天我們來(lái)說(shuō)遇到中點(diǎn)如何作輔助線

01

構(gòu)造中位線

• 第一種：直接連起來(lái)

當(dāng)你看到題目中有有兩個(gè)、兩個(gè)以上的中點(diǎn)，首先考慮的就是：

把這兩個(gè)中點(diǎn)連接起來(lái)，這樣就得到了一條中位線。

在三角形中：

• 中位線平行于底邊；
• 是底邊的1/2。

這樣在求線段長(zhǎng)度的問(wèn)題上能幫我們破局。

看下面這一題。

說(shuō)D和E是兩個(gè)中點(diǎn)，我們首先想到把它倆連接起來(lái)。

得到中線DE。

DE是平行且等于1/2BC的，它的長(zhǎng)度知道后，我們就可以利用勾股定理算出EF的長(zhǎng)。

再看下面這個(gè)。

圖中D和E是兩個(gè)中點(diǎn)，我們把它連接起來(lái)，得到DE 。

DE平行于AB，那么我們根據(jù)平行就得到一對(duì)蝴蝶型的相似三角形。

這兩個(gè)相似三角形的相似比是1比2，那么我們就可以根據(jù)這個(gè)關(guān)系來(lái)算出DF的長(zhǎng)。

DF的長(zhǎng)出來(lái)了，那么AD的長(zhǎng)也出來(lái)了，我們就可以算三角形的面積了。

• 第二種，做平行線得到中位線

題目中沒有兩個(gè)中點(diǎn)——只有一個(gè)，甚至一個(gè)也沒有，比較隱晦，你需要自己找到。

找到之后，從這個(gè)中點(diǎn)往對(duì)邊做一條平行線，這樣你就得到了一條中位線。

接下來(lái)咱們就可以利用中位線的性質(zhì)來(lái)做一些求解。

看下面這道題：

D是AC的中點(diǎn)，我們就從D作一條平行于BC的線段DF，這條線段就是中線。

那么F也是AB的中點(diǎn)，然后再根據(jù)中線平行于底邊,得到一對(duì)蝴蝶型全等的三角形。

邊的關(guān)系，我們就可以算出來(lái)了。

這就是構(gòu)造中位線的兩種方法：

• 一種是有明顯的中點(diǎn)，你就直接連接；
• 一種是有一個(gè)中點(diǎn)，或沒有說(shuō)中點(diǎn)的事，你找到中點(diǎn)后大膽作平行線就構(gòu)造了中位線。

有中位線后，利用中位線的的性質(zhì)，可以很巧妙地解決一些問(wèn)題。

02

構(gòu)造中線

中線和中位線不一樣。

中線是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的連線。

通常在等腰三角形中，中線和垂直平分線、角平分線三線合一。

所以，遇到等腰三角形，我們作中線，會(huì)得到：

角相等、線段相等、垂直——

利用這些特殊性質(zhì)，做題很流暢。

構(gòu)造中線的兩種方法。

• 第一種，已知等腰三角形，作它底邊上的中線。

比如下面這兩道題。

第8題是作了中線后，找到了等量關(guān)系，求解出我們需要的長(zhǎng)度。

第9題是根據(jù)中線的性質(zhì)，找到了全等關(guān)系，然后得出了我們需要的關(guān)鍵線段的長(zhǎng)度。

• 第二種，在直角三角形中構(gòu)造中線。

我們都知道直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

當(dāng)你遇到一個(gè)直角三角形，就作它斜邊上的中線。

如此一來(lái)，我們可以利用中線和斜邊被分開的兩條線段相等，得到很多相等關(guān)系。

比如下面這3道題。

• 第10題。

三角形ABC是直角，D是AB邊上的中點(diǎn)。

連接CD——構(gòu)造中線。

那么CD就等于斜邊的一半，也等于4，這樣我們可以得到一個(gè)等腰三角形DCB。

又因?yàn)榻嵌汝P(guān)系，我們可以得出EC＝CD。

• 第11題。

還是構(gòu)造中線，連接CE。

我們得到等邊三角形ACE，從而可以算出BC的長(zhǎng)度。

BC的長(zhǎng)度有了CD也能算出來(lái)。

然后我們就可以在直角三角形CDE中，利用勾股定理來(lái)算DE的長(zhǎng)度了.

• 第12題

第12題稍微復(fù)雜一點(diǎn)，我把解題過(guò)程寫一下。

這就是構(gòu)造中線的兩種方法，主要集中在特殊三角形中。

情況一旦特殊，其實(shí)還好辦了。

關(guān)鍵是不特殊。

如果不特殊怎么辦呢？不特殊就想辦法讓它特殊。

下面說(shuō)第三種方法。

03

構(gòu)造倍長(zhǎng)中線

是這樣的：

我們把中線延長(zhǎng)至原來(lái)的兩倍長(zhǎng)。

比如在三角形ABC中AD是中線，那么我們延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使DE=AD，那么AE就是二倍的AD。

這樣可以得到一對(duì)全等的三角形，也得到了一對(duì)平行關(guān)系。

有了全等和平行，這不就特殊了嗎？！

在這些特殊關(guān)系的加持下，計(jì)算角度、長(zhǎng)度，都簡(jiǎn)便許多。

看下面這道題。

當(dāng)我們作出倍長(zhǎng)中線AE，得到全等三角形。

那么，BE的長(zhǎng)度我們就知道了＝6。

而通過(guò)角度計(jì)算，三角形BCE是個(gè)等腰三角形，那么BC的長(zhǎng)度我們就知道了。

上面是一個(gè)簡(jiǎn)單的填空題，下面我們?cè)倏匆粋€(gè)大題。

這道題也不難，但它是倍長(zhǎng)中線的一個(gè)探索過(guò)程，對(duì)我們會(huì)很有啟發(fā)。

在這道題中:

• 第一問(wèn)，帶我們探索了倍長(zhǎng)中線構(gòu)成的全等三角形；
• 第二問(wèn)，探索了倍長(zhǎng)中線的長(zhǎng)度范圍，放到三角形中，也不難理解。
• 第三問(wèn)，拓展延伸，這里利用了兩次全等。

第一次全等是倍長(zhǎng)中線構(gòu)成的全等三角形。

第二次是由全等三角形得出的線段相等和角度相等，進(jìn)一步得出一對(duì)全等三角形。

好，到這里我們就總結(jié)完了。

回顧一下，遇到中點(diǎn)：

我們可以構(gòu)造中位線、中線、倍長(zhǎng)中線，利用“特殊性”解決問(wèn)題。

你發(fā)現(xiàn)沒，做輔助線，看起來(lái)難，其實(shí)無(wú)非是根據(jù)題意，看看題目上有什么，你往前多想想。

• 一次想不對(duì)，就多試試，試幾次就有譜了。
• 自己想不出來(lái)，就看看別人的，學(xué)過(guò)來(lái)，總結(jié)一下，下次就行了。

只要你帶著腦袋學(xué)習(xí)，哪怕這顆腦袋運(yùn)行得慢一些，也沒多大關(guān)系。

有心就行。

謝謝閱讀，本文結(jié)束。