三維不等式柯西定理應(yīng)用舉例

三維不等式柯西定理：

(s?2+s?2+s?2)(t?2+t?2+t?2)≥(s?t?+s?t?+s?t?)2。

定理證明：

證明：

定義函數(shù)f(x)為:

f(x)=(s?+t?x)2+(s?+t?x)2,

將f(x)轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)的標準形式y(tǒng)=ax2+bx+c得

f(x)=(t?2+t?2)x2+2(s?t?+s?t?)x+(s?2+s?2)

因為f(x)≥0，所以它只有一個解或無解，即

Δ=4(s?t?+s?t?)2?4(t?2+t?2)(s?2+s?2)≤0

所以: (t?2+t?2)(s?2+s?2)≥(s?t?+s?t?)2.

令函數(shù)f(x)=0，則每個平方項都必須為0，即

s?+t?x=0?x=?s?/t?,

s?+t?x=0?x=?s?/t?;

則要使函數(shù)有零點，即Δ=0,則必須有：

s?/t?=s?/t?,證畢。

※.若正數(shù)a,b,c,x,y,z滿足a2+b2+c2=298,x2+y2+z2=113,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三維不等式有：

(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,

代入數(shù)值即可得：

298*113≥(ax+by+cz)2,即：

(ax+by+cz)2≤33674,

由于所有變量均為正數(shù)，則：

ax+by+cz≤√33674，

所以ax+by+cz的最小值為：√33674.

※.若正數(shù)x,y,z滿足x2+y2+z2=299,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三維不等式有：

(x2+y2+z2) (a2+b2+c2)≥(x+y+z)2, 即：

(x2+y2+z2) (12+12+12)≥(x+y+z)2，則：

299*3≥(x+y+z)2,進一步有：

(x+y+z)2≤897，

所以正數(shù)x+y+z的最小值=√897。

※.若a+b+c=152,求256a2+36b2+36c2的最小值。

解：使用上述不等式，出現(xiàn)和的平方，即已知條件轉(zhuǎn)換為不等式右邊和的平方，則所求代數(shù)式需要變形成兩個三項式平方和的乘積。

256a2+36b2+36c2=(16a)2+(6b)2+(6c)2

進一步變形為：

[(16a)2+(6b)2+(6c)2][(1/16)2+(1/6)2+(1/6)2]，

≥[(16a/16)+(6b /6)+(6c/6)]2，

=(a+b+c)2=1522，即：

(256a2+36b2+36c2)*(137*122/5762)≥1522，

所以：256a2+36b2+36c2≥(1/137)*72962。

※.若24x+3y+14z=121,求x2+y2+z2的最小值。

解：運用三維柯西不等式，有：

(x2+y2+z2)(242+32+142)≥(24x+3y+14z)2,即：

(x2+y2+z2)(242+32+142)≥1212,

(x2+y2+z2)*781≥1212,

x2+y2+z2≥1212/(781),

即：x2+y2+z2≥1331/71,

所以x2+y2+z2的最小值=1331/71。