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科爾多瓦比例c = (2-√2)^-1/2，是正八邊形半徑與邊長之比。該比例由R. de la Hoz 于 1973 年提出。最近，作者發(fā)現(xiàn)了與該比例相關(guān)的幾何特性，這些特性與被他們命名為"科爾多瓦多邊形"的圖形族有關(guān)。作者通過哈希姆·卡布雷拉（Hashim Cabrera）和路易斯·卡爾沃（Luis Calvo）的藝術(shù)作品對這些成果進行了總結(jié)和延伸，這兩位科爾多瓦畫家在近期的創(chuàng)作中有意識地考慮了科爾多瓦比例。事實上，我們在對卡布雷拉的畫作進行的幾次剖析中都驗證了這一比例，而在卡爾沃的畫作中，我們認出了許多科爾多瓦多邊形和一些新的多邊形，這些多邊形已被我們添加到以前的作品集中。我們還發(fā)現(xiàn)了一些新的正方形、√2矩形和白銀矩形的科爾多瓦剖面圖。

1 引言

這部作品是兩位數(shù)學家與兩位畫家在西班牙科爾多瓦市會面并就科爾多瓦比例進行交談的成果。

科爾多瓦比例 c = (2-√2)^-1/2 是正八邊形半徑 R 與邊長 L 之比（圖 1）。

圖1正八邊形中的科爾多瓦比例

西班牙建筑師拉斐爾·德·拉·霍茲·阿德留斯于1973年提出了這一比例，并將其命名為“科爾多瓦比例”。這個比值的無理數(shù)被稱為科爾多瓦數(shù)。根據(jù)余弦定律，在邊長為R、R和L的標記三角形中（見圖1），我們有：

2008年之前，作者開始研究這種比例，當時只考慮了矩形。從那一年起，他們的研究發(fā)現(xiàn)了與該比例相關(guān)的幾何特性，這些特性與被他們命名為科爾多瓦多邊形的一系列新形式有關(guān) [3-5]。

在這篇文章中，兩位科爾多瓦畫家的藝術(shù)作品總結(jié)并擴展了這些結(jié)果，他們在最近的作品中有意識地考慮了科爾多瓦的比例。他們作品的目的、動機和視覺效果完全不同。

2多邊形形狀和科爾多瓦比例

在這一節(jié)中，我們總結(jié)了已發(fā)現(xiàn)的與科爾多瓦比例相關(guān)的主要多邊形形狀。

科爾多瓦三角形是等腰三角形，類似于圖1中的邊為R、R和l的三角形。因此，如果等腰三角形的角度為π/4、3π/8和3π/8弧度，則該三角形是“科爾多瓦三角形”（圖2）。

圖2科爾多瓦三角形及其在正八邊形中的位置

科爾多瓦矩形是邊長與邊長之比為 c 的矩形，如圖 3 所示的邊長為 R 和 L 的矩形。

圖3科爾多瓦矩形及其正八邊形構(gòu)造

科爾多瓦菱形是一個菱形，其角分別為 π/4，3π/4 弧度。這種形狀是由兩個科爾多瓦三角形結(jié)合而成。如圖 4 所示，四個八邊形相交，產(chǎn)生一個由四個菱形組成的內(nèi)星。

圖4通過90°和45°平分八角形菱形和正方形菱形

正八邊形可以分成四個全等四邊形，作者將其命名為科爾多瓦風箏或 c 形風箏。一個 c 形風箏由兩個科爾多瓦三角形組成。這個四邊形的角分別為 π/2、3π/8、3π/4 和 3π/8。如果八邊形的邊長為 1，則 c 形風箏的邊長為 1、1、c 和 c，圖 5。

圖5科爾多瓦風箏、科爾多瓦飛鏢及其從正方形開始的構(gòu)造

當八邊形內(nèi)接一個正方形時，會出現(xiàn)另外四個全等的凹四邊形（見圖5）。這些四邊形被稱為科爾多瓦飛鏢或c型飛鏢。c型飛鏢有角π/8、π/2、π/8和5π/4以及邊1、1、c和c。

可以考慮幾種科爾多瓦五邊形，其中最相關(guān)的是通過兩個直角三角形覆蓋科爾多瓦三角形的等邊而形成的不規(guī)則多邊形（圖 6）。這個五邊形覆蓋了整個平面。它的四條邊相等，邊長為 c/√2，其余邊長為 1。它的角分別為 5π/8、π/2、3π/4、π/2 和 5π/8。

圖6科爾多瓦五邊形

科爾多瓦多邊形圖庫非常廣泛 [5]。事實上，準多邊形的集合尤其有趣。事實上，兩個風箏、兩個飛鏢或一個風箏和一個飛鏢的組合會產(chǎn)生不同的準六邊形（見圖 7）。

圖 7 科爾多瓦準六邊形

同樣，通過考慮四個四邊形、風箏或飛鏢，可以得到幾個準八邊形：c-太陽（正八邊形）、四點星或（c-星）、c-弓、c-傘、c-月、c-魚等。見圖 8。

圖8用風箏和飛鏢制作的幾個八邊形

3 哈希姆·卡布雷拉 靈魂的比例

哈希姆·卡布雷拉 1954 年出生于塞維利亞，不久后搬到阿爾莫多瓦·德爾里奧（西班牙科爾多瓦），現(xiàn)居住于此。他是一位對視覺藝術(shù)及其歷史、精神和哲學基礎(chǔ)感興趣的畫家和作家。在經(jīng)歷了關(guān)注形式的第一階段后，他逐漸形成了自然主義的抽象繪畫概念。通過避免使用形狀和符號，藝術(shù)家所要傳達的信息可以擺脫形式的束縛。在這種假設(shè)下，色彩和比例是唯一被允許的元素。

2008 年 2 月，他在科爾多瓦舉辦了 Los colores del alma（靈魂的色彩）畫展。十幅畫作（丙烯酸/油畫）展示了他對色彩的深刻反思。色彩的深刻思考。所有作品都是由兩個、三個或四個長方形模塊組合而成的。每個模塊都使用一種顏色。完整的闡述可
http://www.hashimcabrera.com/galeria.html.

Cabrera 聲稱，既然我們不可能永遠生活在絕對的同一性中，那么同一性和多樣性就不能分開。綠色是唯一的主色調(diào)，同時也是次要色，它的主要運用體現(xiàn)了這一理念。和諧是通過作品之間的平衡來實現(xiàn)的。支撐空間的劃分方式是由科爾多瓦比例特意安排的。此外，所有構(gòu)圖也通過科爾多瓦比例相互關(guān)聯(lián)。

令人驚訝的是，科爾多瓦數(shù)似乎與科爾多瓦年平均日照的測量值有關(guān)。這一驚人的事實引起了畫家的注意，他被這種巧合所吸引，這種巧合將宏觀的外部現(xiàn)象與基于數(shù)學概念的內(nèi)在經(jīng)驗結(jié)合在一起，從而安排了秩序和共識。這就是科爾多瓦比例。

我們在卡布雷拉畫展的油畫剖面圖中發(fā)現(xiàn)了這一比例，即使在不明顯的情況下也是如此。我們以圖 9 所示的畫作為例。從中我們可以發(fā)現(xiàn)一些幾何事實。

圖 9a 中的畫面是一個幾乎完美的正方形，由兩個模塊組合而成，這兩個模塊構(gòu)成了最簡單的科爾多瓦正方形剖面圖：

正方形可以分成一個科爾多瓦矩形和一個比例為 c/(c-1) 的矩形。

圖 9 Hashim Cabrera 的四幅油畫

畫布的圖形分析如圖10所示。在左邊，我們可以看到這幅畫。在中心，我們觀察前面提到的正方形的剖分，通過幾何設(shè)計程序精確地制作。在右邊，通過前面圖像的簡單疊加，展示了卡布雷拉完成的“近乎完美”的科爾多瓦剖分。

圖10雙聯(lián)鉻綠/黑色上的科爾多瓦分區(qū)

從圖 11 的剖面圖開始，我們可以移動矩形，使其位于正方形的中心。結(jié)果就是另一個正方形的科爾多瓦剖面圖，即圖 12：

正方形可以分割成一個比例為 c/(c-1) 的矩形和兩個比例為 2c 的矩形。

圖11正方形是科爾多瓦矩形和矩形c/（c-1）的并集

圖 12 將正方形分成比例為 2c 和 c/(c-1) 的長方形

我們在"Visitors"中已經(jīng)認識到了這種剖面，我們可以看到一條白色的中心條帶對稱地分割了畫布。確切地說，該條紋是一個比例為 c/(c-1) 的矩形。

圖 13 用簡潔的文字說明了圖 9b 中對這幅畫的圖形分析。

圖 13 Visitors上的科爾多瓦分割線

再次從正方形的第一次分割開始，我們可以實現(xiàn)比率為c/（2c–2）的矩形的調(diào)和分割，如圖14所示。

圖 14 矩形 c/(2c-2) 的構(gòu)造和剖分

這種模式出現(xiàn)在圖 9c 的綠色/黑色三聯(lián)畫中。圖 15 解釋了這一結(jié)論。請注意，兩條藍線是平行的，上邊的線是白色矩形 c/(c-1) 對角線的延長線。

圖 15 綠色/黑色三聯(lián)畫中的矩形 c/(2c-2)

圖 9d 展示的是水果花園，這種構(gòu)圖令人驚訝。這幅畫由一個正方形模塊和另一個長方形模塊組成。只有在這種情況下，畫家才會意識到這種構(gòu)圖中的比例是偶然考慮的。令人驚訝的是，即使在這種情況下，科爾多瓦比例也會出現(xiàn)。見圖 16。

圖 16 走向黃金矩形的花園/果園

事實上，矩形模塊是由一個正方形和一個科爾多瓦矩形組合而成的。

我們發(fā)現(xiàn)了與斐波那契數(shù)列 Gn = Gn-2 + Gn-1 相關(guān)的偽天文增長的兩個第一步，n = 2、3、4......，初始項 G0 = c 和 G1 = 1：

請注意

其中Fn是通常的斐波那契數(shù)列的項Fn = Fn-2 + Fn-1，n = 2，3，4，...從F0 = 0和F1 = 1開始。所以畫家直觀的形狀可以被認為是黃金矩形的近似。

4 路易斯·卡爾沃：科爾多瓦清真寺矢量圖

路易斯·卡爾沃出生于 1959 年，是一名設(shè)計師，對家鄉(xiāng)科爾多瓦的歷史和建筑情有獨鐘。2008 年 12 月，布魯塞爾塞萬提斯學院（Cervantes Institute）舉辦了一次藝術(shù)展，通過八位藝術(shù)家的作品展示了科爾多瓦市的文化內(nèi)涵�？栁忠砸环麨� "La Proporcion Cordobesa"（科爾多瓦比例）的畫作（圖 17）參與了此次集體展覽，在這幅畫作中，作者向這座城市最具代表性的建筑——清真寺表達了敬意�？栁值淖髌肥窃诿薏忌侠L制的矢量圖，畫框排列成矩形，代表了科爾多瓦清真寺的平面圖。

從圖中，我們可以看到五個矩形模塊，每個模塊的顏色都不同，與建筑施工的不同階段相呼應。在整個矩形上，我們可以看到許多八角形的星星。每個八角星都鑲嵌在一個幾何框架中，該框架由一個長方形網(wǎng)格和另一個相對于第一個網(wǎng)格旋轉(zhuǎn)的網(wǎng)格共同組成。

讓我們把注意力集中在放置八角星的幾何骨架上。當我們構(gòu)建它時，它的數(shù)學趣味就顯而易見了。

圖17科爾多瓦比例（2008年）

如圖18所示，用平行于正方形邊的線切開正方形內(nèi)接的正八邊形，我們可以確定一個由四個比例為√2的全等矩形、四個全等正方形和一個大中心正方形組成的復合圖形。該模塊將是初始網(wǎng)格的基礎(chǔ)。

圖18初始網(wǎng)格的基礎(chǔ)

要構(gòu)造的第一個圖形是星形八邊形，用8/2表示(圖19a)，它由兩個正方形組成。在下一步中，在前一顆恒星內(nèi)，我們繪制恒星八邊形8/3，或八元圖，其點位于恒星8/2的凸頂點上(圖19b)。

圖19生成基準星

回到第一顆星8/2，我們繪制另一顆星8/3，它的點在初始星8/2的點中。這一操作確定了八個交錯的科爾多瓦三角形，其角在星形的角上為45°（圖19c）。在構(gòu)圖中心確定的小內(nèi)部星8/2內(nèi)，我們重復前面幾行中描述的相同操作。該構(gòu)圖在網(wǎng)格上以兩個獨立的方向平移，圖20（左）。最后，我們在前面四個模塊包圍的內(nèi)部規(guī)范模塊上安裝另一個相同的設(shè)計。最終結(jié)果是一個由五個交錯模塊組成的網(wǎng)格，如圖20（右）。

圖20生成模式基礎(chǔ)

通過兩個獨立的矢量，我們可以將五種構(gòu)圖進行平移，從而得到一幅由矩形和正方形組成的平鋪圖，其中一些矩形和正方形由八邊形幾何圖形中的線段裝飾，如圖 21 所示。

圖 21 網(wǎng)格中的矩形和方形模塊

值得注意的是，藝術(shù)家采用了截然不同的建造程序�？栁值钠瘘c是將 T1 模塊戰(zhàn)略性地放置在矩形網(wǎng)格的小方格中，如圖 18 所示。接下來，線段被延伸，并通過添加剩余的線條完成繪圖。見圖 22。

在 T1 模塊中，科爾多瓦菱形純粹是鑲嵌在一個由 90°和 45°兩角一分為二構(gòu)成的正方形中（見圖 4）。我們可以看到，這種形狀是折紙的兩個基礎(chǔ)之一：魚形基礎(chǔ)。八世紀時，折紙藝術(shù)在阿拉伯人中非常流行。卡爾沃的個人建議是，科爾多瓦清真寺是由懂得并使用折紙技術(shù)的砌磚大師建造的。這就是模塊 T1 在藝術(shù)家所遵循的方式中發(fā)揮主要作用的原因。

通過前面兩種不同的結(jié)構(gòu)，最終的結(jié)果都是一樣的，即現(xiàn)代的 "tasteir"（直線幾何學）�？茽柖嗤弑壤龔倪@個星空長廊中浮現(xiàn)出來，其中有幾個科爾多瓦多邊形很容易辨認，它們并不是有意識繪制的，而是以一種隱含的方式出現(xiàn)。我們在網(wǎng)格中發(fā)現(xiàn)了一些新的多邊形，可以將它們添加到我們之前的作品中。

為了澄清對畫布的理解，我們將其視為一個由八行十一列組成的數(shù)組，我們將對每個方框或方框組進行編碼，如圖 23 所示。該圖的背景是作者友情提供的繪畫草圖。

圖 23 將畫布編碼

科爾多瓦鉆石在多個方格中都能找到。例如，在 Ai,j 中，I = 2、4、6、8，j = 1、3、5、7、9、11�？茽柖嗤呷切畏植荚趫D片的各個角落。例如，在方框 A4,5;2,3，我們可以看到兩個科爾多瓦三角形，它們分別被對方和各自的圓規(guī)分割。A3,4;3,4 中有一個 c 形弓。一個被稱為星形的凹八邊形和一個 c 傘形明確位于 A3,4,5;2,3,4。在 A5,6,7;4,5,6 中有八邊形 c 魚和 c 月亮，依此類推，如圖 24。

圖 24 方框 A4,5;2,3、A3,4;3,4、A3,4,5;2,3,4 和 A5,6,7;4,5,6 中的科爾多瓦多邊形

通過分析這幅圖，我們可以確定一些新的五邊形，它們將使作者發(fā)現(xiàn)的五邊形家族更加完整。這些新的科爾多瓦五邊形被切割成矩形、正方形、科爾多瓦三角形和團子，見圖 25。第一個五邊形涉及科爾多瓦數(shù)和銀數(shù) θ = 1+√2。它們出現(xiàn)在第一行和第二行，經(jīng)過幾列：A1,2;1,2,3，A1,2;5,6,7，A1,2;9,10,11。這些對稱五邊形可以在 A4,5;1,2,3、A4,5;5,6,7、A4,5;9,10,11 中找到。

圖 25 方框 A7,8,9;6,7,8 中的三個五邊形

通過觀察 T2 模塊，我們可以發(fā)現(xiàn)有關(guān)矩形 √2 的一些幾何事實。圖 26 上一行解釋了 T2 模塊的構(gòu)造步驟。從第一幅圖中可以看出，矩形√2 可以分割成一個銀矩形和兩個比例為 c2 的矩形。

圖 26 矩形 √2 的剖面圖

在下一行左側(cè)，我們可以看到矩形√2 的另一個剖面圖。在這種情況下，結(jié)果是三個科爾多瓦三角形、一個等腰三角形和兩個對稱斜邊三角形的結(jié)合。該等腰三角形是標角三角形的圓角，而標角三角形正是科爾多瓦三角形的圓角。其余的圖片顯示了矩形 √2 中一個 c 型鏢和一個 c 型風箏的位置。

5 結(jié)論

我們可以得出結(jié)論，科爾多瓦比例不只是一個數(shù)學發(fā)明。創(chuàng)造一個新的幾何術(shù)語并非易事，但卡布雷拉和卡爾沃等藝術(shù)家在他們的藝術(shù)作品中都考慮到了這一點。數(shù)學家和藝術(shù)家在兩個截然不同的領(lǐng)域進行研究，最終匯聚到一個共同點上：科爾多瓦比例是科爾多瓦清真寺的靈魂。

參考文獻

1. Hoz, R.: La proporcion Cordobesa. Actas de la quinta asamblea de instituciones de Cultura de las Diputaciones. Ed. Diputacion de Cordoba (1973)

2. Hoz, R.: Rafael de la Hoz. Consejo Superior de los Colegios de Arquitectos de Espana. ISBN

8460977234. Cordoba (Spain) (2005)

3. Redondo, A., Reyes, E.: The cordovan proportion: geometry, art and paper folding. Proceedings of 7th Interdisciplinary Conference ISAMA 2008-Valencia, pp. 107–114, Spain, Hyperseeing, May–June (2008a)

4. Redondo, A., Reyes, E.: The geometry of the cordovan polygons. Vis. Math. 10(4) (2008b),

www.mi.sanu.ac.yu/vismath/redondo2009/cordovan.pdf

5. Redondo, A., Reyes, E.: Cordovan geometrical patterns and designs. Symmetry: Art and Science, 009/1–4. Special Issue for the Conference of ISIS-Symmetry. Symmetry of Forms and Structures, pp. 68–71, Wroclaw-Cracow, Poland (2009)

6 http://www.hashimcabrera.com/galeria.html

7 http://www.lacajadelagua.com/la_sexta_mirada/aut_luis.html

8 Antonia Redondo Buitrago and Encarnacion Reyes Iglesias, Geometry and Art from the Cordovan Proportion

青山不改，綠水長流，在下告退。

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