新定義“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”

2024年西城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)期末第28題

數(shù)學(xué)中的對(duì)稱，在初中階段通常指軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，屬于圖形變化版塊，無(wú)論哪種對(duì)稱，全等是其中最重要的關(guān)系，畢竟軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，也是特殊的全等圖形。在新課標(biāo)中，對(duì)于圖形的旋轉(zhuǎn)，有如下要求：通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)。探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和旋轉(zhuǎn)得到的圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等。當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為180°時(shí)，即為中心對(duì)稱。

在2024年西城區(qū)九年級(jí)上學(xué)期的期末試題中，“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”利用這些旋轉(zhuǎn)特性，構(gòu)建出新的概念，呈軸對(duì)稱（或中心對(duì)稱）的兩個(gè)點(diǎn)分別作為旋轉(zhuǎn)中心，按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的角度，從而完成某個(gè)圖形的變換，對(duì)學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)變換提出了較高的要求。

題目

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)S(-1,0)，T(1,0).對(duì)于一個(gè)角α(0°<α≤180°)，將一個(gè)圖形先繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，再繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，稱為一次“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”.

(1)點(diǎn)R在線段ST上，則在點(diǎn)A(1,-1)，B(3,-2)，C(2,-2)，D(0,-2)中，有可能是由點(diǎn)R經(jīng)過(guò)一次“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)是_____________________；

(2)x軸上的一點(diǎn)P經(jīng)過(guò)一次“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”得到點(diǎn)Q.

①當(dāng)α=60°時(shí)，PQ=______________；

②當(dāng)α=30°時(shí)，若QT⊥x軸，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)以點(diǎn)O為圓心作半徑為1的圓，若在圓O上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M經(jīng)過(guò)一次“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后得到的點(diǎn)在x軸上，直接寫出α的取值范圍.

解析：

01

(1)從新定義的描述中，發(fā)現(xiàn)“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”較為簡(jiǎn)潔，旋轉(zhuǎn)中心分別是兩個(gè)定點(diǎn)S和T，旋轉(zhuǎn)方向分別是順時(shí)針和逆時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角同為90°；

點(diǎn)R在線段ST上，意味著線段ST上所有點(diǎn)都有可能是點(diǎn)R，因此我們?cè)诳紤]點(diǎn)R的“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”時(shí)，不妨把所有可能的點(diǎn)都考慮到，即線段ST的“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”，如下圖：

線段ST先繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ST'，再將線段ST'繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段S'B，即圖中紅色線段，于是所有可能的點(diǎn)R經(jīng)過(guò)一次“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”后的點(diǎn)，都在這條紅色線段S'B上，本小題結(jié)論一眼可知，B點(diǎn)和C點(diǎn)；

02

(2)①當(dāng)α=60°時(shí)，x軸上的點(diǎn)P經(jīng)過(guò)一次“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”：點(diǎn)P繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)P'，點(diǎn)P'繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q，如下圖：

由于旋轉(zhuǎn)角是60°，因此△SPP'和△TP'Q都是等邊三角形，這便是常見(jiàn)的“手拉手模型”，所以可以得到△STP'≌△PQP'，于是ST=PQ=2；

②當(dāng)α=30°時(shí)，x軸上的點(diǎn)P經(jīng)過(guò)一次“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”：點(diǎn)P繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)P'，點(diǎn)P'繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到點(diǎn)Q，如下圖：

新增條件QT⊥x軸，又因?yàn)椤螾SP'=∠P'TQ=30°，于是∠STP'=90°-30°=60°，于是△STP'是含30°角的直角三角形；

ST=2，得到SP'=√3=SP，最后得到點(diǎn)P坐標(biāo)為(-1+√3，0)；

03

(3)作為本題難度“天花板”，我們?nèi)匀蛔駨念}目中描述的“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”定義，對(duì)于圓O上存在的點(diǎn)M，不妨先考慮整個(gè)圓作為一個(gè)整體進(jìn)行一次“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”，只要變換后的圓與x軸有公共點(diǎn)，即可得到點(diǎn)M；

先作圓O，將它繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到圓O'，再將圓O'繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到圓O"，隨著α從0°變化到180°，全過(guò)程動(dòng)畫如下：

綠色的是圓O'，紅色的是圓O"，我們重點(diǎn)觀察后者，發(fā)現(xiàn)它與x軸有公共點(diǎn)的時(shí)間段有兩個(gè)，第一段是α從0°開始，到30°結(jié)束，第二段是從150°開始，到180°結(jié)束，當(dāng)然這是動(dòng)畫演示的結(jié)果，并不能代表學(xué)生也能這樣精確去構(gòu)思。

對(duì)于學(xué)生來(lái)講，只需要明白圓O"與x軸有公共點(diǎn)時(shí)，即存在點(diǎn)M，而圓O"的半徑是1，所以我們觀察圓心O"的位置，當(dāng)O"與x軸距離小于等于1的時(shí)候存在點(diǎn)M；

整個(gè)過(guò)程中，我們需要求解的α值其實(shí)只有兩個(gè)，即當(dāng)圓O"兩次與x軸相切時(shí)的旋轉(zhuǎn)角；

第一次，如下圖：

為了方便觀察，我們將圓都隱去，只保留圓心，在實(shí)際解題時(shí)，也鼓勵(lì)學(xué)生使用這種作圖草稿的辦法，只關(guān)注核心要素，如下圖：

由于旋轉(zhuǎn)角均為α，因此對(duì)于等腰△SOO'與等腰△TO'O"，它們是相似三角形，且頂角均為α，底角為90°-1/2·α，它們各自的腰與底之比相同，可得SO':O'O=O'T:O'O"，即△SO'T與△OO'O"的一組對(duì)應(yīng)邊成比例，同時(shí)易證∠SO'T=∠OO'O"，所以△SO'T∽△OO'O"，從而推導(dǎo)出∠O'OO"=α，我們需要作出點(diǎn)O"到x軸的距離，同時(shí)也過(guò)點(diǎn)O'作x軸的垂線段，如下圖：

繼續(xù)前面的推導(dǎo)，∠O'OC=90°-∠SOO'=1/2α，則∠O'OO"=α，于是∠O"OC=1/2α，所以∠O"OB=90°-1/2α，所以∠O'OA=∠O"OB，可證△O'OA∽△O"OB，其中O"B=1，于是O'A=1/2，最后回到Rt△SAO'中，sinα=1/2，于是∠α=30°；

由此我們得到第一段的范圍是0°<α≤30°；

第二次，如下圖：

我們采用同樣的推導(dǎo)方式，如下圖：

結(jié)論也類似，當(dāng)EO"=1的時(shí)候，DO'=1/2，我們?nèi)匀荒芮蟪觥螪SO'=30°，于是α=150°；

由此我們得到第二段的范圍是150°≤α≤180°；

綜上，α的范圍是0°<α≤30°，150°≤α≤180°.

解題反思

在2024年各區(qū)期末數(shù)學(xué)試題中，西城區(qū)這道新定義壓軸題難度較高，基本上前面不再“無(wú)腦送”，而是需要去認(rèn)真理解“α對(duì)稱旋轉(zhuǎn)”，通常情況下解這類壓軸題，有句俗語(yǔ)叫“磨刀不誤砍柴功”，別急著去看第1小題，在草稿紙上任意取點(diǎn)，按定義描述去畫一畫，想一想，只要這一步做踏實(shí)了，后面無(wú)論圖形位置、大小如何，畫草圖就容易得多。

解這道壓軸題的時(shí)候，需要學(xué)生較強(qiáng)的手動(dòng)作圖能力，雖然作為老師可以利用幾何畫板、GGB等工具精準(zhǔn)繪圖，但僅限于解題研究，如果給學(xué)生講題，則必須切換作圖思維，在純手工作圖環(huán)境下，如何得到本題所需的圖形，即培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力。所以在解讀新定義環(huán)節(jié)，需要以“任意點(diǎn)”來(lái)進(jìn)行嘗試，分別以S、T為旋轉(zhuǎn)中心，“任意α角”進(jìn)行順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在作圖過(guò)程中，腦子里也需要進(jìn)行圖形動(dòng)態(tài)化處理，從而形成動(dòng)畫過(guò)程，當(dāng)這種嘗試遇到困難時(shí)，第1小題提供了特殊化處理，也是為了降低學(xué)生理解難度，顯然第2小題則在前面的基礎(chǔ)上對(duì)理解加深了一層，深度是否足夠，則第3小題來(lái)檢驗(yàn)。

在網(wǎng)上也搜索到了部分這道題的講解視頻，這些視頻大多推出較早，基本上在考試結(jié)束后便出現(xiàn)了，對(duì)于第3小題為什么α臨界值是30°和150°，只是簡(jiǎn)單用繪圖工具演示或猜測(cè)，并沒(méi)有進(jìn)行嚴(yán)格幾何推理，這對(duì)于中等生理解十分不友好，其實(shí)學(xué)霸理解也要遵循這些推導(dǎo)，只是速度較快罷了。如果是給學(xué)生講，還是淺顯一點(diǎn)的好。

數(shù)學(xué)老師研題，不是簡(jiǎn)單把題目解出來(lái)，把自已的方法告訴學(xué)生這么簡(jiǎn)單，而是要分析題目從條件推導(dǎo)出結(jié)論的全過(guò)程，將整個(gè)思維顯現(xiàn)出來(lái)，再引導(dǎo)學(xué)生沿這條路走，告知和引導(dǎo)，是兩種完全不同的教學(xué)，因此，強(qiáng)烈推薦《從優(yōu)秀試題研究中領(lǐng)悟初中數(shù)學(xué)教學(xué)》叢書，上冊(cè)已出版，中冊(cè)即將出版，它將為初中數(shù)學(xué)老師推開一扇教學(xué)研究的大門。