學(xué)生為何想不到？——函數(shù)壓軸題思維困局探討

九年級(jí)復(fù)習(xí)備考過程中，對(duì)于二次函數(shù)壓軸題的解題教學(xué)，所有教師追求的境界，無一不是讓學(xué)生獲得突破思路，從而完成解答，我們?cè)跉v次研題過程中，一直在探索如何讓學(xué)生想到。作為數(shù)學(xué)教師，自身能解題，能講題，是兩個(gè)不同的層次，能解是基礎(chǔ)，能講是目標(biāo)，學(xué)生學(xué)會(huì)是結(jié)果，在多數(shù)情況下，學(xué)生想不到，因此有很必要研究一個(gè)問題，那就是學(xué)生為何想不到，以一道九年級(jí)測(cè)試壓軸題為例。

題目

如圖1，已知拋物線C1：y=-x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的右側(cè))，交y軸于點(diǎn)C.

(1)直接寫出AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)直線y=kx+b(k，b為常數(shù))過AC的中點(diǎn)，與拋物線C1交于E，F(xiàn)(E在F的右側(cè))，若點(diǎn)E，A的水平距離與點(diǎn)F，B的水平距離相等，求k的值；

(3)如圖2，將拋物線C1向右平移得到過原點(diǎn)的拋物線C2，拋物線C2的對(duì)稱軸為直線l，直線y=mx+n(m,n為常數(shù)且m≠0)與拋物線C2有唯一公共點(diǎn)P，且與直線l交于點(diǎn)M，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，PQ⊥l于Q，求線段NQ的長(zhǎng).

解析：

01

(1)在讀題過程中，求出點(diǎn)A(4,0)，點(diǎn)C(0,4)，利用中點(diǎn)公式得到D(2,2)；

02

(2)逐句解讀題目條件：

“直線y=kx+b過AC中點(diǎn)”，我們將點(diǎn)D(2,2)代入，得b=2-2k，它的作用是消元，則直線y=kx+2-2k；

“與拋物線C1交于E，F(xiàn)”，我們聯(lián)立方程kx+2-2k=-x2+3x+4，顯然這個(gè)方程不能求數(shù)值解，只能得到含參解，并且較為復(fù)雜，雖然這也是一條路，但我們有更好的選擇——韋達(dá)定理，整理后得到x2+(k-3)x-2k-2=0，得x1+x2=3-k，x1·x2=-2k-2；

“若點(diǎn)E，A的水平距離與點(diǎn)F，B的水平距離相等”，我們需要表示出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，尤其是橫坐標(biāo)，不妨用x1和x2，由于并不清楚E，A或F，B的左右位置，需要加上絕對(duì)值，得|x1-4|=|x2+1|。于是可分類討論，得到x1-4=x2+1，或4-x1=x2+1；

當(dāng)x1-4=x2+1時(shí)，得x1-x2=5，則(x1-x2)2=25，利用韋達(dá)定理得到的兩個(gè)等式，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=(3-k)2-4(-2k-2)=25，整理得k2+2k-8=0，解得k1=2，k2=-4；

當(dāng)4-x1=x2+1時(shí)，得x1+x2=3，于是3-k=3，解得k=0；

綜上，k有三個(gè)結(jié)果，分別是0，2，-4；

03

(3)當(dāng)拋物線平移時(shí)，原拋物線C1的頂點(diǎn)是(3/2，25/4)，平移后經(jīng)過原點(diǎn)，相當(dāng)于原拋物線上的點(diǎn)B平移到了原點(diǎn)，即向右平移了1個(gè)單位，則新拋物線C2的頂點(diǎn)為(5/2,25/4)，于是解析式為y=-(x-5/2)2+25/4；

直線y=mx+n與拋物線C2有唯一公共點(diǎn)P，我們聯(lián)立方程mx+n=-(x-5/2)2+25/4，整理得x2+(m-5)x+n=0，其中△=(m-5)2-4n=0，于是n=1/4·(m-5)2；

將其代回到聯(lián)立方程中，解得x=(5-m)/2，即點(diǎn)P橫坐標(biāo)，于是P((5-m)/2，(5-m)m/2+n)，而點(diǎn)Q縱坐標(biāo)與點(diǎn)P相同，于是Q(5/2，(5-m)m/2+n)；

拋物線C2的對(duì)稱軸為x=5/2，則直線y=mx+n與它的交點(diǎn)M為(5/2，5m/2+n)，由對(duì)稱性得N(5/2，-5m/2-n)；

現(xiàn)在我們得到了Q與N坐標(biāo)，所以能表示出NQ=(5-m)m/2+n-(-5m/2-n)，推導(dǎo)如下：

最后發(fā)現(xiàn)參數(shù)m全部消掉，只剩下NQ=25/2.

解題反思

我們發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生尋找解題思路的過程中，存在三處難點(diǎn)待突破：

第一個(gè)難點(diǎn)是在第2小題中，理解E，A的水平距離與F，B的水平距離相等這句話，水平距離即兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的差，在不清楚左右位置關(guān)系的前提下，需要加絕對(duì)值，然后分情況討論；還要與韋達(dá)定理結(jié)合起來，這又回到我們何時(shí)該使用韋達(dá)定理的問題上了，通常情況下含參一元二次方程，不能得到數(shù)值解時(shí)，會(huì)使用韋達(dá)定理來尋找兩根和與積的關(guān)系，這也是當(dāng)初我們?cè)谡n堂上學(xué)習(xí)韋達(dá)定理時(shí)，要向?qū)W生明確的事實(shí)，即告知學(xué)生這個(gè)定理的使用條件；

第二個(gè)難點(diǎn)是直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)，解讀為聯(lián)立方程，然后判別式△=0，得到一個(gè)含m，n的等式后，不知道如何用，當(dāng)我們得到含兩個(gè)參數(shù)的等式，一般會(huì)利用其中一個(gè)參數(shù)來表示另一個(gè)，這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)二元一次方程組解法時(shí)的重要數(shù)學(xué)思想——消元。

第三處難點(diǎn)，就是學(xué)生在面對(duì)一個(gè)含多參的代數(shù)式時(shí)，會(huì)出現(xiàn)畏難情緒，我們發(fā)現(xiàn)本題實(shí)質(zhì)上并沒有對(duì)二次函數(shù)本身的圖像性質(zhì)有多么深入的探究，仍然是基于動(dòng)點(diǎn)的線段長(zhǎng)度研究，這在宜昌歷年中考?jí)狠S題中都有出現(xiàn)，算是宜昌特色的考察方式。無論是存在性問題、定軸動(dòng)區(qū)間類問題、定點(diǎn)定長(zhǎng)問題、恒過定點(diǎn)或恒不過定點(diǎn)問題等，都以較復(fù)雜的代數(shù)恒等變換、多參數(shù)聞名，而這些所謂的“難”，在熟練掌握了以上技巧的學(xué)生面前，顯得非常容易，所以我們?cè)诤芏啻沃锌己?，聽學(xué)生評(píng)價(jià)，這種題目，死算即可，不禁感到有些悲哀，數(shù)學(xué)可不僅是死算，素養(yǎng)也不僅是技巧。

學(xué)生在面對(duì)這些難點(diǎn)時(shí)，需要從題目條件出發(fā)去分析，在平時(shí)課堂上，總有少數(shù)學(xué)生，在看到題目之后，先問老師“有輔助線嗎？”在得到肯定答復(fù)后，便開始猜在哪里畫線，這種做法是本末倒置，條件都未開始分析，便去尋找輔助線，除了盲猜浪費(fèi)時(shí)間，沒有別的用處。

更有部分學(xué)生，特別是中等生，面對(duì)參數(shù)，手足無措，毫無頭緒，這和平時(shí)課堂上聽講關(guān)系很大，可以斷定他們?cè)诼犂蠋煼治鲱}目時(shí)，沒有認(rèn)真或沒有理解，只是抄寫老師板書，然后認(rèn)為自已懂了，課后也沒有反思，所以那些解題方法，沒有被大腦記錄下來，只留下了“老師講過”這種最淺顯的意義。

對(duì)于課堂的意義則在于，教師在分析題目條件時(shí)，需要從學(xué)生認(rèn)知出發(fā)，而不是自已的認(rèn)知，很多解題高手，不一定是教學(xué)高手，原因正在于此。教師解題的思維模式和學(xué)生解題不盡相同，教師積累了大量解題經(jīng)驗(yàn)，反復(fù)多年進(jìn)行教學(xué)，“看出”輔助線在何處，然后用口訣讓學(xué)生去記，并沒有完成授業(yè)傳道，更不用提解惑。很多解題模型，教師研究得非常深入，但學(xué)生沒有，當(dāng)我們把研究很深之后的結(jié)論給學(xué)生，其實(shí)是把壓縮包給了學(xué)生，沒有解壓縮，里面的內(nèi)容學(xué)生沒有理解，只記住了壓縮包的名稱。不妨問下自已，在教學(xué)生之前，這些解題模型能夠自已歸納完整，自已是如何歸納的，這才是需要教給學(xué)生的東西。

2023年部分省市優(yōu)秀函數(shù)壓軸題如下：

安徽省考卷

福建省考卷

河北省考卷

湖北武漢卷

上海卷

天津卷

北京卷

這些都屬于比較有代表性的二次函數(shù)壓軸題，它們的難度各不相同，有些比本題簡(jiǎn)單，但思維含量很高，即區(qū)分度很優(yōu)秀。

當(dāng)然，作為一套科學(xué)的中考數(shù)學(xué)試卷，不會(huì)把區(qū)分度押寶到最后的幾道題目上，難度應(yīng)呈斜鋸齒狀分布，科學(xué)命題，任重道遠(yuǎn)。