女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。

藝術(shù)和建筑中的設(shè)計(jì)過(guò)程通常涉及相對(duì)少量的幾何元素的組合和操作，以創(chuàng)建底層結(jié)構(gòu)和覆蓋的裝飾細(xì)節(jié)。在本文中，我們將重點(diǎn)放在由一個(gè)單一的幾何形狀——圓復(fù)制而成的圖案上。圓形是一個(gè)非常重要的形狀。憑借其簡(jiǎn)單性和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，它已經(jīng)被許多不同的文化推崇了幾千年，象征著上帝、統(tǒng)一、完美、永恒、穩(wěn)定等。例如，拉爾夫·瓦爾多·愛(ài)默生認(rèn)為圓是“世界密碼中最高的象征”[Emerson 1920]。

圓形玫瑰花結(jié)

圓形玫瑰花結(jié)有著悠久的歷史，至少可以追溯到6000年前，例如在埃及、巴比倫、亞述和希臘文化中很流行[Goodyear 1891]。羅爾斯的綜合著作[Rawles 1997]中給出了奧西里斯神廟相交圓的一些吸引人的排列的例子(例如，所謂的生命之花和種子)。后來(lái)，玫瑰花結(jié)成為羅馬建筑中流行的地板裝飾圖案[Schmelzeisen 1992]。一個(gè)更現(xiàn)代的現(xiàn)象是越來(lái)越多的人看到麥田怪圈。不考慮它們來(lái)自地球外的真實(shí)性問(wèn)題，值得注意的是，許多涉及交叉圓形成玫瑰狀圖案。事實(shí)上，圓形玫瑰花結(jié)出現(xiàn)在許多意想不到的地方，從人孔[Melnick 1994]到達(dá)芬奇的繩結(jié)圖案，再到鐘面和花園籬笆(圖1)。

圖1 圓形玫瑰花結(jié)

圓形玫瑰花結(jié)是通過(guò)復(fù)制一個(gè)圓并圍繞一個(gè)點(diǎn)(玫瑰花結(jié)的中心)旋轉(zhuǎn)它們而形成的(圖2)。

圖2 圓形玫瑰花結(jié)的兩個(gè)例子。

如果圓的半徑r等于旋轉(zhuǎn)點(diǎn)和圓心之間的距離d，那么所有的圓都在玫瑰形的中心相交(圖3a)。如果圓的半徑小于d，那么它們不會(huì)到達(dá)玫瑰花結(jié)的中心，形成一個(gè)洞(圖3b)。

圖3 由30個(gè)半徑為(a) r = d，(b) rd的圓組成的圓形玫瑰花結(jié)。

同樣，當(dāng)圓的半徑大于d時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)明顯的洞，盡管在這種情況下，所有的圓都包含玫瑰形中心。我們還看到，隨著用于產(chǎn)生玫瑰花結(jié)的圓的數(shù)量增加，玫瑰花結(jié)的外周長(zhǎng)的包絡(luò)收斂于半徑為r+d的圓，而內(nèi)圓的包絡(luò)是半徑為d的圓。因此，我們有一個(gè)奇怪的方面，即對(duì)于固定值v，不管r=d+v還是r=d-v，都產(chǎn)生相同尺寸的內(nèi)圓孔。

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們只考慮圓在玫瑰形中心相遇的第一種情況。圓之間的交點(diǎn)由下式給出

其中，t是連續(xù)圓之間的角度增量，即，如果有N個(gè)圓，則t=2π/N，N是交叉點(diǎn)級(jí)別，1表示最靠近玫瑰花結(jié)外圍的交叉點(diǎn)，表示最靠近玫瑰花結(jié)中心的下一個(gè)級(jí)別，依此類(lèi)推。這使我們能夠通過(guò)對(duì)玫瑰花結(jié)的目視檢查來(lái)驗(yàn)證一些特性。首先，除了玫瑰花結(jié)最里面和最外面的區(qū)域，由重疊圓圈形成的空隙形成了一種曲線菱形(見(jiàn)下圖9)。不僅這些空隙的所有邊都等長(zhǎng)，而且所有空隙的邊都等長(zhǎng)。第二，有N/2圈空隙。在中心環(huán)中，它們的縱橫比為1:1，而從該環(huán)向外移動(dòng)時(shí)，兩側(cè)的縱橫比對(duì)稱(chēng)地增加。也就是說(shuō)，中環(huán)兩側(cè)的相應(yīng)間隙具有相同的縱橫比，但旋轉(zhuǎn)了90°。相比之下，由對(duì)數(shù)螺線構(gòu)建的玫瑰花結(jié)的空隙保持相同的形狀(和縱橫比)，但隨著它們從玫瑰花結(jié)中心向外輻射，其尺寸只會(huì)增加[Williams 1999]。當(dāng)更多的圓圈組成玫瑰花結(jié)時(shí)，自然會(huì)產(chǎn)生更多的空隙。不僅如此，它們的長(zhǎng)寬比的變化率也會(huì)發(fā)生變化。具有很少圓圈的玫瑰花結(jié)的空隙具有在[0，1.5]范圍內(nèi)相當(dāng)均勻分布的縱橫比，而對(duì)于包含許多圓圈的玫瑰花結(jié)，大多數(shù)空隙接近1:1。這在圖4的圖表中得到驗(yàn)證，該圖表顯示了每個(gè)環(huán)與其向內(nèi)相鄰的環(huán)的縱橫比。

圖4 顯示在玫瑰花叢中間距長(zhǎng)寬比增加和減少的變化率的曲線圖。

由于其類(lèi)似透視的收縮，玫瑰環(huán)的外半部分給人一種視覺(jué)印象，即有一個(gè)遠(yuǎn)離觀察者的三維球面彎曲。為了避免這種情況，并確保玫瑰花結(jié)給人一種類(lèi)似星爆的輻射效果，許多為人行道設(shè)計(jì)的圓形玫瑰花結(jié)只使用內(nèi)環(huán)，去掉中環(huán)以外的部分。

五盤(pán)問(wèn)題

既然我們已經(jīng)確定了圓的交點(diǎn)，現(xiàn)在就很容易解決幾何五圓盤(pán)問(wèn)題[Weisstein 1998],設(shè)置如下(圖5)。給定五個(gè)大小相等的圓盤(pán)，關(guān)于給定的中心對(duì)稱(chēng)放置，確保圓盤(pán)覆蓋的圓形區(qū)域的半徑等于1的最小圓盤(pán)半徑是多少？所要做的就是求解給定圈數(shù)N=5時(shí)相對(duì)于r的xi(1)^2+yi(1)^2=1，結(jié)果得到解r=1/π。

圖5 五盤(pán)問(wèn)題。陰影圓的半徑應(yīng)該等于1。

我們還可以確定N的其他值的解，例如，對(duì)于四個(gè)圓：r=1/√2，對(duì)于六個(gè)圓：r=1/√3。

內(nèi)旋輪線

將玫瑰圖與稱(chēng)為內(nèi)旋輪線的解析曲線進(jìn)行比較是很有趣的，內(nèi)旋輪線是通過(guò)描繪在另一個(gè)固定圓內(nèi)滾動(dòng)的圓上的固定點(diǎn)而產(chǎn)生的。參數(shù)方程給出的簡(jiǎn)化形式

產(chǎn)生與圓形玫瑰花結(jié)非常相似的圖案，如圖6所示。參數(shù)q決定了葉的數(shù)量，并且可以修改方程來(lái)增加和減少葉的豐滿(mǎn)度。

圖6 非常類(lèi)似圓形玫瑰花結(jié)的內(nèi)旋輪線。

人們可以推測(cè)，阿爾布雷特·丟勒可能也注意到了這種相似性。除了他的藝術(shù)作品，他意識(shí)到數(shù)學(xué)可以為藝術(shù)家提供強(qiáng)大的工具，并對(duì)藝術(shù)和數(shù)學(xué)之間的聯(lián)系感興趣。這導(dǎo)致他成為一個(gè)重要的文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家(至少就幾何學(xué)的早期傳播而言，而不是該領(lǐng)域的擴(kuò)展)。在他的著作《Unterweisung der Messung MIT DEM Zirkel und Richtscheit》中，他不僅描述了一種設(shè)計(jì)圓形玫瑰地板圖案的方法，還描述了大量曲線的構(gòu)造，包括外擺線(心形)[Dürer 1977]。

內(nèi)旋輪線不是唯一與玫瑰花結(jié)外觀相似的曲線。事實(shí)上，1728年Guido Grande發(fā)表了《Flores Geometrici》，描述了一系列產(chǎn)生花狀圖案的曲線。

形式上的變化

從基本的圓形玫瑰花結(jié)開(kāi)始，我們可以在它的結(jié)構(gòu)上做出許多變化。例如，旋轉(zhuǎn)的圓可以由其它形式代替，例如圖7a所示的橢圓。如果橢圓的拉伸是足夠的，那么空隙就表現(xiàn)出介于圓形和螺旋形玫瑰花結(jié)之間的特性。例如，在所示的例子中，菱形空隙隨著從玫瑰花結(jié)中心向外移動(dòng)而變得更加緊密。與圓形玫瑰花結(jié)相比，縱橫比的變化較慢。此外，縱橫比不達(dá)到1∶1，因此不包含在中間環(huán)的任一側(cè)具有相同縱橫比的對(duì)稱(chēng)間隙環(huán)?？障犊v橫比的變化率取決于組成玫瑰花結(jié)的橢圓數(shù)量及其偏心率。因此，如果產(chǎn)生一系列玫瑰花結(jié)，其中橢圓的偏心率逐漸減小，變得更圓，則1∶1空隙的環(huán)出現(xiàn)在玫瑰花結(jié)的外圍，并向內(nèi)朝著玫瑰花結(jié)的中環(huán)移動(dòng)。

圖7b和7c示出了以另一種方式拉伸橢圓的效果，使得它延伸穿過(guò)玫瑰花結(jié)，而不是從中心向外突出。當(dāng)包含足夠多的橢圓時(shí)，就產(chǎn)生了網(wǎng)格圖案，其中出現(xiàn)了各種形狀的空隙。此外，在中心形成一個(gè)半徑等于橢圓短軸長(zhǎng)度的圓環(huán)。在圖7d和7e中，生成圓已經(jīng)被超橢圓代替[Gardner 1965](實(shí)際上是超圓，因?yàn)樗鼈兊拈L(zhǎng)寬比為1)。由于輕微彎曲的邊和尖銳的角的混合，一個(gè)更有活力的自然被創(chuàng)造出來(lái)，因?yàn)榭障端坪趼菪M(jìn)入中心，從那里出現(xiàn)了幾個(gè)蓮花形狀。

圖7 使用替代旋轉(zhuǎn)形式創(chuàng)建的玫瑰花結(jié)。

如果圓形玫瑰花形在任何方向上均勻拉伸，這將導(dǎo)致玫瑰花形整體呈橢圓形(圖8a)。旋轉(zhuǎn)的圓將變成橢圓，盡管其偏心率有所不同，與上例中的橢圓不同。

另一個(gè)以橢圓為主題的變化是由米開(kāi)朗基羅設(shè)計(jì)的坎皮多利奧人行道(雖然直到1940年才開(kāi)始實(shí)施)。最終版本顯示了比上述均勻拉伸更微妙的結(jié)構(gòu)。內(nèi)環(huán)是一個(gè)圓，連續(xù)的環(huán)逐漸拉伸，以便逐漸過(guò)渡到外橢圓。

其他圖案可以以類(lèi)似于圓形玫瑰花結(jié)的方式構(gòu)建，但是修改圓的位置和/或它們的大小。例如，圖8b和8c中的腎形線和心形線對(duì)于圓保持與玫瑰花結(jié)相同的位置，但是它們的半徑是位置的函數(shù)。

圖8 圓形玫瑰花結(jié)的進(jìn)一步變化。

連接的變化

再次從基本的圓形玫瑰花結(jié)開(kāi)始，輪廓可以通過(guò)各種圖形方式進(jìn)一步表達(dá)[Williams 1997]。同樣由米開(kāi)朗基羅設(shè)計(jì)的Laurenziana圖書(shū)館的路面從兩個(gè)方面改進(jìn)了基本的玫瑰花結(jié)。它是由兩個(gè)玫瑰組合而成，第二個(gè)相對(duì)于第一個(gè)略微旋轉(zhuǎn)[Nicholson and Kappraff，1998；Kappraff 1999]。此外，空隙內(nèi)還畫(huà)了橢圓。

即使將圖案簡(jiǎn)化為具有無(wú)限薄邊界的單個(gè)玫瑰花結(jié)，并將橢圓與圓對(duì)接，仍然會(huì)產(chǎn)生難以分析的幾何圖案。主要問(wèn)題涉及橢圓，因?yàn)榇_定內(nèi)接橢圓并不簡(jiǎn)單。

為了簡(jiǎn)化分析，我們將曲線菱形近似為標(biāo)準(zhǔn)的直邊菱形(圖9)。然后，我們可以按照繪圖員已知的繁瑣程序來(lái)確定平行四邊形的內(nèi)接橢圓[Browning 1996]

圖9 曲線菱形空隙形成圓形玫瑰花環(huán)。

事實(shí)上，對(duì)于菱形來(lái)說(shuō)，問(wèn)題大大簡(jiǎn)化了。菱形和橢圓的中心重合，我們發(fā)現(xiàn)如果菱形的軸的長(zhǎng)度是a和b，那么橢圓的軸的長(zhǎng)度是a/√2和b/√2，并且與菱形的共軛直徑對(duì)齊。此外，橢圓與菱形的接觸點(diǎn)位于菱形邊的四個(gè)中點(diǎn)。我們注意到，這也是牛頓解決的在凸四邊形中內(nèi)接橢圓問(wèn)題的退化情況[drri 1965]。牛頓發(fā)現(xiàn)所有可能的內(nèi)接橢圓的中心都位于連接四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線段上。對(duì)于菱形，對(duì)角線的中點(diǎn)是重合的，因此橢圓的位置只有一個(gè)解。然而，對(duì)于長(zhǎng)寬比仍然有多種解決方案。我們所描述的結(jié)構(gòu)最大化了橢圓的面積。

如圖10a所示，由直邊菱形引起的近似引起的誤差可能很大。橢圓看起來(lái)大小合適，但是向玫瑰花結(jié)的中心移動(dòng)。隨著圓圈數(shù)量的增加，組成菱形邊的弧線變短，從而降低了總曲率。這意味著近似誤差也減小了，如圖10b所示，橢圓更好地?cái)M合了空隙。

測(cè)試了幾個(gè)簡(jiǎn)單的修正，看看是否有一個(gè)簡(jiǎn)單的程序可以更準(zhǔn)確地記錄橢圓。第一次校正是基于菱形的兩個(gè)角，這兩個(gè)角與玫瑰中心的距離相等。我們最初的方法有效地將它們的平均值作為中心，因此該中心比角更靠近玫瑰中心。因?yàn)榭吹竭@實(shí)際上是太深入，我們考慮推出橢圓，使他們的中心變得與菱形的角落等距。這是通過(guò)選取一個(gè)角點(diǎn)并旋轉(zhuǎn)它，使其與通過(guò)菱形中心的光線對(duì)齊來(lái)實(shí)現(xiàn)的。圖10c表明，盡管橢圓不再與它們的鄰居接觸，但誤差已經(jīng)大大減小。第二種校正方法是考慮形成空隙的真實(shí)圓和直線近似之間的最大誤差。這是ri=√(r^2-c^2/4)其中c是菱形邊的長(zhǎng)度。最大誤差出現(xiàn)在菱形邊的中點(diǎn)，也就是橢圓應(yīng)該接觸的地方。通過(guò)這個(gè)校正因子，沿著光線從玫瑰中心推出菱形中點(diǎn)，產(chǎn)生更好定位的橢圓。即使玫瑰花結(jié)中只有幾個(gè)圓圈，誤差也幾乎看不見(jiàn)(圖10e)。這種方案優(yōu)于更復(fù)雜的方案的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，由于空隙的長(zhǎng)度都是相等的，所以對(duì)于整個(gè)玫瑰花結(jié)只需要計(jì)算一個(gè)修正值。這也導(dǎo)致橢圓與它們的鄰居保持聯(lián)系。

圖10 a，b)位于菱形中心的橢圓；c，d)位于菱形旋轉(zhuǎn)角上的橢圓；e，f)位于菱形中心的橢圓，帶有曲率校正。

月牙形

我們可以看到，每一對(duì)相鄰的圓都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新月形的切面，這個(gè)切面被稱(chēng)為 "月牙形"。月牙形的一個(gè)有趣之處在于它與經(jīng)典的 "圓的平方 "問(wèn)題有關(guān)。公元前五世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底成功地將月牙形變?yōu)檎叫?，即他建造了一個(gè)面積與月牙形相等的正方形。當(dāng)然，雖然這是一個(gè)令人印象深刻的壯舉，但不幸的是，這并沒(méi)有使他更接近于把圓變平方！

我們可以把內(nèi)切橢圓看作是擠在月牙形中的，它們的中心將位于月牙形的中間——也就是所謂的中軸線上。作為一個(gè)更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，我們可以考慮如圖 11 所示的帶內(nèi)切圓的月牙形。

圖11 刻在月牙上的圓。

這種結(jié)構(gòu)讓人聯(lián)想到哥特式玫瑰窗的裝飾，例如森斯大教堂的玫瑰窗 [Heilbron 1998]。我們通過(guò)尋找與楔形窗兩條弧線相切的圓心的位置來(lái)確定中軸線。在我們對(duì)月琴的分析中，其邊界圓弧的中心分別為 (0,0) 和 (0,m)，我們可以證明中軸線是一個(gè)橢圓，其中心為 (0,m/2)，半軸長(zhǎng)度為 a=r，b=1/2√(4r^2-m^2)。設(shè)置 r=1，并繪制出 m 值（以 r 為單位）不斷增大時(shí)中軸的長(zhǎng)寬比 a/b，我們可以看到，除了當(dāng)月輪的兩個(gè)圓相距甚遠(yuǎn)，幾乎沒(méi)有交集時(shí)，中軸一般都是圓狀的（圖 12）。隨著圓的完全分離（即 m 值接近 2r），中軸的長(zhǎng)寬比趨于無(wú)窮大。

圖12 新月中軸的長(zhǎng)寬比，是圓間距的函數(shù)(m以r為單位)。

當(dāng)然，這種程度的間隔不會(huì)出現(xiàn)在玫瑰花形中，因?yàn)樽顦O端的情況是只有三個(gè)圓（盡管此時(shí)沒(méi)有菱形間隔來(lái)刻畫(huà)橢圓）。此時(shí)相鄰圓心之間的距離為 √3r，從圖中可以看出，這發(fā)生在圓心距離增大導(dǎo)致大偏心之前。事實(shí)上，在三個(gè)圓的情況下，橢圓的長(zhǎng)寬比正好是2。

內(nèi)切圓

通過(guò)研究，我們發(fā)現(xiàn)內(nèi)切圓出現(xiàn)得非常有規(guī)律，不僅僅是作為數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是在跨越藝術(shù)和科學(xué)的各種上下文中。如前所述，它們經(jīng)常出現(xiàn)在哥特式窗飾中。羅伯特·比林斯給出了一個(gè)廣泛的例子，他在19世紀(jì)發(fā)表了100種幾何窗飾的設(shè)計(jì)，以及基于四個(gè)圓接觸一個(gè)外圓的構(gòu)造圖[Billings 1849]。幾年后，他繼續(xù)這一主題，并發(fā)表了另外100個(gè)設(shè)計(jì)(見(jiàn)圖13)，這一次完全基于三個(gè)內(nèi)圓，彼此相切以及外圓[Billings 1851]。

圖13 Billing的100張圖中的一張圖，顯示了幾何窗飾圖案及其基本結(jié)構(gòu)。

也許最著名的刻圓例子是亞歷山大的帕普斯，他在兩千多年前描述了如何在阿貝羅斯——一種形狀像鞋匠的刀的圖形——上刻圓。最近，丟勒也開(kāi)始使用內(nèi)切圓作為一種“有序”分割透鏡的方式，如圖14所示。

圖14 丟勒對(duì)透鏡的細(xì)分。

這個(gè)圖表可以通過(guò)以下方式生成。設(shè)形成透鏡的兩個(gè)圓的圓心在，半徑為r。內(nèi)接圓位于，半徑為ri:

月子上的圓的方程也可以確定，盡管這個(gè)過(guò)程比較費(fèi)力(見(jiàn)附錄)。這使我們能夠在由相交的圓組成的圓形玫瑰花結(jié)形成的月形中插入圓，如圖15所示。

玫瑰花結(jié)包含兩組月牙形；圖 15a 顯示了只填充一組月牙形的效果。這些圓可以被看作是位于月牙的放射臂上?；蛘?，從玫瑰花結(jié)中央沿著月牙形向外移動(dòng)，所有月牙形的刻圓在玫瑰花結(jié)內(nèi)形成一個(gè)環(huán)形鏈。雖然最初的圓很小，但圓環(huán)的半徑也很小。這兩個(gè)圓的半徑都在增大，直到達(dá)到圓環(huán)的中點(diǎn)。此后，圓圈逐漸變小，而圓環(huán)的半徑繼續(xù)增大，從而形成越來(lái)越稀疏的圓環(huán)。如果兩組月牙形都以圓圈刻劃（圖 15b），圓圈會(huì)相交（最外圈除外），從而產(chǎn)生額外的月牙形系列。

圖15 圓形玫瑰花結(jié)，額外的圓刻在新月上。

內(nèi)切圓的更多實(shí)際應(yīng)用經(jīng)常出現(xiàn)在工業(yè)設(shè)計(jì)中，通常作為一種在最小化重量或材料的同時(shí)提供強(qiáng)度的手段。在十八世紀(jì)的橋梁設(shè)計(jì)中可以看到一對(duì)對(duì)比鮮明的例子。在圖16a所示的桑德蘭鐵橋中，圓圈可以被認(rèn)為主要是為了加強(qiáng)結(jié)構(gòu)。另一方面，龐蒂普里德石橋(見(jiàn)圖16b)中的內(nèi)接圓圈是穿過(guò)拱肩的圓柱體，以減輕重量，因此看起來(lái)是內(nèi)接圓圈的移除而不是增加。

圖16 包含內(nèi)切圓的橋。

保角映射

承接上文所述的內(nèi)切圓，我們可以將一組內(nèi)切圓變換成我們之前分析過(guò)的帶有內(nèi)切橢圓的玫瑰花形圖案。我們將應(yīng)用保角映射，即保留局部角度的變換。這類(lèi)映射有很多 [Kober 1957]，但我們只考慮 Dixon [1991] 描述的反墨卡托映射。其定義為

它的作用是將(對(duì)角線)直線轉(zhuǎn)化為等角螺線。這使我們能夠把平移對(duì)稱(chēng)映射成旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)。

圖17a示出了映射到圖17b中七個(gè)同心橢圓環(huán)的七列圓。為便于顯示，各欄的上半部分已被剪去。應(yīng)該注意的是，卵形是蛋形而不是橢圓形，因?yàn)樗鼈冊(cè)诮咏鼒D的中心時(shí)收縮。每列中的圓位于范圍[0，2p]內(nèi)；增加圈數(shù)會(huì)增加徑向分辨率。可以在圖17a的兩側(cè)添加向無(wú)限延伸的圓形列，增加圖17b中同心環(huán)的數(shù)量?？s放x值，即執(zhí)行縮放因子s

改變徑向縮放的速率，使橢圓可以拉伸或擠壓任意量。

圖17a還包括已經(jīng)添加的包圍圓圈的空隙，并且它們的映射包括在圖17b中。為了避免線與圓交叉，它們需要形成六邊形元素的網(wǎng)格。映射的六邊形包圍橢圓形，并從玫瑰花結(jié)的中心向外擴(kuò)展；它們的兩條徑向線保持直線，而剩下的四條線變成(輕微的)曲線。為了形成一個(gè)類(lèi)似于帶有內(nèi)接橢圓的玫瑰花結(jié)的圖案，我們通過(guò)相鄰圓之間的接觸點(diǎn)疊加了一個(gè)菱形網(wǎng)格(圖17c)。映射后，曲線菱形形成，除了不像真正的圓形玫瑰，他們切斷了橢圓形的細(xì)長(zhǎng)條(圖17d)。另一個(gè)值得注意的區(qū)別是，這種玫瑰花結(jié)表現(xiàn)得像對(duì)數(shù)而不是圓形螺旋玫瑰花結(jié)，橢圓的尺寸增加，同時(shí)保持相同的縱橫比[Williams 1999]。

圖17 圓和線的線性網(wǎng)格到螺旋網(wǎng)格的反墨卡托映射。

附錄：月牙上的圓

對(duì)于半徑為0的圓弧組成的月牙，我們可以確定圓心為(xn,yn)、半徑為rn的內(nèi)切圓的參數(shù)。第一個(gè)圓很簡(jiǎn)單:xn =0 y1 =m/2 r1 =m/2。此后，使用三個(gè)約束來(lái)找到序列中的每個(gè)內(nèi)切圓，這些約束涉及與三個(gè)圓的切線：組成月形的兩個(gè)圓和先前相鄰的內(nèi)切圓。這可以看作是三個(gè)畢達(dá)哥拉斯三角形，它們引出三個(gè)聯(lián)立方程，可以解出第二個(gè)圓

然后我們可以確定圓序列的余數(shù)為

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青山不改，綠水長(zhǎng)流，在下告退。

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