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2020年底，距離新年鐘聲的敲響還有三天的時(shí)候，洛杉磯郊區(qū)帕薩迪納小鎮(zhèn)的一家老人院內(nèi)，一位93歲高齡的老婦人因?yàn)樾鹿诜窝嘴o靜地走完了一生。

她的名字叫艾麗亞娜（Arianna），她還在使用著40年前和她離婚的前夫的姓，Rosenbluth。在幾乎所有人看來，在這家老人院所有失去自理能力的老人當(dāng)中，她是普通得不能再普通的一位。

Dr. Arianna Wright Rosenbluth in 2013. She helped create what has become one of the most important algorithms of all time. Credit...via Rosenbluth family （NYT）

多年來艾麗亞娜也不認(rèn)為自己有何杰出之處。所以，在76歲的時(shí)候她曾接到洛斯

阿莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的一位物理學(xué)家的電話，對(duì)方恭維她說您在一項(xiàng)叫做Metropolis Algorithm的科學(xué)算法中做出了杰出貢獻(xiàn)啊，我們想請(qǐng)您做一個(gè)口述回顧。艾麗亞娜說Metropolis算法是什么啊，從來沒聽說過。直到對(duì)方反復(fù)提示甚至列出參考文獻(xiàn)，她才恍然大悟，意識(shí)這個(gè)東西原來就是自己在50年代曾經(jīng)參與過的一個(gè)課題：“原來你說的就是那個(gè)”（oh, that thing）。

這是他們當(dāng)年發(fā)表的論文，按照姓氏排序艾麗亞娜的名字排在共同作者的第二位，和所有做科研的人一樣，她以為這篇論文問世后就埋藏在故紙堆中，很快被人遺忘，就像99.99%的科技論文一樣的命運(yùn)。

但是，你今天如果隨便谷歌一下諸如“20世紀(jì)10大科學(xué)算法的話”，這個(gè)以艾麗亞娜為第二作者的Metropolis Algorithm for MCMC經(jīng)常是排名第一的。

這個(gè)算法神奇在哪里？這個(gè)MCMC又代表了什么？這篇文章有五位作者，包括艾麗亞娜在內(nèi)，他們分別都做出了什么貢獻(xiàn)呢？

如果想略微談得深入一些的話，我們可能不得不讓時(shí)光倒流300年，去認(rèn)識(shí)一位叫布馮的法國(guó)數(shù)學(xué)家和博物學(xué)家（Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon）。

對(duì)于一些比較艱深的數(shù)學(xué)問題，除了使用理論推導(dǎo)，演算和證明之外，布馮認(rèn)為可以通過大量的重復(fù)試驗(yàn)而去逼近客觀真理。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子， 圓周率pi究竟是多少？當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明 pi是一個(gè)無理數(shù)，也就是說沒法用兩個(gè)整數(shù)的相除，或者其他一個(gè)精準(zhǔn)的公式來概括表達(dá)它。于是布馮提出了著名的“布馮投針”試驗(yàn)來估算pi，如下圖所示，把一把大頭針隨機(jī)投向畫有幾條平行線的紙板，針的一半長(zhǎng)度和平行線之間距離的比例，乘以所有這些大頭針中跨越平行線者的比例，就是pi的估計(jì)值。大頭針的數(shù)量越多，或者投擲計(jì)數(shù)的次數(shù)越多，計(jì)算值就越逼近pi的真實(shí)值。這個(gè)術(shù)語叫做“模擬”，simulation。

再讓時(shí)間快進(jìn)到第二次世界大戰(zhàn)，在美國(guó)研發(fā)原子彈的曼哈頓計(jì)劃中，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)中子可以轟擊原子核引發(fā)核裂變，而中子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)非常適合于使用模擬計(jì)算的方法。但是這個(gè)東西的計(jì)算量實(shí)在太大了。中國(guó)兩彈一星研制過程中的一個(gè)著名軼事就是，為了驗(yàn)證蘇聯(lián)專家留下的一個(gè)重要參數(shù)，鄧稼先領(lǐng)著上百的中國(guó)科學(xué)家硬是打了半年的算盤。

曼哈頓計(jì)劃中沒有算盤，用布馮投大頭針的方法去模擬核裂變中的中子軌跡也不現(xiàn)實(shí)，必須使用計(jì)算機(jī)。

于是Nicholas Metropolis這個(gè)名字就走進(jìn)了歷史舞臺(tái)，他是一位計(jì)算物理學(xué)家，在芝加哥大學(xué)期間結(jié)識(shí)了費(fèi)米和泰勒兩位現(xiàn)代物理學(xué)的宗師（費(fèi)米人稱原子彈之父，泰勒是美國(guó)氫彈之父）。在他們的引薦之下，曼哈頓工程的總負(fù)責(zé)人奧本海默把Metropolis請(qǐng)到了新墨西哥的洛斯阿莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，在這個(gè)地方，Metropolis又和兩位大牛有了交集，一個(gè)是費(fèi)曼，這是一位在人類所有物理學(xué)家排名中位居前10的人物，甚至超過了狄拉克和薛定諤。還有一位是馮諾伊曼，這是一個(gè)大概所有的理工男都熟悉的名字，因?yàn)槠駷橹顾械挠?jì)算機(jī)都可被名命為馮諾伊曼型。

在費(fèi)米與馮諾伊曼的啟發(fā)下，Metropolis設(shè)計(jì)出了洛斯阿莫斯的第一臺(tái)用于熱力學(xué)模擬的計(jì)算機(jī)，它具有馮諾伊曼型計(jì)算機(jī)的最主要的特征：具有一個(gè)內(nèi)存，這相當(dāng)于計(jì)算機(jī)的大腦，它依靠讀入內(nèi)存的計(jì)算機(jī)程序來指揮計(jì)算機(jī)電子管中的電流，進(jìn)行科學(xué)計(jì)算。這樣Metropolis的計(jì)算機(jī)給未來工作奠定了物質(zhì)基礎(chǔ)，但是這個(gè)大名鼎鼎的算法的問世，還需要另外兩個(gè)重要條件，一個(gè)理論框架，和一個(gè)碼工來把這個(gè)理論思想寫成代碼。

40年代曼哈頓計(jì)劃剛剛正式立項(xiàng)的時(shí)候，泰勒就來到了洛斯阿莫斯。廣島長(zhǎng)崎核爆之后，蘇聯(lián)緊跟美國(guó)腳步也成功爆炸原子彈。于是美國(guó)政府的注意力立即轉(zhuǎn)移到了氫彈項(xiàng)目上，泰勒開始組織團(tuán)隊(duì)，第一個(gè)想到的當(dāng)然是自己在芝大培養(yǎng)的研究生，但不是他最著名的學(xué)生楊振寧，而是一個(gè)相對(duì)默默無聞的學(xué)生，一個(gè)叫Marshal Rosenbluth猶太人。于是Marshal從四季如春的加州搬到了荒漠一般的洛斯阿莫斯實(shí)驗(yàn)室，和他一塊來的還有他的新婚妻子艾麗亞娜。

在科學(xué)史上，艾麗亞娜比她的丈夫更加默默無聞，但是她的學(xué)術(shù)背景比Marshal只強(qiáng)不弱。從世俗一點(diǎn)的觀點(diǎn)看，丈夫的研究生導(dǎo)師是費(fèi)米和泰勒，雖然他們是美國(guó)核武器的奠基人，但都和諾貝爾獎(jiǎng)的殊榮擦肩而過；而艾麗亞娜年僅21歲就拿到了哈佛大學(xué)物理學(xué)博士，導(dǎo)師是諾貝爾獎(jiǎng)得主John Van Vleck，她是哈佛歷史上第五位拿到理學(xué)博士的女性，她在斯坦福做博士后研究的時(shí)候，和未來的丈夫相識(shí)。

Dr. Rosenbluth in an undated family photo. As a young woman she was a champion fencer.Credit...via Rosenbluth family （NYT)

泰勒給學(xué)生布置的任務(wù)是：以Metropolis的計(jì)算機(jī)為依托，用數(shù)值模擬的方法做出一套基本粒子在熱力學(xué)分布場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)模型。這當(dāng)然也包括用來轟擊原子核引發(fā)核裂變的中子的運(yùn)動(dòng)分布圖。

Marshal Rosenbluth很快拿出了初步結(jié)果。他不依賴于高深的量子力學(xué)理論去構(gòu)建粒子的運(yùn)動(dòng)分布，而是讓粒子做隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)。正如在布馮投針實(shí)驗(yàn)中，大頭針的一端在接觸紙面后，針體以相等的幾率向任何一個(gè)方向隨機(jī)倒下。

不過，如果基本粒子真的可以不受限制地到處轉(zhuǎn)悠的話，這個(gè)熱力學(xué)分布場(chǎng)就了均勻的一鍋粥了，和實(shí)際對(duì)不上號(hào)。Marshal最聰明的地方在下一步。

根據(jù)粒子場(chǎng)的能量越低就越穩(wěn)定的基本物理定律，他提出，如果隨機(jī)模擬把假想中的粒子帶向一個(gè)能量更高的位置，那就減少了體系的穩(wěn)定性，這樣的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)會(huì)被拒絕；而如果粒子的目的地由于低能級(jí)而增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，那些這個(gè)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)就被許可，粒子會(huì)以下一個(gè)點(diǎn)為起始開始新一輪的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，被拒絕，或者被接受，這個(gè)過程周而復(fù)始，運(yùn)行多少次取決于程序員設(shè)定的循環(huán)次數(shù)。

我對(duì)Metropolis算法的粗淺解釋可以歸納為上面這簡(jiǎn)單的幾句話，但是大量虛擬粒子的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)和每步定位，需要的是Metropolis計(jì)算機(jī)的模擬計(jì)算，和驅(qū)動(dòng)這個(gè)這個(gè)運(yùn)算大腦的海量計(jì)算機(jī)代碼。

這完全是艾麗亞娜的任務(wù)。

當(dāng)現(xiàn)代科技史家們?cè)诨仡?0世紀(jì)中葉時(shí)尚在襁褓之中的計(jì)算科學(xué)的時(shí)候，他們或許會(huì)吃驚地發(fā)現(xiàn)，女性在早期的計(jì)算機(jī)編程領(lǐng)域曾經(jīng)扮演了多么關(guān)鍵和主導(dǎo)性的角色。比如當(dāng)年計(jì)算機(jī)語言的霸主，Cobol語言的創(chuàng)始人Grace Hopper，和NASA以計(jì)算登月軌道而出名的黑人女?dāng)?shù)學(xué)家Katherine Johnson。和這些彪炳史冊(cè)的女杰們相比，艾麗亞娜只是一個(gè)更加不出名的幕后英雄罷了。

也許有科技史家們推測(cè)，在當(dāng)今這個(gè)以男性為主導(dǎo)的計(jì)算機(jī)編程領(lǐng)域，女性其實(shí)早在最初階段就先走了一步，但是很多當(dāng)年計(jì)算領(lǐng)域的女杰被長(zhǎng)期埋沒了，所以現(xiàn)在的編程領(lǐng)域是鳩占鵲巢，男人取代了女人，這個(gè)歷史現(xiàn)象很可能是性別歧視作祟的結(jié)果。

這個(gè)話只對(duì)了一半。

事實(shí)是，當(dāng)年的算法編程被認(rèn)為是類似于文書文秘一類的簡(jiǎn)單重復(fù)性工作，反而被認(rèn)為是最適合女性的。

Metropolis算法論文署名最后的，也是最有名的作者，是氫彈之父泰勒，倒數(shù)第二位叫Augusta Teller, 她是泰勒的妻子，昵稱叫Mici，也是一位女科學(xué)家。他們夫婦是最早入駐洛斯阿莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室的核物理學(xué)家，在那個(gè)白手起家的時(shí)代，科學(xué)家的家庭就類似一個(gè)創(chuàng)業(yè)的手工作坊，男主外女主內(nèi)，男人在科研攻關(guān)中撕殺，沉浸在理論研究和公式推導(dǎo)中，而這個(gè)“內(nèi)”則是各種行政瑣事，其中居然還包括了被認(rèn)為是“瑣屑”的計(jì)算編程工作。

這是因?yàn)?，在曼哈頓計(jì)劃的前期，大量的計(jì)算工作是靠女人，很多是科學(xué)家的太太們，她們操作手搖計(jì)算器完成的。帶有內(nèi)存的馮諾伊曼型計(jì)算機(jī)問世之后，才慢慢有了編程這個(gè)工種，自然而然地也被太太們捷足先登了。泰勒夫人就扮演了這樣的角色，她的編程能力曾在原子彈計(jì)算中展露頭角。

Marshal Rosenbluth夫婦來了。作為老板的泰勒給了一個(gè)理論的大框架大方向，全部的細(xì)節(jié)論證和推導(dǎo)都是Marshal的任務(wù)，同時(shí)泰勒夫人也順理成章地把編程的工作交接給了學(xué)生的妻子艾麗亞娜，這個(gè)哈佛大學(xué)物理學(xué)博士。

是她寫出了運(yùn)行這個(gè)算法的全部程序。

遺憾的是，我們今天無從得知艾麗亞娜這個(gè)工作的任何細(xì)節(jié)。2003年，物理界有一個(gè)慶祝Metropolis算法誕生50周年的研討會(huì)，在這篇文章的五位作者中，Metropolis和泰勒夫人已經(jīng)作古，95歲高齡的泰勒中風(fēng)后失去了思維能力，只有76歲身患癌癥的Marshal Rosenbluth拖著病體堅(jiān)持來到大會(huì)，給這個(gè)算法的問世留下了一段珍貴的口述歷史，從大會(huì)回來之后，他很快也駕鶴西行了。

令人不解的是，身體最好的艾麗亞娜卻沒有得到邀請(qǐng)，只是由大會(huì)召集人給她打了一個(gè)電話，當(dāng)時(shí)距Rosenbluth這對(duì)科學(xué)伉儷的勞燕分飛，也已經(jīng)25年了。

我們都知道一個(gè)好的程序員需要有比較強(qiáng)的邏輯思維能力，現(xiàn)代的編程語言基本還以英語為基礎(chǔ)的，比如if then, do until, for (i in 1:100)。而當(dāng)年Metropolis研發(fā)的計(jì)算機(jī)內(nèi)存只懂0和1這樣最簡(jiǎn)單基本的信號(hào)。也就是說，艾麗亞娜必須先要把丈夫的算法理論吃透了，然后把他們轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)內(nèi)存指揮電子管開關(guān)的邏輯流程，然后再轉(zhuǎn)換成無數(shù)行0和1這樣只有計(jì)算機(jī)才懂的天書。

僅憑這點(diǎn)粗淺的推理，我感覺她的這個(gè)工作比今天灣區(qū)FLAG動(dòng)輒年薪半個(gè)米的高級(jí)碼工要難多了。

在規(guī)定了假想粒子在模擬場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)則之后，Marshal Rosenbluth進(jìn)而推導(dǎo)出這篇論文中最重要的理論結(jié)果：只要粒子的每步的運(yùn)動(dòng)軌跡符合能級(jí)最低規(guī)律，在經(jīng)過大量的模擬運(yùn)動(dòng)之后，整體的粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律將無限向統(tǒng)計(jì)力學(xué)中經(jīng)典的麥克斯韋-玻爾茲曼分布收斂。

如果打個(gè)簡(jiǎn)單比方的話，這就好像是在布馮的投針實(shí)驗(yàn)中，隨著投針數(shù)量的無限增加，pi的模擬值將無限趨近于3.1415926和3.1415927之間。

那么就讓我們?cè)谙聢D中的左側(cè)加快粒子位移的速率，然后在右邊統(tǒng)計(jì)粒子在每個(gè)位點(diǎn)出現(xiàn)的總頻率并作柱狀圖。 這樣一個(gè)驚人的規(guī)律就開始浮現(xiàn)了，在虛擬粒子剛剛開始位移的時(shí)候，這個(gè)柱狀圖的形狀是非常不穩(wěn)定的，各個(gè)位點(diǎn)的頻率此起彼落一會(huì)一變。 但是隨著步驟的增多，比如在進(jìn)入400步之后，各個(gè)點(diǎn)的頻率分布柱狀圖就趨向穩(wěn)定了，形成了一個(gè)以位點(diǎn)D為峰頂（最高頻率）的中間高，兩邊低的“鐘型曲線”。

一提“鐘型曲線”，人們也許意識(shí)到這可以是一個(gè)概率分布。Metropolis算法的初始目的是用計(jì)算機(jī)模擬粒子運(yùn)動(dòng)的玻爾茲曼分布，但是這個(gè)技術(shù)可以推廣到任意的統(tǒng)計(jì)分布中。也就是說，在實(shí)踐中，人們可以通過特定的規(guī)則構(gòu)建一條隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的鏈條，這個(gè)鏈條終點(diǎn)的位置就代表了從所需的任意概率分布中的隨機(jī)取樣。

這就決定了Metropolis算法的普世價(jià)值。

在完成Metropolis算法之后，艾麗亞娜和丈夫雙雙離開了洛斯阿莫斯，當(dāng)時(shí)她還不到30歲，卻從此放棄了職業(yè)生涯，直到93歲高齡去世，大概當(dāng)了60年的家庭婦女。

艾麗亞娜的科學(xué)成就仿佛是彗星般地靈光閃現(xiàn)，然后就沉寂了，直現(xiàn)在人們才知道她是一位相當(dāng)特立獨(dú)行的女性，她在上高中期間就是一位幾乎達(dá)到職業(yè)水平擊劍選手，有時(shí)參加男子比賽的?？上阎疚闯?，第二次世界大戰(zhàn)讓她失去了首次參加奧運(yùn)會(huì)的機(jī)會(huì)，1948年的倫敦奧運(yùn)會(huì)她沒錢參加。聊以自慰的是，她在第二年拿在哈佛到了物理學(xué)博士。

當(dāng)?shù)貓?bào)紙報(bào)道小女孩艾麗亞娜的擊劍成就

也沒有人知道她早早退隱江湖的原因，是對(duì)科學(xué)厭倦了嗎？應(yīng)該不是，因?yàn)樗畠盒〉臅r(shí)候曾記得母親閑著沒事推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式，權(quán)當(dāng)是大腦散步。也許是她認(rèn)為業(yè)余搞數(shù)學(xué)可以平衡家庭和事業(yè)的雙重壓力？因?yàn)樗齼鹤踊貞浀侥赣H在持家之余，曾鉆研究紐結(jié)理論，這是高端的拓?fù)鋽?shù)學(xué)，不過一直沒有發(fā)表什么成果。

1978年，50歲的Rosenbluth夫婦結(jié)束了維系了20多年的婚姻，兩年后Marshal娶了加州一位著名的藝術(shù)家，艾麗亞娜后來一直沒有再婚，直到在93歲的高齡上因新冠去世。

不過Metropolis算法的命運(yùn)，和自己的作者相比卻仿佛是截然相反。

在問世的30多年里，Metropolis算法雖然一直默默無聞，但是進(jìn)入90年代之后就開始忽然火爆起來，在今天成為統(tǒng)計(jì)分析和數(shù)據(jù)科學(xué)不可或缺的利器。 澳大利亞的一位物理學(xué)家給艾麗亞娜做了維基介紹網(wǎng)頁(yè)，他說你今天在斯坦?；虿穗S便扔一石子，大幾率能砸到一個(gè)正在用Metropolis跑MCMC的。 這種流行度，要?dú)w功于它和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的聯(lián)系，特別是貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)中的地位，以及現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的大躍進(jìn)，下面讓我們一一道來。

在對(duì)這個(gè)事件的歷史回顧中，我們或許可以看到，計(jì)算物理學(xué)家Metropolis主要貢獻(xiàn)其實(shí)就是提供了計(jì)算機(jī)，給這個(gè)課題奠定了物質(zhì)基礎(chǔ)，成為發(fā)表文章的首席作者，也拿到了這個(gè)經(jīng)典成就的冠名權(quán)，其實(shí)他并未做出真正具體的貢獻(xiàn)。

但是Metropolis也并非浪得虛名，他和另一個(gè)曼哈頓計(jì)劃的物理學(xué)家Stanislaw Ulam合作，在1949年寫了一篇經(jīng)典文獻(xiàn)《蒙特卡羅方法》Monte Carlo Method，MC，此文的核心是，如果某個(gè)特定概率無法用數(shù)學(xué)或物理方法推導(dǎo)，比如一個(gè)形狀奇怪重心未知的篩子，就可以使用反復(fù)投篩子的方法估算其每面朝上的概率。Ulam把這個(gè)經(jīng)驗(yàn)方法名命為蒙特卡洛，這是法國(guó)南部一個(gè)小國(guó)摩納哥的城市，以博彩業(yè)出名。據(jù)說Ulam小時(shí)候總是看到叔叔去蒙特卡洛賭錢，就用這個(gè)擲色子的城市名命了這個(gè)擲色子的方法。這就是MCMC算法中第二個(gè)MC的含義。

當(dāng)然實(shí)際的問題要比擲色子復(fù)雜太多了，計(jì)算量也大太多了，當(dāng)時(shí)只有Metropolis的計(jì)算機(jī)能夠勝任。同時(shí)這個(gè)方法也蘊(yùn)含了從特定的概率分布中隨機(jī)取樣的思想，所以這篇經(jīng)典文獻(xiàn)發(fā)表在《美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)雜志》JASA，這預(yù)示著這一系列不平凡的物理學(xué)思想將在統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揚(yáng)光大。

也許有人要打破沙鍋問到底，從概率分布中隨機(jī)取樣有何用處？

就舉一個(gè)最熱門的例子吧，大家都知道輝瑞RNA疫苗在臨床實(shí)驗(yàn)中的有效率高達(dá)90%以上，那么大家在激動(dòng)的同時(shí)也關(guān)心，這個(gè)被輝瑞力捧上天的偉大有效率，它的誤差是多少？

疫苗有效率是由兩個(gè)數(shù)字來決定的：試驗(yàn)疫苗組中的新冠感染數(shù)，和對(duì)照組的感染數(shù)。前者越小，疫苗的效力就越高。那么計(jì)算疫苗保護(hù)率的誤差就有一個(gè)很簡(jiǎn)單直觀的辦法：疫苗組和對(duì)照組感染數(shù)是兩個(gè)隨機(jī)變量，如果我們更夠找到它們的統(tǒng)計(jì)分布的話，就可以從這兩個(gè)分布中大量隨機(jī)取樣，讓兩者的差值除以對(duì)照組的隨機(jī)感染數(shù)，得到的就是疫苗保護(hù)率的估計(jì)值，然后對(duì)得到的這一大堆估計(jì)值進(jìn)行掐頭去尾，就得到了所謂了95%的置信區(qū)間，這是一種在臨床試驗(yàn)中最常見的統(tǒng)計(jì)量。

輝瑞疫苗有效率的95%的置信區(qū)間

再回到古老的布馮投針試驗(yàn)，那也是一種隨機(jī)取樣，只不過是占了針末端向四周各個(gè)方向以均等概率倒下的便宜，所以這個(gè)取樣不需要計(jì)算機(jī)，只需要牛頓萬有引力自個(gè)干活就成了。

但并不是任何的隨機(jī)取樣都是如此容易得到的。舉個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，怎樣獲取一系列成年人類身高的隨機(jī)數(shù)呢？

如果采用最簡(jiǎn)單的均勻取樣的方法，類似布馮投針那樣，你也許能得到一列這樣的“身高”樣本（以厘米為單位）：

140，146，152，158，165，169，172，179，185，189，194，197， 202， 209， 215

明眼人都能看出，這列數(shù)固然“隨機(jī)”，但并不能代表真實(shí)世界中人類的身高，因?yàn)槿说纳砀邔儆谡龖B(tài)分布，中等身材的人多，特高特矮的人少，象上面那樣的2米以上的人和170左右的人一樣多，不可能。真實(shí)的人類身高隨機(jī)取樣應(yīng)該是象下面這樣的，中間多，兩邊少。

157， 162， 165， 168， 171， 172， 173，175， 177， 179， 184， 192

怎樣才能得到符合正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)？在沒有計(jì)算機(jī)的年代，人們會(huì)去下苦功夫在實(shí)際世界中進(jìn)行大量的測(cè)量。比如在本文的上集，《借茅臺(tái)院士的熱度，科普這樣一位啤酒總工》一文中，我記錄了三位有師承關(guān)系的統(tǒng)計(jì)學(xué)大師的事跡，他們是皮爾森，戈塞特和費(fèi)舍爾。其中戈塞特是著名的Student’s t test的發(fā)明人，皮爾森是他的老師，其拿手好戲就是派學(xué)生在民間大量采樣，比如監(jiān)獄犯人或者軍人的身高體重胸圍等生理參數(shù)，然后依此繪制出完備的統(tǒng)計(jì)曲線和圖表。

現(xiàn)在有了計(jì)算機(jī)，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)就太簡(jiǎn)單了。因?yàn)樗薪y(tǒng)計(jì)學(xué)軟件都儲(chǔ)存了完備的概率分布數(shù)學(xué)解析式，一切照公式而行即可。

但關(guān)鍵是，你要知道公式才行。

在所有的學(xué)科分支中最流行的正態(tài)分布，它有一個(gè)簡(jiǎn)潔而優(yōu)美的數(shù)學(xué)公式：

這個(gè)公式是高斯推導(dǎo)出來的初始樣子，和現(xiàn)代課本中的略有不同。為了紀(jì)念先賢，特保留原樣，所以正態(tài)分布也叫高斯分布

即便是這個(gè)最常用的公式，也是歷經(jīng)了從伽利略，棣莫弗， 到拉普拉斯，高斯，幾代數(shù)學(xué)家歷時(shí)300多年的摸索才拿到的。

給一個(gè)統(tǒng)計(jì)變量的分布找到解析解非常困難，我們可以再舉那個(gè)新冠疫苗有效率的例子。

我在前面提到疫苗臨床試驗(yàn)中，疫苗組和對(duì)照組的感染數(shù)都符合某個(gè)特定的概率分布，當(dāng)時(shí)賣了個(gè)關(guān)子，沒提究竟是什么樣的分布，其實(shí)簡(jiǎn)單的很，就是常用程度僅次于正態(tài)分布的二元分布， binomial distribution。因?yàn)樗慕Y(jié)果是不連續(xù)的，不是0就是1，感染或者不感染。疫苗有效率是1減去兩個(gè)感染率的比值，這是一個(gè)簡(jiǎn)單的算術(shù)操作。

可讓人不可思議的，疫苗有效率，這個(gè)對(duì)兩個(gè)最簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)變量進(jìn)行的最簡(jiǎn)單的算術(shù)操作，任憑你是牛頓還是高斯的數(shù)學(xué)天才，硬是給它找不到一個(gè)解析解，也就是一個(gè)象正態(tài)曲線那樣的公式，術(shù)語叫closed-form。沒有解析解就無法直接按公式進(jìn)行直接取樣，而只能采用數(shù)值模擬的辦法（相比之下，兩個(gè)正態(tài)分布變量之比例，就有一個(gè)解析解，它在物理學(xué)上叫洛倫斯分布，在數(shù)學(xué)上叫柯西分布）。

另一個(gè)概率分布公式之難求的例子，就是我們上文提到的“啤酒”總工，威廉戈塞特，愛爾蘭吉尼斯啤酒集團(tuán)的總工，也是Student’s t 檢驗(yàn)的發(fā)明者。他在啤酒釀造過程中，發(fā)現(xiàn)小樣本實(shí)驗(yàn)的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差之間的比值是一個(gè)有規(guī)律的統(tǒng)計(jì)變量分布，這被后世名命為Student’s t 分布，取自當(dāng)年戈塞特發(fā)表論文的筆名：Student。

戈塞特是數(shù)理統(tǒng)計(jì)鼻祖皮爾森的學(xué)生，也是牛津數(shù)學(xué)系的高材生，但就是他也沒有能力給出t分布的解析公式。是戈塞特的晚輩費(fèi)舍爾（R.A.Fisher）這位數(shù)學(xué)天才，在幾年后解決了這個(gè)問題，也許是直接的代數(shù)推導(dǎo)不易，他采用的是高維幾何的方法。對(duì)此戈塞特不明覺厲，但直覺上知道晚輩是對(duì)的。費(fèi)舍爾得到的t分布的解析解是長(zhǎng)這個(gè)樣子的：

明顯比她的母分布正態(tài)曲線要復(fù)雜太多了。

作為實(shí)踐大師的戈塞特，在費(fèi)舍爾的答案出來之前，他的解決方案是不厭其煩地從大量實(shí)驗(yàn)中測(cè)出各種型態(tài)t分布的概率和相應(yīng)的關(guān)鍵值，以便啤酒車間的實(shí)驗(yàn)人員按圖索驥依數(shù)查表，做出合乎科學(xué)的決定：這罐啤酒母液要不要倒掉？

從某種意義上，戈塞特和他的工作人員們類似于布馮投針實(shí)驗(yàn)中人肉大頭針。在大規(guī)模的科學(xué)計(jì)算中，這是一種不可持續(xù)的玩法。

由此可見，做一個(gè)“蒙特卡洛”實(shí)驗(yàn)，從一個(gè)缺乏解析解的統(tǒng)計(jì)分布中隨機(jī)取樣，是不容易的。如果我們還記得的話，Marshal和艾麗亞娜夫婦的工作，恰恰通過馬可夫鏈的數(shù)值方式，用計(jì)算機(jī)從未知分布中隨機(jī)取樣，這就預(yù)示了他們這個(gè)工作在未來的意義。

我們也會(huì)看到，在解析解未知的t分布中取樣，或者是在根本就沒有解析解的疫苗有效率的分布中取樣，他們的難度和另外一類的問題相比，根本就不在一個(gè)層次上。

就在法國(guó)人布馮提出投針實(shí)驗(yàn)這個(gè)天才構(gòu)想的15年前，有人在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)年會(huì)上宣讀了一篇文章，有些不同尋常的是，這篇文章的作者已經(jīng)在兩年前仙去了，他的名字叫托馬斯貝葉斯（ Thomas Bayes）。在今天的統(tǒng)計(jì)學(xué)，工程和醫(yī)學(xué)制藥中，這個(gè)名字已經(jīng)是如雷貫耳了，因?yàn)樗徽J(rèn)為是貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)派的開山鼻祖。

• 你如果有耐心通讀輝瑞疫苗臨床試驗(yàn)的protocol的話，你會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的統(tǒng)計(jì)學(xué)部分幾乎全部是用貝葉斯的算法和語言寫成；

• 美國(guó)知名的政治觀察家Nate Silver，他的成名作就是使用貝葉斯模型成功預(yù)測(cè)美國(guó)2008、2012的大選結(jié)果；2020的美國(guó)大選，著名的《經(jīng)濟(jì)學(xué)人》雜志特邀了當(dāng)今貝葉斯計(jì)算界的權(quán)威Andrew Gelman，全盤使用貝葉斯方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，取得了成功（雖然高估了拜登取勝的盤面，不過這個(gè)是民調(diào)數(shù)據(jù)而不是概率模型的問題）；

• 2009年，法航447在從巴西飛回巴黎的途中墜落大洋，2年后，搜尋者借助貝葉斯方法在茫茫南大西洋4000米的海底找到了飛機(jī)殘骸，找到了墜機(jī)原因；

• 早在第二次世界大戰(zhàn)期間，盟軍就在貝葉斯名家Edward Simpson的幫助下，使用該方法成功破譯了納粹德國(guó)的密電碼神器Enigma，破壞了德軍的重大軍事行動(dòng)。

• 就連不才小編如我，在這個(gè)以為生命科學(xué)和制藥為主的公共號(hào)上，也有數(shù)篇文章在暢談貝葉斯概率。

幾個(gè)星期之前，網(wǎng)上有一篇奇文在流行，號(hào)稱是用貝葉斯模型證明了新冠病毒來源是人工合成并泄露的概率高達(dá)98%。此文大家讀來都不明覺厲，因?yàn)樯飳W(xué)家覺得作者是一個(gè)統(tǒng)計(jì)高手，而統(tǒng)計(jì)學(xué)家覺得他們病毒專家。

后來讀者請(qǐng)貝葉斯算法的權(quán)威Andrew Gelman評(píng)論，他說此文的生物學(xué)他不懂，但是其貝葉斯部分是胡扯。作者把貝葉斯分析摻和進(jìn)來，分明是用來拉大旗作虎皮嚇唬人的。

難道使用了貝葉斯就是高大上了嗎？歷史上并非如此，實(shí)際上在很長(zhǎng)一個(gè)歷史時(shí)期內(nèi)，貝葉斯概率思想被認(rèn)為是離經(jīng)叛道的。因?yàn)?，就?50年前在英國(guó)皇家學(xué)會(huì)上宣布的那篇論文，托馬斯貝葉斯第一次提出了“反向概率”（reverse probability）的思想。

再用新冠疫苗當(dāng)例子，有一個(gè)我們所感興趣的參數(shù)是：接種疫苗后依然感染的概率，P（感染 | 接種疫苗）。接種疫苗會(huì)誘發(fā)人體的免疫性，從而降低感染率和死亡率，這兩者有直接的因果次序，所以這個(gè)概率是符合常理的。但是貝葉斯在擺弄各種條件下的概率換算時(shí)，卻遇到了這么一個(gè)問題：在所有的已感染病例中，有多少是在之前接種了疫苗的？P（接種了疫苗 | 感染）。

在貝葉斯死后才見天日的這篇經(jīng)典文獻(xiàn)中，他給出了一個(gè)被后世尊稱為貝葉斯定理的概率換算，如果換成新冠疫苗的例子就是這樣的：

P（感染 | 之前接種了疫苗）= P（之前接種了疫苗 | 感染）X 群體感染率 / 群體接種率

顯然，接種疫苗會(huì)降低感染率，但是今天感染不會(huì)影響昨天的接種行為，所以在等號(hào)右邊的第一個(gè)概率，在表達(dá)次序上有本末倒置之嫌，有人叫它“反向概率”。這個(gè)概念在認(rèn)知哲學(xué)上的真正含義，直到今天還有爭(zhēng)議，就遑論200多年前的人了。

同時(shí)，這也是一個(gè)極容易引發(fā)誤導(dǎo)的概念。舉個(gè)例子：即使在疫苗普及后，依然也會(huì)有極小部分人拒絕接種。這個(gè)時(shí)候，你肯定希望使用公式左邊的那個(gè)概率去說服他們，因?yàn)榻臃N疫苗后的新冠感染率和死亡率都會(huì)變得很低很低。但是它的“反向概率”卻可能把你嚇一跳，因?yàn)樵诖_診病例中，會(huì)有很大比例也都是接種過疫苗的。

這個(gè)能作為反對(duì)疫苗的理由嗎，絕對(duì)不能。具體原因自己去想，因?yàn)檫@不在本文主題之內(nèi)。

在歷史上，貝葉斯本人只是給后世的貝葉斯學(xué)派開了個(gè)頭，這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)第一位真正的大師是法國(guó)的拉普拉斯，Laplace，他的名字在前文出現(xiàn)過一次，他在高斯之前為推導(dǎo)正態(tài)分布的解析解做出過開拓性貢獻(xiàn)。但是貝葉斯體系在當(dāng)時(shí)的爭(zhēng)議太大了，在拉普拉斯去世之后，他的朋友建議在訃告悼詞中免談死者在貝葉斯領(lǐng)域的工作，因?yàn)椤昂伪亟o逝者臉上抹黑呢”？

在20世紀(jì)的大部分時(shí)間，貝葉斯技術(shù)雖然偶露崢嶸，比如幫忙破解了納粹德國(guó)的電報(bào)密碼，但是其應(yīng)用基本處于冬眠狀態(tài)，只有少數(shù)幾個(gè)理論家在默默耕耘。這主要的原因是著名的費(fèi)舍爾，R.A.Fisher，他不是貝葉斯的粉絲，無法接受這個(gè)違反常識(shí)的所謂“反向概率”，再加上此人是數(shù)學(xué)天才，我們也許記得他超越了前輩戈塞特而獨(dú)立推導(dǎo)出了t分布的解析解。后來費(fèi)舍爾幾乎用一己之力奠定了以常規(guī)概率為藍(lán)圖的統(tǒng)計(jì)方法之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)，他的學(xué)派史稱概率學(xué)派（Frequentist），把貝葉斯學(xué)派整整壓制了半個(gè)世紀(jì)。

你很快就會(huì)看到，是Marshal和艾麗亞娜夫婦的Metropolis算法讓貝葉斯門派滿血復(fù)活。

貝葉斯定理即便是在今天也非常有實(shí)用價(jià)值的。假如你想用接種疫苗后的極低感染率來給輝瑞Moderna做宣傳，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)這個(gè)精確的統(tǒng)計(jì)數(shù)字是找不到的，因?yàn)檫@要求全國(guó)每一個(gè)人的接種情況和感染狀態(tài)都得到精準(zhǔn)掌控，至少美國(guó)政府沒有能力做到這一點(diǎn)。

最簡(jiǎn)單的辦法是用貝葉斯定律換算。

由于感染人口遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于全體人口，所以相對(duì)容易統(tǒng)計(jì)確診者之前的疫苗接種情況（在核酸檢測(cè)表中加這么一個(gè)問題就夠了）。至于貝葉斯定律中的總確診率和總接種率呢，這個(gè)大概在每天的新聞中都能找到。這樣接種后的感染危險(xiǎn)就算出來了（希望是大大地降低了）。

也許更重要的是，貝葉斯定理中蘊(yùn)含了統(tǒng)計(jì)學(xué)的核心思想。

讓我們?cè)購(gòu)?fù)習(xí)一下新冠中的貝葉斯定律：

P（感染 | 接種過疫苗）= P（接種過疫苗 | 感染）X 群體感染率 / 群體接種率

在疫情控制中，我們最關(guān)心的是感染率的概率分布，因?yàn)槲覀冃枰@個(gè)參數(shù)來評(píng)估未來醫(yī)院的承受力，和經(jīng)濟(jì)重新開放的政策，顯然這個(gè)概率是和疫苗接種情況相關(guān)的，所以公式的左邊被叫做后驗(yàn)分布（Posterior Distribution），因?yàn)樗窃讷@知疫苗接種情況之“后’才獲得的有條件的概率分布。

在研究一個(gè)函數(shù)的變化趨勢(shì)的時(shí)候，最直接的方法是對(duì)其求導(dǎo)（微積分的范疇）。而在貝葉斯公式的分母中，群體接種率中不包含感染率這個(gè)參數(shù)，因此它的導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)常數(shù)。所以貝葉斯在這里，把一個(gè)概率分布的核心寫成了兩個(gè)分布式的乘積。其中，整體感染率是在獲知疫苗接種情況之前的分布，被稱之為“先驗(yàn)分布”（Prior Distribution），在某些場(chǎng)合下也可被稱為人類在沒有客觀數(shù)據(jù)時(shí)對(duì)未知事物的主觀判斷。另一個(gè)概率叫做似然函數(shù)。

如此以來，人類就獲得了幾乎無限之多的獲取概率分布的方法。

但是老問題依然沒有解決，我們或許還記得，兩個(gè)二元分布變量的簡(jiǎn)單除法沒有解析解；從正態(tài)分布變量的簡(jiǎn)單算術(shù)中拿到的t分布，聰明如戈塞特的都沒有拿到解析解，最后是靠費(fèi)舍爾這個(gè)數(shù)學(xué)天才用高維解析幾何的方法解決的。

貝葉斯公式也面臨類似的困境，把一個(gè)未知概率分解為兩個(gè)已知分布的乘積，并不意味著容易拿到閉合形式的數(shù)學(xué)解析解，而沒有公式就無法從中取樣，對(duì)未來的疫情做推斷和預(yù)測(cè)。更何況，在真實(shí)的貝葉斯模型中參數(shù)可以是層層嵌套的，因此后驗(yàn)分布的表達(dá)寫成幾十個(gè)概率分布的乘積也有可能，那樣的話就是一百個(gè)費(fèi)舍爾來也是無能為力了。

這個(gè)難題在1953年看到了第一束希望的曙光。

我們也許還記得，在Metropolis算法中， Marshal Rosenbluth給粒子模擬運(yùn)動(dòng)設(shè)立的規(guī)則是，允許粒子移到能級(jí)較低的位點(diǎn)，但如果目的地的能級(jí)變高就說明這個(gè)運(yùn)動(dòng)給體系帶來不穩(wěn)定因素，那么就得打回原點(diǎn)重選方向。

Marshal也許沒有想到，這個(gè)規(guī)則簡(jiǎn)直就是給貝葉斯的后驗(yàn)概率度身定做的。艾麗亞娜寫的計(jì)算機(jī)程序既可以模擬中子的運(yùn)動(dòng)，也可以構(gòu)建數(shù)值取樣的馬可夫鏈，其尾端的移動(dòng)方向，可以取決于各個(gè)候選值之間后驗(yàn)分布的比較，這和玻爾茲曼場(chǎng)中能級(jí)來決定運(yùn)動(dòng)是一個(gè)道理。

讀者也許要問了，我們不是還不知道這個(gè)后驗(yàn)分布的真面目嗎？的確如此，但是，未知后驗(yàn)分布和兩個(gè)或數(shù)個(gè)已知概率的乘積成正比， 所以馬可夫鏈的運(yùn)動(dòng)方向可以通過貝葉斯定律的換算而確定。

正如Marshal Rosenbluth證明了，遵循能量最低原則的粒子計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬運(yùn)動(dòng)，最終無限向麥克斯韋玻爾茲曼分布收斂；而在先驗(yàn)概率和似然函數(shù)乘積指引下馬可夫鏈，在貝葉斯定律這只無形之手的牽引之下，也會(huì)無限地向真正的后驗(yàn)分布收斂，這個(gè)蒙著面紗的美女就真相大白了。

十幾年后統(tǒng)計(jì)學(xué)科班出身的人又對(duì)這個(gè)算法做了必要的補(bǔ)充和發(fā)展，所以這個(gè)算法現(xiàn)在叫Metropolis-Hasting算法，簡(jiǎn)稱M-H算法。

進(jìn)入了90年代后，廉價(jià)高性能的個(gè)人電腦開始走入千家萬戶。以MCMC方法為基礎(chǔ)的貝葉斯學(xué)派才第一次走出了象牙塔，它不再是數(shù)學(xué)家們的專利，人們不必在無窮無盡的求導(dǎo)和積分中窮經(jīng)皓首，而是可以借助強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)，靠馬可夫鏈的隨機(jī)取樣，去解決實(shí)際中的問題。

貝葉斯學(xué)派終于咸魚翻身了。

在接近本文結(jié)尾的時(shí)候，我們?cè)賮硇蕾p一下M-H方法暴力的計(jì)算美學(xué)。今天的貝葉斯玩家們，也許大部分都讀不懂Marshal Rosenbluth證明和推導(dǎo)了，但是人人都站在巨人的肩膀上，也就是艾麗亞娜當(dāng)年用無數(shù)的0和1堆砌起來的大廈。

這個(gè)例子很簡(jiǎn)單，讓我們觀察到的數(shù)據(jù)的似然函數(shù)是一個(gè)正態(tài)分布，它的期望值和方差的先驗(yàn)分布分別又是正態(tài)分布和均態(tài)分布，我們的任務(wù)是從這些數(shù)據(jù)和假設(shè)中推導(dǎo)出兩個(gè)正態(tài)參數(shù)的后驗(yàn)分布。如前所述，即使是這樣的簡(jiǎn)單例子也沒有解析解，唯有使用MCMC的數(shù)值模擬辦法。

左圖顯示的是三條獨(dú)立的馬可夫鏈，可以看出他們的起始位點(diǎn)頗為不同，但是在M-H算法的拉動(dòng)下，三條鏈很快就收斂了。右圖是在馬可夫鏈上對(duì)均值和方差的隨機(jī)取樣，繪制成三維的概率密度圖，引人矚目的是，在模擬的初始階段，峰型非常不穩(wěn)而且四處位移，但是隨著馬可夫鏈走到了五千步以上，這個(gè)二維的分布開始收斂成一個(gè)穩(wěn)定漂亮的峰型。

?

https://blog.revolutionanalytics.com/2013/09/an-animated-peek-into-the-workings-of-bayesian-statistics.html

事就這樣成了。

在MCMC計(jì)算中，維度更高的復(fù)雜概率問題也是以此類推，我們也許永遠(yuǎn)不能給他們寫出一個(gè)優(yōu)美的數(shù)學(xué)表達(dá)式，但是卻可以通過隨機(jī)采樣的方式給它畫一個(gè)逼真的肖像。

這就是概率和模擬的優(yōu)美之處，我們今天要講的這個(gè)科學(xué)史上的傳奇，就講完了。

當(dāng)然，當(dāng)時(shí)Metropolis算法文章的五位共同作者，都沒有意識(shí)到這個(gè)技術(shù)所蘊(yùn)含的普世意義，所以他們?nèi)蘸蠖紱]有在研究中再使用過這個(gè)方法。

Metropolis后來繼續(xù)從事計(jì)算科學(xué)在物理中的應(yīng)用， 他獲得了該算法的冠名權(quán)，這一榮譽(yù)足以讓他名垂青史。

作為學(xué)界權(quán)威的泰勒，在氫彈成功后，大概不愿意繼續(xù)留在洛斯阿莫斯試驗(yàn)室了，這畢竟是奧本海默的勢(shì)力范圍。泰勒夫婦搬到了加州伯克利，創(chuàng)立了勞倫斯利沃莫國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，和洛斯阿莫斯分庭抗禮。到了麥卡錫時(shí)代，泰勒去國(guó)會(huì)作證，還把老戰(zhàn)友奧恩海默給賣了，這是題外話。

Marsha Rosenbluth后來也搬到了加州，專業(yè)方向變成了凝聚態(tài)物理，也和這個(gè)他們點(diǎn)燃了第一簇篝火的領(lǐng)域拜拜了。直到2003年，在學(xué)術(shù)界聚集慶祝Metropolis算法問世50周年的大會(huì)上，他強(qiáng)撐病體前往，做了一個(gè)對(duì)歷史的回顧，厘清了理論工作貢獻(xiàn)的來龍去脈。人們開始意識(shí)到，這個(gè)算法的真名或許應(yīng)該叫Rosenbluth-Teller算法。

艾麗亞娜的貢獻(xiàn)是最不為人知的。

幾年前，有人為了紀(jì)念這個(gè)劃時(shí)代算法，給這篇文章的五位作者做了一個(gè)“全家?！?，作為冠名者的Metropolis自然是畫面的中心，以藝術(shù)氣質(zhì)見長(zhǎng)的泰勒正在彈鋼琴，他的太太坐在一旁聽得入迷，年輕的Marsha Rosenbluth也是一副春風(fēng)得意的氣度，唯有艾麗亞娜的影像是一個(gè)黑影，因?yàn)楫?dāng)時(shí)連網(wǎng)上都找不到她的影像信息。

除了Metropolis算法，統(tǒng)計(jì)界還特別推崇那篇1949年Metropolis和Stanislaw Ulam發(fā)表的《蒙特卡洛方法》。由于Metropolis已經(jīng)備極哀榮了，貝葉斯界把他們最新創(chuàng)立的一門專用于馬可夫鏈隨機(jī)取樣的計(jì)算機(jī)語言名命為Stan， 為了紀(jì)念當(dāng)年的共同作者之一Stanislaw Ulam，但是Stanislaw寫過程序嗎？無人知曉。

回首當(dāng)年，Stan語言的創(chuàng)立者之一Andrew Gelman不無遺憾地說：也許我們應(yīng)該把它名命為艾麗亞娜。

（圖片來自網(wǎng)絡(luò)）

參考資料：

A History of the Metropolis-Hastings Algorithm.

https://www.jstor.org/stable/30037292?seq=1

Marshall Rosenbluth and the Metropolis algorithm

https://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.1887186

Arianna Rosenbluth Dies at 93; Pioneering Figure in Data Science

https://www.nytimes.com/2021/02/09/science/arianna-wright-dead.html

https://cosx.org/2013/12/1st-bayesian-statistics-meeting/

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END

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