天津
女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
本文探討了將正方形映射為圓盤的笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，根據(jù)其拓?fù)鋵W(xué)與幾何學(xué)意義展開研究，揭示了經(jīng)典迷宮與空間填充曲線之間的關(guān)聯(lián)，以及古羅馬圓形馬賽克鑲嵌畫中螺旋形態(tài)的生成機(jī)制，并由此引發(fā)更廣泛的思考。
笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換
埃利奧特[4]在探索"計(jì)算機(jī)生成之美"時(shí)、格林菲爾德[5]在構(gòu)建復(fù)雜形態(tài)時(shí)、布萊歇爾[1]在設(shè)計(jì)紋樣時(shí)，都曾考慮運(yùn)用笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。這項(xiàng)技術(shù)甚至已成為圖像編輯軟件中的常規(guī)工具。本文的意圖并非制造炫目圖像，而是通過對比初始空間與生成空間的特性，反思轉(zhuǎn)換后空間的特殊拓?fù)渑c幾何結(jié)構(gòu)。
笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，是指將平面上任意點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)(x,y)直接視作該點(diǎn)的極坐標(biāo)(r,θ)。在本文中，我們將探討將正方形映射為圓盤的轉(zhuǎn)換——令正方形邊長等于圓盤直徑d。若點(diǎn)P的笛卡爾坐標(biāo)為(x,y)，要獲取其轉(zhuǎn)換后對應(yīng)點(diǎn)P'的極坐標(biāo)(r,θ)，可采用以下轉(zhuǎn)換公式：r = x/2 且 θ = 2πy/d（圖1）。
圖1：笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換
除了上述方法，還可以通過交換x與y的角色或調(diào)整極軸方向?qū)崿F(xiàn)轉(zhuǎn)換。在編寫計(jì)算機(jī)圖形程序?qū)崿F(xiàn)此類轉(zhuǎn)換時(shí)需注意：雖然該轉(zhuǎn)換在正方形到圓盤（映射至圓心點(diǎn)除外）的數(shù)學(xué)定義上是雙射，但在像素層面卻并非如此。因此，要獲得正確的轉(zhuǎn)換圖像，唯一方法是遍歷目標(biāo)圓盤中的每個(gè)像素，逆向追溯其源自正方形中的哪個(gè)像素。此外，在Processing（以及多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)）中，y軸方向是朝下的。綜合這些因素，我們得以觀察該轉(zhuǎn)換（極軸朝上時(shí)）如何重塑笛卡爾坐標(biāo)系創(chuàng)始人的肖像（圖2）。
圖2：笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換應(yīng)用于勒內(nèi)·笛卡爾肖像（原作為弗朗斯·哈爾斯繪，盧浮宮藏）
人們普遍觀察到，在此類轉(zhuǎn)換中，直線會(huì)演變?yōu)榉派錉罹條或同心圓。具體到我們的案例，垂直線條將轉(zhuǎn)換為放射狀射線（圖3a），水平線條則轉(zhuǎn)換為同心圓環(huán)（圖3b）。
圖3：笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的線條變換：(a) 垂直線條 (b) 水平線條
這揭示了一些基本的拓?fù)鋵W(xué)事實(shí)。我們的初始圖像具有明確的頂部與底部、左側(cè)與右側(cè)之分——這在圖2的肖像中尤為顯著。然而轉(zhuǎn)換后的圖像則以圓心與圓周為基準(zhǔn)，擁有單一邊界而無方位之分。垂直線條轉(zhuǎn)化為從圓心輻射至邊界的射線，水平線條（或線段）則轉(zhuǎn)化為閉合環(huán)狀的同心圓。由此，轉(zhuǎn)換后圓盤（或稱極坐標(biāo)圓盤）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與初始笛卡爾正方形截然不同。若引入中間步驟，可考慮將正方形視為具有柱面或周期拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)——即假設(shè)左右兩側(cè)相互銜接。最后需補(bǔ)充說明：圓盤邊界的圓形形態(tài)對于拓?fù)鋵W(xué)探討而言并無實(shí)質(zhì)影響，它可以是任意形狀的閉合曲線。
迷宮與空間填充曲線
筆者對這類轉(zhuǎn)換的首次運(yùn)用，源于對迷宮的研究[2]。
與"迷宮"一詞的常見含義相反，中世紀(jì)及古克里特迷宮均為單路結(jié)構(gòu)——這意味著其中僅有一條路徑，既無岔道也無環(huán)路，必然引導(dǎo)人們從邊界入口抵達(dá)中心終點(diǎn)（根本無需阿里阿德涅的線團(tuán)……）。迷宮的路徑由"墻壁"界定，這些墻可以是真實(shí)墻體、灌木叢、地板上異色鑲嵌的瓷磚，甚至簡單的線條。以盧卡大教堂門廊立柱上著名的石刻迷宮為例，其"墻壁"實(shí)為界定抬高路徑的凹槽（圖4）。
圖4：盧卡大教堂門廊立柱上的石刻迷宮
古代迷宮（如圖5a所示）與中世紀(jì)迷宮略有差異，但原理相通。無論何種形式，總有一道墻從中心延伸至邊界。此時(shí)可沿此墻剖開，將圖案"展開"（圖5）。
圖5：迷宮展開示意圖：(a) 克里特迷宮 (b) 中世紀(jì)迷宮
迷宮之路，雖為單線，卻不直白——它蜿蜒曲折，盤繞糾結(jié)，從詞源學(xué)意義上講就是"折疊"且不斷"自我折疊"。它傳遞著目標(biāo)遙不可及的錯(cuò)覺，盡管終點(diǎn)實(shí)則無可避免。更重要的是，這條路徑遍歷了迷宮所圍合區(qū)域的每一寸空間。
這些特征與空間填充曲線或FASS曲線（空間填充、自避、簡單、自相似）高度契合：后者同樣具有單路屬性，通過遞歸折疊，不僅遍歷平面區(qū)域的每一部分，更延伸至每一個(gè)點(diǎn)，直至完全填滿空間。其中最為著名的當(dāng)屬皮亞諾曲線與希爾伯特曲線（見圖6a與7a所示的第二階段、圖6b與7b所示的第三階段皮亞諾曲線，以及圖8a所示的第三階段、圖8b所示的第四階段希爾伯特曲線——均以L系統(tǒng)形式呈現(xiàn)，白線黑底）。
圖6：皮亞諾曲線的笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（變體一）：(a) 第二階段 (b) 第三階段
圖7：皮亞諾曲線的笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（變體二）：(a) 第二階段 (b) 第三階段
圖8：希爾伯特曲線的笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：(a) 第三階段 (b) 第四階段
迷宮與FASS曲線的主要區(qū)別在于：前者的路徑從圓周（或變形邊界）延伸至圓心，而后者的路徑則從正方形的一個(gè)角落通往另一個(gè)角落。這正是笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換大顯身手的領(lǐng)域。以皮亞諾曲線為例，其起點(diǎn)與終點(diǎn)位于對角兩端，存在兩種變體（分別如圖6與圖7所示）。
這一實(shí)驗(yàn)不僅生成了新型迷宮，更凸顯了極坐標(biāo)圓盤的獨(dú)特拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)——圓心與圓周的角色由此明確分化。然而，該實(shí)驗(yàn)尚未充分利用其周期拓?fù)涮匦裕喝缤?jīng)典迷宮般，仍存在一道從圓心延伸至邊界的隔墻，路徑無法穿越。能夠?qū)崿F(xiàn)這一跨越的曲線，則是螺旋——我們將在完全不同的語境中與之相遇。
螺旋與密鋪
筆者第二次邂逅笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，是在分析古羅馬圓盤形馬賽克（有時(shí)亦稱圓形浮雕[3]）之時(shí)。
是在研究葉序排布時(shí)，讓[6]著作中的一幅插圖引起了筆者的注意——那是一幅古羅馬馬賽克（《美杜莎之首羅馬馬賽克》，公元115-150年，羅馬國家博物館馬西莫浴場宮藏）的模糊翻印圖。這幅圖像之所以奇異，在于其雖呈現(xiàn)螺旋形態(tài)，卻與葉序螺旋毫無關(guān)聯(lián)。該馬賽克由固定數(shù)量的三角形嵌片構(gòu)成，這些嵌片圍繞小型裝飾圓盤呈同心圓環(huán)（或稱行列）排列。醒目的螺旋數(shù)量與每行三角形數(shù)量相等，且順時(shí)針與逆時(shí)針螺旋數(shù)目相同——這些特征完全有別于葉序排布法則。
這類馬賽克現(xiàn)存數(shù)例，多數(shù)采用三角形嵌片——或以深色三角形襯于淺底（圖9a），或以色彩強(qiáng)化螺旋形態(tài)（圖9b-c）。部分作品呈現(xiàn)更奇特的形狀，但實(shí)為三角形變體；極少數(shù)采用四邊形嵌片（圖9d）。筆者尚未發(fā)現(xiàn)任何使用六邊形嵌片的實(shí)例。分析這些紋樣時(shí)，筆者首先統(tǒng)計(jì)了同心圓環(huán)的層數(shù)及各層嵌片形態(tài)，并注意到嵌片尺寸的漸變規(guī)律。多數(shù)紋樣采用近似等邊三角形，因此從圓心到圓周的環(huán)層深度逐漸遞增（圖9a-b）。但至少有一例，鑲嵌師刻意保持環(huán)層深度恒定，導(dǎo)致圓心附近的三角形尖銳細(xì)長，而圓周附近的三角形扁平舒展（圖9c）。
圖9：馬賽克紋樣分析與模擬：(a) 美杜莎之首馬賽克地磚，公元115-150年，J.保羅·蓋蒂博物館藏；(b) 狄俄尼索斯頭像螺旋紋樣馬賽克，希臘科林斯出土；(c) 羅馬幾何紋樣圓形馬賽克，約公元3世紀(jì)；(d) 羅馬馬賽克，敘利亞出土，約公元4-5世紀(jì)
這些紋樣顯然是圓盤的密鋪結(jié)構(gòu)。我們可以對其進(jìn)行推廣：既消除圓心處的空白區(qū)域，又延伸至圓盤邊界之外——同時(shí)保持環(huán)層深度（即嵌片高度）恒定或遞減。
圖10：廣義密鋪結(jié)構(gòu)：(a) 三角形等高度密鋪 (b) 四邊形等高度密鋪 (c) 三角形遞減高度密鋪 (d) 四邊形遞減高度密鋪
恒定深度的第一類密鋪（圖10a-b）亦可解讀為經(jīng)笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的平面經(jīng)典密鋪（圖11；此處以黑色嵌片數(shù)量的三角形密鋪為例）。
圖11：密鋪結(jié)構(gòu)的笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：(a) 6x6三角形網(wǎng)格 (b) 6x6正方形網(wǎng)格 (c) 30x30三角形網(wǎng)格 (d) 30x30正方形網(wǎng)格
經(jīng)典笛卡爾密鋪中由嵌片錯(cuò)位產(chǎn)生的斜線并不顯眼，但轉(zhuǎn)換后的螺旋形態(tài)卻格外突出——至少在密度足夠時(shí)如此（圖11c-d）。聰慧的鑲嵌師正是通過著色強(qiáng)化了這些螺旋。
這一解讀將我們帶回笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及其深層含義。我們已見證水平線與垂直線的命運(yùn)，但斜線又將如何演變（圖12）？
圖12：斜線的笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：(a) 等距對角線 (b) 等距銳角斜線 (c) 等距鈍角斜線
由此可見，斜線轉(zhuǎn)換后形成阿基米德螺旋——或單條螺旋，或多條螺旋。由此我們可為極坐標(biāo)圓盤增添幾何特性：阿基米德螺旋之于極坐標(biāo)圓盤，恰如斜線之于笛卡爾平面。在圖12a與12c中，自上而下的斜線轉(zhuǎn)換為自圓心向邊界延伸的螺旋（如同首節(jié)所述迷宮的路徑）。而圖12b的案例尤為有趣：它充分利用了周期拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將多條斜線轉(zhuǎn)化為單一連續(xù)螺旋。
另一種變深度密鋪（圖10c-d）則引導(dǎo)我們引入新型轉(zhuǎn)換：其中θ = 2πy/d保持不變，但r = a^x（a值根據(jù)圓盤尺寸合理選。２环练Q之為對數(shù)型（借喻此類螺旋特性）笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。讓我們觀察這種轉(zhuǎn)換如何重塑笛卡爾肖像（圖13）與密鋪結(jié)構(gòu)（圖14）：
圖13：對數(shù)型笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換應(yīng)用于勒內(nèi)·笛卡爾肖像
圖14：密鋪結(jié)構(gòu)的對數(shù)型笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：(a) 6x6三角形網(wǎng)格 (b) 6x6正方形網(wǎng)格 (c) 30x30三角形網(wǎng)格 (d) 30x30正方形網(wǎng)格
最后，垂直線條仍轉(zhuǎn)換為放射狀射線，水平線條轉(zhuǎn)換為同心圓環(huán)（圖15），而斜線則轉(zhuǎn)換為對數(shù)螺旋（圖16）。
圖15：對數(shù)型笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的線條變換：(a) 垂直線條 (b) 水平線條
圖16：斜線的對數(shù)型笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：(a) 等距對角線 (b) 等距銳角斜線 (c) 等距鈍角斜線
至此，我們定義了兩類笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：第一類將斜線映射為阿基米德螺旋，第二類則映射為對數(shù)螺旋。這一思路可進(jìn)一步延伸——通過定義其他笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，使斜線演變?yōu)槿我忸愋偷穆菪。
結(jié)論
我們對笛卡爾坐標(biāo)至極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的探索，揭示了極坐標(biāo)圓盤的獨(dú)特拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)——以圓心與單一邊界為特征，消解了方位之分，并催生了螺旋形態(tài)。需再次強(qiáng)調(diào)：對于拓?fù)鋵W(xué)而言，邊界的實(shí)際形態(tài)并不重要——正方形若被視為具有圓心與周界而無方位之分的空間，同樣適用。迷宮常被內(nèi)接于正方形或其他正多邊形中。我們的研究雖源于圓盤形馬賽克鑲嵌畫與迷宮（后者同樣常見于馬賽克藝術(shù)），但其應(yīng)用顯然超越這些領(lǐng)域，尤其在建筑學(xué)中。
迷宮是建筑的起源神話之一。路徑定義是建筑師的核心任務(wù)，博物館參觀流線便是典型例證——這一問題恰好串聯(lián)起我們的兩大主題。兩位建筑巨匠不約而同選擇了螺旋形態(tài)：勒·柯布西耶將其"無限增長博物館"內(nèi)嵌于正方形，弗蘭克·勞埃德·賴特則以螺旋坡道締造古根海姆博物館。而彼得·艾森曼為廣東博物館設(shè)計(jì)的迷宮式路徑，則展現(xiàn)了更復(fù)雜的空間探索。這些案例表明，迷宮與螺旋雖為二維紋樣，卻可升維至三維空間。
參考文獻(xiàn)
[1] L. Bleicher. “Serial Polar Transformations of Simple Geometries.” ISAMA-CTI 2004 Proceedings, Chicago, USA, June 17-19, 2004, pp. 65-68.
[2] M.-P. Corcuff. “From Labyrinths and Recursive Folds Towards Generative Architecture.” 15th Generative Art Conference Proceedings, Lucca, Italy, December 10-12, 2012, pp. 223-238. https://www.generativeart.com/GA2012/marie-pascale.pdf.
[3] M.-P. Corcuff. “Spiraling Around.” 26th Generative Art Conference Proceedings, Rome, Italy, December 11-13, 2023, pp. 208-232. https://generativeart.com/GA2023/papersDOC/OK/25_mariepascale_corcuff_paper.pdf.
[4] C. Elliot. “Functional Image Synthesis.” Bridges Conference Proceedings, Winfield, USA, July 27- 29, 2001, pp. 139-158. https://archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-139.html.
[5] G. R. Greenfield. “Serial Polar Transformation Motifs Revisited.” Bridges Conference Proceedings, Banff, Canada, July 31-August 3, 2005, pp. 443-448. https://archive.bridgesmathart.org/2005/bridges2005-443.html.
[6] R. V. Jean, Phyllotaxis. A Systemic Study in Plant Morphogenesis. Cambridge University Press, 1994.
[7] Marie-Pascale Corcuff, Labyrinths and Space-Filling Curves, Spirals and Tessellations: Topological and Geometrical Implications of Cartesian to Polar Transformations
最后照例放些跟張大少有關(guān)的圖書鏈接。
青山 不改，綠水長流，在下告退。
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