導(dǎo)語

集智學(xué)園聯(lián)合新加坡國立大學(xué)賈治安老師共同開設(shè)了，幫助復(fù)雜系統(tǒng)跨學(xué)科領(lǐng)域?qū)W習(xí)者、研究者系統(tǒng)掌握量子場論的核心概念和基本方法，以及其在高能物理和凝聚態(tài)物理中的典型應(yīng)用。同時，課程還將探討量子場論的前沿與跨學(xué)科課題，例如量子反常、拓?fù)鋱稣摵蛷V義對稱性，以及量子場論在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、量子計(jì)算等方向的應(yīng)用，來拓展學(xué)術(shù)視野。

作為系列課程的第五講，賈治安老師將以「時空對稱性與洛倫茲群——對稱之美初探」為題，本次分享目標(biāo)為深入理解閔可夫斯基時空的幾何結(jié)構(gòu)，掌握洛倫茲變換的數(shù)學(xué)性質(zhì)，熟練使用相對論張量記號，建立對稱性分析的基礎(chǔ)。正式分享將于3月25日（周三）19:00-21:00進(jìn)行。

主題：時空對稱性與洛倫茲群——對稱之美初探

課程目標(biāo)

深入理解閔可夫斯基時空的幾何結(jié)構(gòu)，掌握洛倫茲變換的數(shù)學(xué)性質(zhì)，熟練使用相對論張量記號，建立對稱性分析的基礎(chǔ)。

課程要點(diǎn)

• 閔可夫斯基時空

• • 事件與四維坐標(biāo)：

  • 度規(guī)張量：（或 (-, +, +, +）號差）

  • 時空間隔：

  • 類時、類光、類空間隔的物理意義

• Einstein求和約定與指標(biāo)操作

• • 上下指標(biāo)約定與自動求和

  • 指標(biāo)升降：

  • 四維梯度：

  • d'Alembert算符：
    

• 洛倫茲變換

• • 定義：保持度規(guī)不變的線性變換

• • 洛倫茲群 O(1,3) 及其子群

  • 固有正時洛倫茲群 SO+(1,3)

• 洛倫茲變換的類型

• • 空間旋轉(zhuǎn)： SO(3) 子群

  • Boost（純洛倫茲變換）

  • 宇稱變換 P：(t,x) → (t, -x)

  • 時間反演 T：(t,x) → (-t,x)

• 四維矢量與張量

• • 四矢量的變換：

  • 洛倫茲標(biāo)量（0階張量）、四矢量（1階張量）

  • 二階張量： ，如能動張量、電磁場張量

  • 張量的縮并與洛倫茲不變量構(gòu)造

• 標(biāo)量場的變換性質(zhì)

• • 標(biāo)量場的定義：

  • 或等價(jià)地：

  • Klein-Gordon方程的協(xié)變性驗(yàn)證

  • 作用量的洛倫茲不變性

• 離散對稱性

• • 宇稱 P：空間反射的物理意義

  • 時間反演 T：運(yùn)動反向

  • 電荷共軛 C：粒子 反粒子

  • CPT定理（簡介）

• 洛倫茲群的生成元

• • 轉(zhuǎn)動生成元 Ji 與 boost 生成元 Ki

  • Lie代數(shù)： 等

  • 旋量表示的預(yù)告

• 共形對稱性（簡介）

• 對稱性在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的應(yīng)用（簡介）

練習(xí)

• 證明洛倫茲變換保持時空間隔不變：s'2 = s2

• 推導(dǎo)沿 x 方向速度為 v 的 boost 矩陣的顯式形式

• 驗(yàn)證 Klein-Gordon 方程在洛倫茲變換下保持形式不變

• 證明四動量 滿足

• 用四維形式重寫 Maxwell 方程組（電磁場張量 ）

本講與后續(xù)內(nèi)容的聯(lián)系

洛倫茲對稱性是相對論場論的基石。下一講將通過 Noether 定理揭示對稱性與守恒律的深刻聯(lián)系，而旋量場（Dirac 場）的討論需要洛倫茲群的旋量表示。

系列課程推薦教材

• Tom Lancaster & Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur(Oxford University Press, 2014).

• Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell (Princeton University Press,2010).

• Michael E. Peskin & Daniel V. Schroeder., An Introduction to Quantum Field Theory(Addison-Wesley, 1995).

• Matthew D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model (CambridgeUniversity Press, 2013).

• Mark Srednicki, Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 2007).

• Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vols. I, II, III (Cambridge UniversityPress, 1995–2000).

• Lewis H. Ryder, Quantum Field Theory, 2nd ed. (Cambridge University Press, 1sted, 1996).

• Pierre Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd ed. (Avalon Publishing 1997).

課程信息

課程主題：時空對稱性與洛倫茲群——對稱之美初探

課程時間：2026年3月25日（周三） 19:00-21:00

課程形式：騰訊會議（會議信息見群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個工作日內(nèi)上線）

課程主講人

賈治安（知乎：@也疏寒），個人網(wǎng)站：tqfter.github.io，新加坡國立大學(xué)Research Fellow，即將回國在高校從事科研工作。主要從事數(shù)學(xué)物理與理論物理領(lǐng)域研究，聚焦量子代數(shù)在量子場論、量子物態(tài)、量子信息與量子計(jì)算中的具體應(yīng)用。近年研究重點(diǎn)為拓?fù)鋱稣摷捌渚Ц駥?shí)現(xiàn)（拓?fù)湫颍?，并圍繞場論與晶格框架下的廣義對稱性開展研究。同時，賈老師對高能物理、量子物質(zhì)與量子信息科學(xué)的交叉和融合抱有濃厚興趣，尤其致力于運(yùn)用量子信息方法研究量子場論與凝聚態(tài)體系。

課程適用對象

1. 對高等數(shù)學(xué)和量子力學(xué)有一定了解的本科生、研究生、高校教師研究員與愛好者

2. 對量子世界的復(fù)雜性感興趣的跨學(xué)科學(xué)習(xí)者

3. 希望在復(fù)雜科學(xué)領(lǐng)域遷移應(yīng)用量子場論內(nèi)容的研究者

4. 對邏輯、抽象思維和系統(tǒng)思維有興趣的公眾學(xué)習(xí)者

報(bào)名須知

1. 課程形式：騰訊會議直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播。本系列課程僅首節(jié)免費(fèi)直播。

2. 課程周期：2026年2月11日-2026年5月6日，每周三晚19點(diǎn)-21點(diǎn)進(jìn)行。

3. 課程定價(jià)：999元。

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5681?from=wechat

付費(fèi)流程：

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程共創(chuàng)任務(wù)：課程字幕

為鼓勵學(xué)員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識傳播成果，并構(gòu)建課程知識共建社群。為此，我們特別設(shè)立激勵機(jī)制，讓您的學(xué)習(xí)之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結(jié)束后，助教會于課程群內(nèi)發(fā)布字幕共創(chuàng)任務(wù)。學(xué)員通過參與這些任務(wù)，不僅能加深對內(nèi)容的理解，還可獲得積分獎勵。積分可兌換其他讀書會課程或?qū)嵨铼勂?，助力您的持續(xù)成長。

后記

跨學(xué)科集智創(chuàng)新基金：

招募頂尖講師，生產(chǎn)高質(zhì)內(nèi)容

集智學(xué)園始終在圍繞復(fù)雜科學(xué)、人工智能搭建知識體系。我們深知，唯有根深方能葉茂。因此，在追逐前沿的同時，在最近3個月中，我們推出了拓?fù)鋵W(xué)、線性代數(shù)、統(tǒng)計(jì)物理等硬核基礎(chǔ)課程，為社區(qū)學(xué)習(xí)者夯實(shí)關(guān)鍵根基。

量子場論是前沿，也是核心基礎(chǔ)，它代表人類對自然界基本規(guī)律理解的最深刻理論。其中重整化群、費(fèi)曼圖等在復(fù)雜系統(tǒng)、人工智能研究中的重要方法，其實(shí)也都來源于此。

但是要講好量子場論門檻極高，既懂其物理深意又能關(guān)聯(lián)復(fù)雜系統(tǒng)的學(xué)者鳳毛麟角；且作為一門超硬核的基礎(chǔ)理論，其商業(yè)回報(bào)的不確定性往往讓普通課程開發(fā)望而卻步。

但難做的事，往往才更有價(jià)值。為了填補(bǔ)這塊關(guān)鍵的認(rèn)知拼圖，集智學(xué)園創(chuàng)始人張江教授特別設(shè)立了“”，來懸賞招募優(yōu)秀講師，確保社區(qū)成員獲得高質(zhì)量內(nèi)容。經(jīng)過一系列的試講與篩選，我們與新加坡國立大學(xué)Research Fellow賈治安老師達(dá)成合作，讓這門來之不易的課程得以誕生。