導語

符號回歸在現(xiàn)代科學研究中扮演著至關(guān)重要的角色，因為它能夠從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)簡潔且可解釋的數(shù)學表達式。一個關(guān)鍵挑戰(zhàn)在于，如何在無限的搜索空間中尋找簡約且可泛化的數(shù)學公式，同時還要擬合訓練數(shù)據(jù)?，F(xiàn)有的算法在處理復雜性問題時，十多年來一直面臨著精度和效率的關(guān)鍵瓶頸，這從根本上阻礙了符號回歸在跨學科領(lǐng)域科學探索中的應(yīng)用步伐。為此，研究者們引入了并行符號枚舉（Parallel Symbolic Enumeration, PSE），以高效地從有限數(shù)據(jù)中提煉出通用的數(shù)學表達式。實驗表明，與最先進的基線算法相比，PSE在超過200個合成和實驗問題集上實現(xiàn)了更高的精度和更快的計算速度。PSE代表了在數(shù)據(jù)驅(qū)動的、符號化可解釋模型的發(fā)現(xiàn)方面，向更精確和更高效邁出了一步，并提高了符號學習的可擴展性。

關(guān)鍵詞：并行符號枚舉，符號回歸（Symbolic Regression, SR），人工智能（Artificial Intelligence, AI），圖形處理器 (Graphics Processing Unit, GPU) 并行計算

王璇丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Discovering physical laws with parallel symbolic enumeration 論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s43588-025-00904-8 發(fā)表時間：2025年11月21日 論文來源：Nature Computational Science

引言：科學發(fā)現(xiàn)的“羅塞塔石碑”——符號回歸

幾個世紀以來，科學發(fā)現(xiàn)日益依賴數(shù)據(jù)驅(qū)動。符號回歸（SR）處于這一趨勢前沿，其核心目標是從觀測數(shù)據(jù)中自動提取可解釋的數(shù)學表達式，且無需預先假設(shè)函數(shù)形式，推動天文學、材料科學及物理定律發(fā)現(xiàn)等多個領(lǐng)域進步。

然而，SR面臨“組合爆炸”的根本挑戰(zhàn)?，F(xiàn)有主流方法各存局限：演化計算（如GP）可擴展性不足，稀疏回歸（如SINDy）受限于預設(shè)函數(shù)庫，深度學習依賴主觀閾值，MCTS則搜索效率受限。由于SR本質(zhì)上是NP難問題，傳統(tǒng)方法獨立評估表達式導致效率低下，提升評估效率成為關(guān)鍵。為此，發(fā)表于《自然·計算科學》的這篇文章提出了并行符號枚舉（PSE）框架，旨在通過根本性改變搜索范式來突破上述瓶頸。

核心創(chuàng)新：PSE如何打破瓶頸？

PSE模型的核心是一個并行符號回歸網(wǎng)絡(luò)（PSRN），從對候選表達式進行獨立、順序評估，轉(zhuǎn)向一個并行化、共享計算的框架。它的關(guān)鍵創(chuàng)新在于兩點：

1. 共享子樹評估：在SR過程中，許多候選表達式共享相同的子樹。傳統(tǒng)方法會為每個表達式單獨計算這個子樹的數(shù)值，造成大量冗余。PSRN則能自動識別這些公共子樹，并僅計算一次，然后將結(jié)果共享給所有需要它的更復雜表達式，從而避免了重復計算。

2. GPU大規(guī)模并行計算：PSRN的架構(gòu)天生適合并行化。它被設(shè)計為在GPU上運行，能夠同時對數(shù)以億計的候選表達式進行并行評估。通過利用GPU的數(shù)千個核心，PSRN可以在短短幾秒鐘內(nèi)完成海量表達式的數(shù)值計算和誤差評估。

這兩項技術(shù)的協(xié)同作用，使得在表達式評估環(huán)節(jié)，效率提升了高達四個數(shù)量級。

圖1. 提出的PSE模型概述。

性能驗證：PSE有多能打？

研究團隊在超過200個問題上驗證了PSE的有效性。在標準SR基準測試中，PSE在符號恢復率與計算速度上均全面領(lǐng)先。在16個混沌系統(tǒng)的控制方程發(fā)現(xiàn)任務(wù)中，即便在10%噪聲干擾下，PSE仍展現(xiàn)出最高的恢復率與魯棒性。在實際應(yīng)用層面，PSE成功從機電系統(tǒng)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了簡潔準確的動力學方程，并在經(jīng)典的湍流摩擦（Nikuradse）數(shù)據(jù)上找到了更優(yōu)的符號表達式。最為突出的是，在一個包含50個變量的高維噪聲合成問題中，PSE實現(xiàn)了40%的恢復率，而頂尖基線方法的恢復率為0%，這證明了其強大的可擴展性與特征選擇能力。

圖2. 通過實驗數(shù)據(jù)揭示基礎(chǔ)物理定律。

未來展望：通往更智能的科學發(fā)現(xiàn)

展望未來，PSE的發(fā)展將在多個維度持續(xù)進化：通過與uDSR等集成式SR方法融合，結(jié)合預訓練、深度SR與稀疏回歸提升性能；引入特征選擇預處理，聚焦關(guān)鍵變量以增強高維問題可擴展性；優(yōu)化令牌生成策略與計算后端，提升搜索智能與硬件利用率；融入物理量綱等先驗知識，以加速收斂并節(jié)約算力。PSE通過GPU并行計算與層次化智能搜索的融合，突破了SR領(lǐng)域長期存在的“效率-精度”瓶頸，為從混沌系統(tǒng)解析到工程規(guī)律挖掘的數(shù)據(jù)驅(qū)動科學發(fā)現(xiàn)提供了強大新工具，其卓越性能已展現(xiàn)出成為跨學科科研基礎(chǔ)平臺的潛力，未來將持續(xù)推動科學發(fā)現(xiàn)的自動化與高效化。

復雜系統(tǒng)自動建模讀書會

“復雜世界，簡單規(guī)則?！?/p>

集智俱樂部聯(lián)合復旦大學智能復雜體系實驗室青年研究員朱群喜、浙江大學百人計劃研究員李樵風、清華大學電子工程系數(shù)據(jù)科學與智能實驗室博士后研究員丁璟韜、美國東北大學物理系A(chǔ)lbert-László Barabási指導的博士后高婷婷、北京大學博雅博士后曹文祺、復旦大學數(shù)學科學學院應(yīng)用數(shù)學方向博士研究生趙伯林、北京師范大學系統(tǒng)科學學院博士研究生牟牧云，共同發(fā)起。

讀書會將于9月5日起每周四晚上20:00-22:00進行，探討四個核心模塊：數(shù)據(jù)驅(qū)動的復雜系統(tǒng)建模、復雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)推斷、具有可解釋性的復雜系統(tǒng)推斷（動力學+網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）、應(yīng)用-超材料設(shè)計和城市系統(tǒng)，通過重點討論75篇經(jīng)典、前沿的重要文獻，從黑盒（數(shù)據(jù)驅(qū)動）到白盒（可解釋性），逐步捕捉系統(tǒng)的“本質(zhì)”規(guī)律，幫助大家更好的認識、理解、預測、控制、設(shè)計復雜系統(tǒng)，為相關(guān)領(lǐng)域的研究和應(yīng)用提供洞見。歡迎感興趣的朋友報名參與！

詳情請見：

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