在量子力學恢弘殿堂的建造史上，馬克斯·玻恩（Max Born）扮演著至關重要的雙重角色：他不僅是為其注入深邃“靈魂（概率詮釋）”的哲學家，更是親手為其奠定堅實“框架（矩陣形式）”的偉大建筑師。

1925年，當年輕的沃納·海森堡（Werner Heisenberg）帶著顛覆經(jīng)典物理圖景的模糊構想回到哥廷根時，玻恩就以其非凡的物理直覺和深厚的數(shù)學洞察力，敏銳地識別出其中蘊藏的革命性潛力。玻恩果斷行動，不僅為海森堡的思想提供了關鍵的數(shù)學識別（矩陣形式），更組織起包括數(shù)學物理學家帕斯庫爾·約旦（Pascual Jordan）在內的團隊，將零散的靈感火花鍛造為系統(tǒng)、嚴謹?shù)睦碚擉w系。

玻恩在矩陣力學建立過程中的貢獻遠不止于參與，他更是核心的推動者、完善者、捍衛(wèi)者，并最終為其注入了靈魂。這段跨越代際與專業(yè)的合作，完美詮釋了理論物理研究中“物理直覺”與“數(shù)學形式”的精妙結合。而玻恩，無疑是主導這一結合的靈魂人物。矩陣力學的成功建立，連同他隨后提出的概率詮釋，共同構成了支撐現(xiàn)代量子力學大廈最核心的梁柱，彰顯了玻恩作為量子理論奠基人的不朽功勛。

Part.1

慧眼識珠——玻恩與矩陣力學的艱難降生

1925年，原子光譜的精確規(guī)律如同難解的密碼，挑戰(zhàn)當時物理學家的智慧。為了尋找原子光譜的理論解釋，海森堡選擇只使用可觀測的物理量（例如，光譜線的頻率和強度）來構建理論，而不去假設不可觀測的電子軌道。

于是，海森堡將不同能級間的躍遷量排列組合進行數(shù)學運算，卻發(fā)現(xiàn)了一個奇特現(xiàn)象：運算結果依賴于乘法的順序！這與經(jīng)典物理和日常代數(shù)遵循的交換律截然不同，海森堡直覺到這是關鍵卻困惑于其物理本質。

當海森堡將這份充滿疑惑的手稿呈交給導師玻恩時，歷史的關鍵轉折點出現(xiàn)了。玻恩憑借其卓越的數(shù)學素養(yǎng)，很快便認出了海森堡表格中那些“不聽話”的運算規(guī)則所對應的數(shù)學結構——矩陣代數(shù)。

玻恩的這次識別是決定性的。他沒有停留在欣賞弟子的直覺上，而是迅速而堅定地采取了行動：他明確告知海森堡其工作的數(shù)學本質是矩陣，并立即著手組織力量進行系統(tǒng)化。玻恩深知自身在矩陣代數(shù)具體運算上的不足，于是邀請了精通此道的年輕助教約旦加入合作。玻恩在這一階段的核心角色是識別方向、搭建團隊、提供關鍵數(shù)學認知。

在玻恩的領導和協(xié)調下，三人合作高效推進：海森堡提供物理思想的核心，玻恩把握整體方向、洞察物理與數(shù)學的對應關系，約旦則承擔起繁復而精密的數(shù)學推導工作。玻恩是合作的靈魂和組織者。

1925年，以玻恩和約旦署名的論文《Zur quantenmechanik》發(fā)表，這篇在玻恩主導下完成的論文，首次系統(tǒng)地將矩陣確立為量子力學的基本數(shù)學工具，清晰地闡述了矩陣運算規(guī)則（特別是非交換的乘法），并開始將位置、動量等物理量表示為矩陣。

圖1 玻恩與約旦的矩陣力學早期合作論文（圖片來源：參考文獻[3]）

緊接著，1926年，三人合作的集大成之作《Zur quantenmechanik. II.》問世。這篇同樣凝聚了玻恩核心思想的論文，為矩陣力學奠定了堅實的公理化基礎，明確了其數(shù)學框架和物理原理。矩陣力學作為一個完整的理論正式誕生，而玻恩是這一誕生過程中不可或缺的主導者。

圖2 玻恩、海森堡、約旦合作發(fā)表的矩陣力學系統(tǒng)化論文（圖片來源：參考文獻[1]）

然而，新生理論的成長總是伴隨著質疑的陣痛。矩陣力學徹底摒棄了物理學家長久以來依賴的直觀空間圖像和連續(xù)軌跡描述，將物理實在抽象為矩陣元和陌生的非交換代數(shù)運算。這種高度抽象的形式讓許多習慣于經(jīng)典物理圖像的學者感到難以理解甚至強烈抵觸，“不物理”成為常見的批評。

面對洶涌的質疑浪潮，玻恩則是挺身而出，成為矩陣力學最堅定、最有力的捍衛(wèi)者。他在哥廷根的研討班、在重要的學術會議上，反復地、耐心地為這個“怪異”的理論辯護。玻恩辯護的核心武器始終是“經(jīng)驗證實”這一科學理論的終極判據(jù)。他雄辯地指出：矩陣力學雖然犧牲了傳統(tǒng)意義上的直觀性，但它能夠系統(tǒng)、精確地計算并再現(xiàn)已知的高精度光譜實驗結果（如氫原子光譜的巴耳末系），這是任何有生命力的物理理論必須做到的，也是其正確性的最終證明。正是玻恩這種基于實證的堅定立場和富有說服力的辯護，使矩陣力學在最初的激烈爭議中站穩(wěn)了腳跟，并逐漸贏得部分同行的認真對待和接受。 玻恩的學術領導力和說服力，是矩陣力學早期生存和發(fā)展的關鍵保障。

Part.2

中流砥柱——玻恩奠定矩陣力學的基石

玻恩在矩陣力學確立和發(fā)展過程中的貢獻是奠基性的和全方位的。他遠不止是一位慧眼的發(fā)現(xiàn)者和堅定的辯護者，更是為這座理論大廈澆筑混凝土、搭建主梁的工程師。他的核心工作體現(xiàn)在兩個密不可分的維度：數(shù)學形式的嚴格化與物理意義的深化。這兩個維度的工作，都深深烙上了玻恩的印記。

1）數(shù)學形式的嚴格化：玻恩主導構建理論框架

海森堡的初始想法閃爍著物理直覺的光芒，但在數(shù)學上卻是模糊和不完備的。玻恩認識到，要將這個革命性的想法變成堅實的理論，必須賦予其嚴謹?shù)臄?shù)學形式。在海森堡與約旦的合作中，首要目標就是將海森堡跳躍性的物理直覺，轉化成一個邏輯嚴密、自洽的數(shù)學體系。在玻恩署名的關鍵論文中，他們系統(tǒng)地完成了矩陣力學的數(shù)學建構：

物理量的矩陣表示：明確將系統(tǒng)的可觀測量（如位置坐標、動量、能量等）表示為矩陣（通常是無限維）；

運動方程：給出了量子系統(tǒng)的動力學方程，即矩陣如何隨時間演化；

核心支柱：非對易關系的發(fā)現(xiàn)與確立，這是玻恩及其合作者對量子力學最深刻、影響最深遠的貢獻之一。

在玻恩的指導下進行數(shù)學推導時，為了滿足能量守恒等基本原理，他們發(fā)現(xiàn)并明確表述了量子力學最核心的關系之一 —— 位置矩陣與動量矩陣的乘積是不可交換的。其數(shù)學表達式為：

其中，是普朗克常數(shù)，是虛數(shù)單位，是單位矩陣。

這個“非對易關系”絕非數(shù)學巧合，它深刻揭示了量子世界與經(jīng)典世界最根本的差異之一：在微觀領域，同時精確測量某些成對的物理量（如位置和動量）在原則上是不可能的。玻恩主導確立的這個關系，成為了量子力學數(shù)學結構中最核心的支柱。它不僅完美解釋了海森堡最初遇到的乘法順序異常，更直接為海森堡本人稍后提出不確定性原理（測不準原理）提供了堅實的數(shù)學基礎。

可以說，玻恩的工作，將海森堡的靈感火花，鍛造成了具有強大數(shù)學威力和深刻物理內涵的理論基石。

圖3 馬克斯·玻恩（Max Born）、沃納·海森堡（Werner Heisenberg）以及帕斯庫爾·約旦（Pascual Jordan）的人物圖（圖片來源：Wikipedia）

2）物理意義的深化：玻恩連接理論與實驗

玻恩深諳理論物理學的真諦 —— 一個數(shù)學上再優(yōu)美的理論，若不能清晰地解釋物理現(xiàn)象并接受實驗檢驗，終將是空中樓閣。因此，在推動矩陣力學數(shù)學嚴格化的同時，玻恩始終不遺余力地致力于闡明其物理內涵，并不斷強調其與實驗的緊密聯(lián)系。這是他在矩陣力學發(fā)展中另一項核心貢獻。

玻恩最常引用的、也是最具說服力的矩陣力學成功案例，就是它對原子光譜的卓越解釋能力。他詳細闡述了矩陣力學如何能夠系統(tǒng)、自然地推導出原子能級公式（例如類氫原子光譜的精細結構），并計算光譜線的強度（即躍遷發(fā)生的概率），其結果與當時已知的高精度光譜實驗數(shù)據(jù)高度吻合。

玻恩反復向學界強調：矩陣力學絕非數(shù)學家書齋里的智力游戲，而是物理學家手中理解原子世界運行規(guī)律的有效且強大的工具。他通過具體案例展示了理論的預測和解釋能力。在哥廷根的課堂和講座中，玻恩總是耐心地、一步步地向學生和同行演示如何用矩陣力學計算具體的原子光譜問題，以此彰顯其堅實的物理實在性。

在矩陣力學框架下，“量子躍遷”不再是玻爾模型中人為附加的假設，而是理論本身自然推導出的核心過程。系統(tǒng)狀態(tài)的變化被理解為不同定態(tài)（能級）之間的躍遷。玻恩認同并闡釋了這種描述方式，認為它雖然放棄了經(jīng)典連續(xù)運動的圖像，卻有效地捕捉了量子過程內在的、本質的非連續(xù)性。

玻恩在哥廷根的組織和教學工作，也是矩陣力學得以迅速傳播和發(fā)展的關鍵。他開設的課程和研討班，成為傳播這一革命性理論的重要中心。玻恩以其清晰的物理圖像、深厚的數(shù)學功底和對新思想的開放態(tài)度，吸引并培養(yǎng)了眾多才華橫溢的年輕物理學家。沃爾夫岡·泡利（Wolfgang Pauli）、恩里科·費米（Enrico Fermi）、尤金·維格納（Eugene Wigner）、羅伯特·奧本海默（J. Robert Oppenheimer）等未來巨擘，都曾在哥廷根直接受到玻恩思想的深刻影響，透徹理解了矩陣力學的精髓。玻恩不僅構建了理論，更通過教育培養(yǎng)了一代量子力學的實踐者和開拓者，確保了矩陣力學思想的迅速傳播和量子力學整體的蓬勃發(fā)展。玻恩的學術領導力和教育貢獻，是其構建量子力學“骨架”工作中不可或缺的一部分。

Part.3

矩陣力學與波動力學的統(tǒng)一 —— 一枚硬幣的兩面

1926年初，埃爾溫·薛定諤（Erwin Schr?dinger）提出了另一種截然不同的量子理論表述 —— 波動力學。薛定諤方程以連續(xù)的波函數(shù)描述系統(tǒng)狀態(tài)，其數(shù)學形式接近經(jīng)典的波動理論，物理圖像相對直觀，迅速贏得了許多物理學家的青睞。一時間，矩陣力學與波動力學似乎形成了競爭態(tài)勢。

然而，薛定諤本人很快做出了一個關鍵貢獻：他在1926年的論文中，嚴格證明了矩陣力學與波動力學在數(shù)學上是完全等價的！這意味著，雖然兩者使用的數(shù)學語言迥異，切入點不同，但它們描述的是同一物理實在。如同一枚硬幣的兩面，物理學家可以根據(jù)具體問題的性質選擇更便捷的工具。

玻恩對這一劃時代的發(fā)現(xiàn)展現(xiàn)出了非凡的開放性和遠見卓識。他沒有固守自己參與創(chuàng)立的矩陣形式，而是熱情地擁抱了這種等價性，并深刻認識到其重大意義。玻恩指出，這種等價性表明量子力學已經(jīng)發(fā)展成為一個足夠豐富和堅實的理論框架，能夠容納不同的數(shù)學表述。玻恩的開放性態(tài)度極大地促進了學界的接受，并豐富了理論物理學的工具箱。

更重要的是，這種統(tǒng)一為玻恩自己的革命性思想“概率詮釋”的提出鋪平了道路，并最終由他完成了概念上的統(tǒng)一。就在薛定諤證明等價性后不久，玻恩在處理碰撞（散射）問題時，對波動力學中的波函數(shù)提出了一個大膽的詮釋：的量值代表了在空間中某點發(fā)現(xiàn)粒子的概率密度。這就是名垂青史的“玻恩概率詮釋”。這一詮釋的提出是玻恩獨立且原創(chuàng)性的偉大貢獻。

Part.4

結語

回望量子力學的創(chuàng)建歷程，馬克斯·玻恩在矩陣力學誕生與發(fā)展中的決定性作用，奠定了其作為量子理論主要奠基人的歷史地位。當海森堡帶來顛覆性的思想火花時，是玻恩以其深邃的物理洞察力和數(shù)學眼光，第一時間識別出其革命性價值，并精準地指明了其數(shù)學本質——矩陣。他不僅是慧眼識珠者，更是果斷的行動者與卓越的組織者，將模糊構想轉化為嚴謹理論。

玻恩在矩陣力學中的貢獻是全方位和奠基性的：他識別并引入矩陣代數(shù)作為核心工具；主導構建了理論的數(shù)學框架（公理化體系、運動方程）；發(fā)現(xiàn)并確立了揭示量子世界根本特征的非對易關系；不遺余力地闡釋理論物理意義，堅定捍衛(wèi)其與實驗的緊密聯(lián)系；并通過教學培養(yǎng)人才，推動理論傳播。

圖4 馬克斯·玻恩（Max Born）在哥廷根的墓碑上刻著正則交換關系（圖片來源：Wikipedia）

矩陣力學的成功建立，標志著量子力學從經(jīng)驗規(guī)則飛躍為系統(tǒng)理論。玻恩主導構建的這套以可觀測量為核心、以非對易代數(shù)為特征的數(shù)學“骨架”，為量子世界建立了普適的描述框架。它不僅直接解釋了原子光譜，更成為后續(xù)所有量子理論發(fā)展的基石——波動力學的等價性、概率詮釋的提出、不確定性原理乃至量子場論，無不建立在此基礎之上。沒有玻恩奠定的“骨架”，現(xiàn)代量子物理學的宏偉大廈就無從建立。

參考文獻:

[1] Born M, Heisenberg W, Jordan P. Zur quantenmechanik. II[J]. Zeitschrift für Physik, 1926, 35(8): 557-615.

[2] Heisenberg W. On the quantum-theoretical reinterpretation of kinematical and mechanical relationships[J]. Z. Physik, 1925, 33: 879-893.

[3] Born M, Jordan P. Zur quantenmechanik[J]. Zeitschrift für Physik, 1925, 34(1): 858-888.

[4] Schr?dinger E. Quantisierung als eigenwertproblem[J]. Annalen der physik, 1926, 385(13): 437-490.

[5] Born M. Born-Einstein Letters: Friendship, politics, and physics in uncertain times.(1971)[J].

[6] Rechenberg H. The historical development of quantum theory[M]. Springer Science & Business Media, 1982.

來源：中國科普博覽

編輯：東君

轉載內容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場

如需轉載請聯(lián)系原公眾號