薛定諤方程中的i曾令許多物理學(xué)家困惑，虛數(shù)有真實(shí)的物理意義嗎？i究竟是量子理論的必要組成部分，還是僅僅為了方便數(shù)學(xué)運(yùn)算？很早就有物理學(xué)家干脆拋棄i，構(gòu)建出實(shí)數(shù)量子力學(xué)，但并未獲得實(shí)驗(yàn)證實(shí)。然而，故事在2025年發(fā)生了變化。

撰文 | 一根弦

在物理學(xué)發(fā)展歷史中，量子力學(xué)的誕生具備里程碑式的意義。從物理思想上講，量子力學(xué)的出現(xiàn)打破了經(jīng)典物理中的“機(jī)械決定論”，刷新了人類對(duì)微觀世界的認(rèn)知觀念。從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看，量子力學(xué)的核心理論——薛定諤方程引入了不可消除的虛數(shù)。

那么問題來了：量子力學(xué)中對(duì)復(fù)數(shù)的引入僅僅是數(shù)學(xué)上的便利，還是物理學(xué)自身的需要呢？自從1926年薛定諤方程提出之日起，這個(gè)問題就一直在困擾著物理學(xué)家。

近些年，隨著人們對(duì)量子力學(xué)基礎(chǔ)及相關(guān)實(shí)驗(yàn)的討論不斷加深，這個(gè)老問題又重新引發(fā)了物理學(xué)家的濃厚興趣[1, 2]。

虛數(shù) VS 量子力學(xué)

虛數(shù)概念的引入出現(xiàn)在16世紀(jì)的意大利，文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家熱衷于尋找一元高次方程的通解（編者注：可參見《一次數(shù)學(xué)比賽，誕生了數(shù)學(xué)上至關(guān)重要的概念》）。1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（Girolamo Cardano，1501-1576）在《大術(shù)》（Ars magna）中提出了一個(gè)著名的問題：把10分成2個(gè)部分，它們的乘積等于40（即求解

1629年，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德（Albert Girard，1595－1632）斷言“n次多項(xiàng)式方程都有n個(gè)根”，包括負(fù)根和“不可解數(shù)”（虛數(shù)）。這就是今天代數(shù)基本定理的雛形。后來，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾（René Descartes，1596-1650）提出了相同的論斷，并在此基礎(chǔ)上正式引入了“虛數(shù)”這一術(shù)語。顧名思義，“虛數(shù)”意味著“想象中的數(shù)”。從取名中不難發(fā)現(xiàn)笛卡爾對(duì)虛數(shù)充滿著質(zhì)疑。

1777年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707－1783）在論文中首次引入了虛數(shù)符

（Carl Gau?，1777－1855）、哈密頓（William Hamilton，1805－1865）等數(shù)學(xué)家的不斷完善，復(fù)數(shù)理論逐漸形成了一整套完備的理論體系[3]。

圖1. 左圖：卡爾達(dá)諾，第一個(gè)正式提出虛數(shù)概念的數(shù)學(xué)家；中圖：笛卡爾，第一個(gè)給虛數(shù)命名的數(shù)學(xué)家；右圖：歐拉，第一個(gè)正式定義虛數(shù)的數(shù)學(xué)家。 圖源：維基百科

然而，直到量子力學(xué)出現(xiàn)，虛數(shù)都還停留在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并未真正進(jìn)入到物理學(xué)中。原因是：所有的可觀測(cè)量都必須是實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)沒有辦法被直接觀測(cè)到。

實(shí)際上，在經(jīng)典理論中很多場(chǎng)景使用到了復(fù)數(shù)（譬如，電動(dòng)力學(xué)中對(duì)電磁波的描述就使用了復(fù)數(shù)），但這些僅僅是為了數(shù)學(xué)上的簡(jiǎn)潔和計(jì)算上的便利。換句話說，在這些經(jīng)典理論中，復(fù)數(shù)的引入并非必須項(xiàng)——僅僅使用實(shí)數(shù)也完全夠用。楊振寧先生在《20世紀(jì)數(shù)學(xué)與物理的分與合》一文中如是說：“i在量子力學(xué)以前也出現(xiàn)過，可是不是基本的，只是一個(gè)工具。到了量子力學(xué)發(fā)展以后，它就不只是個(gè)工具，而是一個(gè)基本觀念了。為什么基礎(chǔ)物理學(xué)必須用這個(gè)抽象的數(shù)學(xué)觀念，虛數(shù)i，現(xiàn)在沒有人能解釋”[4]。

19266年，薛定諤（Erwin Schrodinger，1887－1961）提出了以他的名字命名的方程，方程中有個(gè)大大的虛數(shù)單位i。使用薛定諤方程計(jì)算得到氫原子光譜與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)高度吻合，薛定諤方程大獲成功，這份成功的喜悅令人們短暫地忘記了虛數(shù)這個(gè)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看上去“不太完美”的東西。

最早對(duì)虛數(shù)的引入產(chǎn)生質(zhì)疑的恰恰是薛定諤本人。在薛定諤方程提出的同年，在寫給洛倫茲的信中，薛定諤表達(dá)了自己的焦慮——“這里（指的是薛定諤方程）最令人不安的是復(fù)數(shù)的使用，從原理上講，波函數(shù)Ψ應(yīng)該是實(shí)函數(shù)”。薛定諤留下的大量手稿表明，他一直在尋找一個(gè)只有實(shí)數(shù)版本的波動(dòng)方程。

實(shí)數(shù)量子力學(xué)（Real Number Quantum Mechanics）是否真的可行呢？

早期研究回顧

眾所周知，一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的一個(gè)向量，包含一個(gè)實(shí)部和一個(gè)虛部。因此，構(gòu)建實(shí)數(shù)量子力學(xué)的樸素方法是：用兩個(gè)實(shí)數(shù)等價(jià)替換掉對(duì)應(yīng)的實(shí)部和虛部。

1934年，約爾當(dāng)（Pascual Jordan，1902－1980）、魏格納（Eugene Wigner，1902－1995）和馮·諾依曼（John von Neumann，1903－1957）利用代數(shù)的方法搭建起基于實(shí)數(shù)量子力學(xué)的基礎(chǔ)框架。之后，在60年代瑞士物理學(xué)家恩斯特·施蒂克爾貝格（Ernst Stueckelberg，1905－1984）將其進(jìn)一步發(fā)展：他成功地把d維的復(fù)數(shù)表示拓展到了2d維的實(shí)數(shù)表示，并發(fā)展了一套數(shù)學(xué)技巧，在實(shí)數(shù)域中實(shí)現(xiàn)了繞虛軸轉(zhuǎn)動(dòng)這樣看上去只能在復(fù)平面上的操作。

從形式上講，從基于復(fù)數(shù)的量子力學(xué)（為了加以區(qū)分，后文統(tǒng)稱“標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)”）變換到基于實(shí)數(shù)的量子力學(xué)（后文統(tǒng)稱為“實(shí)數(shù)量子力學(xué)”），只需要對(duì)密度矩陣和哈密頓量算符做如下變換：

實(shí)數(shù)域的。同理，標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)基于的四個(gè)假設(shè)可以非常自然地推廣到實(shí)數(shù)量子力學(xué)中。2008年和2009年，兩個(gè)研究團(tuán)隊(duì)通過計(jì)算經(jīng)典貝爾實(shí)驗(yàn)中貝爾不等式的最大違背數(shù)，證明了實(shí)數(shù)量子力學(xué)與標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)的等價(jià)性[5, 6]，使人們對(duì)實(shí)數(shù)量子力學(xué)又增加了一份信心。

那么，實(shí)數(shù)量子力學(xué)是否能在任何場(chǎng)景下都能和標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)保持一致？或者說，當(dāng)兩者不一致時(shí)，孰對(duì)孰錯(cuò)呢？

貝爾實(shí)驗(yàn)與實(shí)數(shù)量子力學(xué)的“死刑”

1935年，愛因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）、波多爾斯基（Boris Podolsky，1896－1966）和羅森（Nathan Rosen，1909-1995）提出了著名的EPR佯謬，向量子力學(xué)的完備性發(fā)起挑戰(zhàn)。1964年，貝爾（John Stewart Bell，1928－1990）基于玻姆（David Bohm，1917－1992）的隱變量理論，推導(dǎo)出了特定糾纏態(tài)上關(guān)聯(lián)測(cè)量滿足的基本不等式，被稱為貝爾不等式。1969年，克勞澤（John Clauser，1942－）、霍恩（Michael Horne，1943－2019）, 希莫尼（Abner Shimony，1928－2015）和霍爾特（Richard Holt，據(jù)說后來不搞物理了）四位物理學(xué)家給出了一個(gè)更便于在實(shí)驗(yàn)上檢驗(yàn)的版本——CHSH不等式（CHSH分別取自四位的姓氏），是貝爾不等式的特殊情況。

在傳統(tǒng)貝爾實(shí)驗(yàn)中，有兩位分別叫作Alice和Bob的觀測(cè)者（之所以取這個(gè)名字是因?yàn)閮扇说氖鬃帜阜謩e是A和B）。在Alice和Bob中間有一個(gè)EPR糾纏對(duì)，這個(gè)糾纏對(duì)由2個(gè)1/2-自旋粒子組成。這樣，Alice觀測(cè)的第一個(gè)粒子就存在兩種可能性——自旋向上或者向下（為了不失一般性，把Alice觀測(cè)的結(jié)果記作A和A’）。Bob觀測(cè)的第二個(gè)粒子同樣具備兩種可能性，把Bob觀測(cè)的結(jié)果記作B和B’。

圖2 傳統(tǒng)貝爾實(shí)驗(yàn)示意圖。圖源：參考文獻(xiàn)[7]

定義Alice觀測(cè)到A，同時(shí)Bob觀測(cè)到B的關(guān)聯(lián)函數(shù)E(A, B)；同理，可以定義E(A, B’), E(A’, B)和E(A’, B’)，并把這四個(gè)關(guān)聯(lián)函數(shù)組合成S：

S=E(A,B)+E(A,B')+E(A',B)-E(A',B')

由于在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中粒子極化率無法做到完美的100%，因此實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的S數(shù)值為2.697 ± 0.0515[8]。這一結(jié)果表明，經(jīng)典理論完全失效，量子力學(xué)大獲全勝。

貝爾不等式的驗(yàn)證（或者說貝爾不等式違背），徹底否定了局域隱變量的理論，直接揭示了量子力學(xué)的基本特征——量子非定域性（non-locality）[9]，這也是人類首次觸摸到了類空距離上的“鬼魅”長(zhǎng)程量子關(guān)聯(lián)。關(guān)于貝爾不等式的研究工作，在2022年被授予了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，前文中提到的克勞澤是獲獎(jiǎng)人之一（再一次印證了在得諾貝爾獎(jiǎng)這件事上，活得久是非常重要的）。

既然貝爾實(shí)驗(yàn)可以檢驗(yàn)經(jīng)典理論和量子理論的有效性，一個(gè)天然的想法是貝爾實(shí)驗(yàn)是否可以用來檢驗(yàn)實(shí)數(shù)量子力學(xué)的正確性？不過，實(shí)數(shù)量子力學(xué)理論給出了和標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)相同的CHSH上限值，換言之，傳統(tǒng)的貝爾實(shí)驗(yàn)無法用來檢測(cè)實(shí)數(shù)量子力學(xué)的正確性。

2021年，8位研究人員在《自然》雜志上發(fā)表了一篇論文[7]。這篇文章創(chuàng)新性地提出了一個(gè)思維實(shí)驗(yàn)，這個(gè)實(shí)驗(yàn)可以看作傳統(tǒng)貝爾實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)版。在這個(gè)思維實(shí)驗(yàn)中，使用2個(gè)EPR糾纏對(duì)和三名觀察者：Alice、Bob和Charlie。在Alice和Bob之間、Bob和Charlie之間各形成一個(gè)EPR糾纏對(duì)（見圖3）。在Bob這里會(huì)形成貝爾態(tài)，該貝爾態(tài)有四種可能性。

圖3 進(jìn)階版貝爾實(shí)驗(yàn)原理圖。圖源：參考文獻(xiàn)[11]

不久之后，兩支來自中國(guó)的科研團(tuán)隊(duì)實(shí)施了這套實(shí)驗(yàn)方案。南方科技大學(xué)范靖云團(tuán)隊(duì)利用光學(xué)的實(shí)驗(yàn)方法搭建了實(shí)驗(yàn)平臺(tái)[10]，結(jié)果顯示：糾纏光子之間的相關(guān)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了實(shí)數(shù)理論所允許的上限。這表明復(fù)數(shù)在描述量子態(tài)時(shí)是不可或缺的。而中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)則超導(dǎo)量子比特開展了此項(xiàng)實(shí)驗(yàn)[11]。實(shí)驗(yàn)測(cè)量出CHSH3值為8.09, 小于標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)

這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果就像他們論文標(biāo)題一樣醒目：Ruling out real-valued standard formalism of quantum theory（推翻量子力學(xué)的實(shí)數(shù)版本），實(shí)數(shù)量子力學(xué)被潘建偉和范靖云的兩個(gè)實(shí)驗(yàn)判了個(gè)“死刑”。

值得一提的是，這兩個(gè)來自中國(guó)的研究團(tuán)隊(duì)?wèi){借對(duì)實(shí)數(shù)量子力學(xué)的檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)，成功入選了2022年國(guó)際物理學(xué)領(lǐng)域十大進(jìn)展[12]。

就在人們以為實(shí)數(shù)量子力學(xué)將永無出頭之日時(shí)，事情在2025年發(fā)生了翻轉(zhuǎn)。

死刑？死緩？

這份轉(zhuǎn)機(jī)并非來自新實(shí)驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)或者原有實(shí)驗(yàn)被推翻，而是來源于研究人員發(fā)現(xiàn)：原

失誤，而是早期的實(shí)數(shù)量子力學(xué)理論本身確實(shí)存在一些問題。

2025年3月，5名德國(guó)研究人員（作者見圖6）在arXiv網(wǎng)站上掛出了一篇文章[13]，在文章后長(zhǎng)達(dá)15頁的附錄中，他們重構(gòu)了實(shí)數(shù)版量子力學(xué)并用重構(gòu)后的版本計(jì)算出了和標(biāo)準(zhǔn)量子

出一篇文章[14]，以另外一種方式重寫了實(shí)數(shù)版量子力學(xué)。

圖7 左圖為文獻(xiàn)[14]的第一作者Timothée Hoffreumon，右圖為文獻(xiàn)[14]的第二作者M(jìn)ischa Woods。圖源：參考文獻(xiàn)[1]

盡管兩篇論文數(shù)學(xué)出發(fā)點(diǎn)略有不同，但都同時(shí)注意到了早期實(shí)數(shù)量子力學(xué)框架的致命缺點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)滿足“表示局域性”的（representation-local），但原來的實(shí)數(shù)量子力學(xué)不具備這樣的性質(zhì)。

圖8 表示局域性示意圖。當(dāng)兩個(gè)沒有相互作用的體系中的一個(gè)體系受到影響或者發(fā)生變化時(shí)，另外一個(gè)體系如果不發(fā)生變化，那么這樣的理論描述就具備表示的局域性，反之則不具備。

何為“表示局域性”？以圖8為例：假設(shè)存在兩個(gè)完全獨(dú)立的量子系統(tǒng)，左右兩個(gè)系統(tǒng)分別處于為ρ量子態(tài)和σ量子態(tài)，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)可表示為ρ?σ。

當(dāng)左側(cè)體系發(fā)生變化時(shí)（比如一束激光打過來），左體系由量子態(tài)ρ變成量子態(tài)ρ'，其數(shù)學(xué)表示為ρ'=h(ρ)。由于左右兩個(gè)體系之間不存在相互作用，因此右體系仍處于σ量子態(tài)，此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)可表示為ρ'?σ=h(ρ)?σ。如果一個(gè)理論滿足此性質(zhì)，那么這樣的理論描述就具備表示局域性。標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)可做到這一點(diǎn)，但早期的實(shí)數(shù)量子力學(xué)就無法做到——在早期實(shí)數(shù)量子力學(xué)框架中，由于直接套用了標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)中的張量積規(guī)則定義，導(dǎo)致在描述這樣的系統(tǒng)時(shí)，必須使用h'(ρ?σ) 才能描述變化后的體系。也就是說，都是張量積運(yùn)算?使得實(shí)數(shù)量子力學(xué)出現(xiàn)了表示不定域的現(xiàn)象。正是這個(gè)原因?qū)е铝嗽谶M(jìn)階版的貝爾實(shí)驗(yàn)中，實(shí)數(shù)量子力學(xué)給出了與標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)不一致的計(jì)算結(jié)果。

為了解決這個(gè)問題，兩個(gè)研究團(tuán)隊(duì)都在實(shí)數(shù)域中對(duì)標(biāo)準(zhǔn)張量積（Tensor Product）進(jìn)行改寫，最終有效地解決實(shí)數(shù)量子力學(xué)的表示局域性問題。張量積的改寫過程涉及較為深?yuàn)W的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們打個(gè)比方來試圖理解整個(gè)過程：在平直空間內(nèi)，直角三角形的三條邊長(zhǎng)遵循勾股定理，即a^2+b^2=c^2，但是這樣的規(guī)律在非平直空間中完全失效（非歐幾何）。換句話說，勾股定理只是直角三角形在平直空間的一種特殊情況而已。

張量積的本質(zhì)是矢量組合的運(yùn)算規(guī)則，張量積的運(yùn)算規(guī)則可以保證復(fù)數(shù)域內(nèi)量子力學(xué)的表示局域性，但不能保證其在其他數(shù)域（比如實(shí)數(shù)域）的表示局域性，就像勾股定理雖然在平直空間有效，但在非歐空間中失效一樣。要保證其他數(shù)域下表示局域性就不能生搬硬套張量積在復(fù)數(shù)域中運(yùn)算法則，而是需要找到通用的矢量組合規(guī)則。因此，來自德國(guó)和法國(guó)的兩個(gè)科研團(tuán)隊(duì)分別在實(shí)數(shù)域內(nèi)創(chuàng)造出了不同的矢量-矢量組合規(guī)則，重新構(gòu)建了實(shí)數(shù)值量子理論。這些理論能夠滿足表示局域性，并且給出了與標(biāo)準(zhǔn)量子理論完全相同的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖9 文獻(xiàn)[13]的最后，通過重新構(gòu)建的實(shí)數(shù)量子力學(xué)計(jì)算出了進(jìn)階版貝爾實(shí)驗(yàn)的CHSH3上限值為62，與標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)計(jì)算得到的結(jié)果完全一致。

圖10 多體實(shí)數(shù)量子力學(xué)與多體標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)的對(duì)應(yīng)映射關(guān)系圖

順便說一句，文獻(xiàn)[13]深入討論了當(dāng)多體量子理論從復(fù)數(shù)變化到實(shí)數(shù)時(shí)，維度增多了——原來的d維空間變成了2d維空間。多出來的維度可通過U(1)全局對(duì)稱性消除掉。因此，多體實(shí)數(shù)域的希爾伯特空間的商空間和標(biāo)準(zhǔn)復(fù)數(shù)域的希爾伯特空間是完全同構(gòu)的。

結(jié)語

2025年出現(xiàn)在arXiv上的兩篇論文修正了原本實(shí)數(shù)量子力學(xué)理論框架的問題，并給出和標(biāo)準(zhǔn)

經(jīng)過此番修正，實(shí)數(shù)量子力學(xué)是否在任何情況下都可以達(dá)到與標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)完全一致的計(jì)算結(jié)果？是否存在更進(jìn)階版本的貝爾實(shí)驗(yàn)（比如實(shí)驗(yàn)中引入3個(gè)或者更多的EPR糾纏對(duì)）來否認(rèn)當(dāng)前的實(shí)數(shù)量子力學(xué)理論體系呢？換句話說，這樣的修正是否只是一次小修小補(bǔ)，當(dāng)前的理論體系仍舊存在著巨大的bug？

或者，一種更加形而上學(xué)的觀點(diǎn)是：即便人類找到了與標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)完全等價(jià)的實(shí)數(shù)版本的量子力學(xué)，發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)版本的量子力學(xué)更加簡(jiǎn)明扼要，最后仍舊免不了要以復(fù)數(shù)版本的量子力學(xué)為準(zhǔn)，那么對(duì)實(shí)數(shù)量子力學(xué)的探索和尋找是不是本身就是徒勞的呢？對(duì)量子力學(xué)基礎(chǔ)的探索路途仍然遙遠(yuǎn)，讓我們拭目以待吧。

參考文獻(xiàn)

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[12] 美國(guó)物理學(xué)會(huì)（APS）旗下的Physics網(wǎng)站公布評(píng)選出的2022年物理領(lǐng)域十項(xiàng)重大進(jìn)展：https://physics.aps.org/articles/v15/197

[13] P.B. Hita et al, Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description, arXiv:2503.17307(2025)

[14] T. Hoffreumon, M. P. Woods, Quantum theory does not need complex numbers, arXiv:2504.02808(2025)

作者簡(jiǎn)介

一根弦，中關(guān)村文理學(xué)院非優(yōu)秀畢業(yè)生。博士期間主業(yè)發(fā)展原子核集體激發(fā)態(tài)理論，副業(yè)打聽八卦新聞。因帝都房?jī)r(jià)高企加上錯(cuò)信IT高薪傳聞，誤入碼農(nóng)行列，逃離北京來到卷都杭州。除全職工作外，分別在知乎以“一根弦”和在B站以“一根弦肥二”的網(wǎng)名挖掘和寫作物理學(xué)家，并以此為樂。

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