ENTROPY AS A TOPOLOGICAL OPERAD DERIVATION

作為拓?fù)溥\(yùn)算導(dǎo)數(shù)的熵

https://arxiv.org/pdf/2107.09581

摘要

我們揭示了信息論、代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)之間一個(gè)微小的聯(lián)系——即香農(nóng)熵與拓?fù)鋯涡蜲perad的導(dǎo)子之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。本文首先簡要回顧Operad及其表示的基本概念，并以拓?fù)鋯涡魏蛯?shí)數(shù)軸為主要示例。接著，我們?cè)诜懂犝摽蚣芟陆o出了Operad導(dǎo)子的一般性定義，該導(dǎo)子以O(shè)perad上的阿貝爾雙模為取值。主要結(jié)論表明：香農(nóng)熵定義了拓?fù)鋯涡蜲perad的一個(gè)導(dǎo)子，并且該Operad的每一個(gè)導(dǎo)子都存在某一點(diǎn)，在該點(diǎn)上它由香農(nóng)熵的常數(shù)倍給出。我們證明這一結(jié)論與Faddeev于1956年提出的著名熵刻畫定理以及Leinster近期提出的變體形式相容，且本質(zhì)上高度依賴于這些結(jié)果。

1. 引言
在本文中，我們闡述信息論、代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)之間一個(gè)簡潔的聯(lián)系。為引出核心思想，考慮函數(shù) d : [ 0 , 1 ] → R ，其定義為：

盡管 d 不是線性的，但這可能會(huì)促使人們思考：在何種設(shè)定下香農(nóng)熵本身能成為一個(gè)導(dǎo)子？下面我們將通過展示香農(nóng)熵與拓?fù)鋯涡蜲perad的導(dǎo)子之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來描述這樣一個(gè)設(shè)定。

1.1 研究動(dòng)機(jī).近期研究表明，信息論與代數(shù)拓?fù)涞慕粎R處是一片沃土。2015年，Baudot和Bennequin在[BB15]中引入了信息上同調(diào)的工具，他們構(gòu)造了一個(gè)特定的上鏈復(fù)形，其中熵代表1次中的唯一上圈。同年，Elbaz-Vincent和Gangl從代數(shù)的角度研究熵，并指出所謂的1次信息函數(shù)"行為非常類似于某些導(dǎo)子"[EVG15]。再往前推幾年，2011年，Baez、Fritz和Leinster在[BFL11]中給出了熵的一個(gè)范疇論刻畫，該成果近期由Parzygnat在[Par20]中推廣到了量子領(lǐng)域。在準(zhǔn)備2011年那項(xiàng)成果時(shí)，Baez在非正式文章[Bae11]中評(píng)論說，在某種Operad語境下，熵的行為似乎類似于一個(gè)導(dǎo)子——我們將在下文中驗(yàn)證并明確闡述這一觀察結(jié)果。上同調(diào)的思想在Mainiero近期的工作中也有所探索，他發(fā)現(xiàn)熵出現(xiàn)在與量子態(tài)相關(guān)的特定上鏈復(fù)形的歐拉示性數(shù)中[Mai19]。綜上所述，人們會(huì)感覺到熵的行為在某種程度上類似于"某個(gè)量的微分"，其中涉及一個(gè)類似（上）邊界算子的 d d。本文也遵循這一思路。值得注意的是，一旦幾個(gè)簡單的定義準(zhǔn)備就緒，相關(guān)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)就變得相當(dāng)直接。即便如此，我們?nèi)哉J(rèn)為這一聯(lián)系值得分享，哪怕僅僅是為了讓人們得以窺見熵的另一個(gè)代數(shù)和拓?fù)涿嫦颉?/p>

這個(gè)等式（等式(2)）暗示了熵可能是一個(gè)導(dǎo)子，盡管其右側(cè)第一項(xiàng)中明顯缺少一個(gè)“ q ”。作為進(jìn)一步的引子，Baez在非正式文章[Bae11]中探討了等式(2)的一種代數(shù)解釋，文中提醒讀者，香農(nóng)熵是概率分布配分函數(shù)關(guān)于玻爾茲曼常數(shù)（視為形式參數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。在該文中，等式(2)通過短短幾行推導(dǎo)便由此計(jì)算得出。這促使人們?nèi)ふ乙粋€(gè)Operad導(dǎo)子的一般框架，使得等式(2)成為其中的一個(gè)實(shí)例。這正是我們下面要闡述的內(nèi)容。

第3章回顧了Operad及其表示的定義。我們將重溫拓?fù)鋯涡蔚募先绾稳鏪Lei21]那樣具備Operad結(jié)構(gòu)，以及實(shí)數(shù)集 R 如何導(dǎo)出它的一個(gè)表示。在第4章中，我們定義了任意Operad O 上的阿貝爾雙模 M ，以及取值于 M M的 O 的導(dǎo)子的概念。在這些定義的基礎(chǔ)上，等式(2)將在命題1中得到推廣，而主要結(jié)論也將隨之迅速得出。

定理.香農(nóng)熵定義了拓?fù)鋯涡蜲perad的一個(gè)導(dǎo)子，并且該Operad的每一個(gè)導(dǎo)子都存在某一點(diǎn)，在該點(diǎn)上它由香農(nóng)熵的常數(shù)倍給出。

3. 背景：Operad 及其表示

一般來說，將一個(gè) m 元運(yùn)算與一個(gè) n n元運(yùn)算進(jìn)行復(fù)合有 n n種方式，且復(fù)合后的運(yùn)算的元數(shù)總是 m + n ? 1 。這種復(fù)合還應(yīng)滿足一些合理的結(jié)合律和單位元公理。所有這樣的運(yùn)算及其復(fù)合方式構(gòu)成的集合就稱為一個(gè) operad。這個(gè)概念起源于范疇論 [Lam69]，并已在代數(shù)拓?fù)浜屯瑐愓撝械玫綇V泛應(yīng)用 [May72, BV73, LV12, Val12, Sta04]，同時(shí)在物理學(xué)中也有應(yīng)用 [Mar96, MSS02]。Operad 可以在任何對(duì)稱幺半范疇中定義。為便于下文闡述，我們假設(shè)所有范疇 C 都是具體的（即每個(gè)對(duì)象都有其底層的集合），這樣我們就可以引用給定 C 中對(duì)象的元素。實(shí)際上，我們心中需要牢記的主要例子是拓?fù)淇臻g范疇。

盡管定義形式看起來有些繁瑣，但其概念本身是簡單的。例如，圖 2 展示了第 (i) 項(xiàng)中列出的結(jié)合律要求。

這種同時(shí)復(fù)合的過程由圖 3 右側(cè)的樹形圖說明。正如群通過考慮其表示而變得生動(dòng)具體，當(dāng)每個(gè)抽象的 n n元運(yùn)算被映射到某個(gè)特定對(duì)象上的具體 n n元運(yùn)算時(shí)，Operad 也同樣變得鮮活起來。這種指派傳統(tǒng)上被稱為 Operad 的代數(shù)，但我們更傾向于使用更具描述性的名稱：表示。

定義 2.設(shè) O 是在集合范疇中的 Operad。 O 的一個(gè)表示，或稱為 O -表示，是一個(gè)集合 X 連同函數(shù)

4. 單形 Operad 的導(dǎo)子

有了這些基本定義，當(dāng)前的目標(biāo)是定義一個(gè)從拓?fù)?Operad Δ Δ出發(fā)的映射 d d，它滿足萊布尼茨法則的適當(dāng)版本，

等式 (4) 中展示的結(jié)合律要求——以及其背后的直觀——與圖 2 所示的定義 operad 的結(jié)合律要求完全類似。這里唯一的區(qū)別在于，三個(gè)運(yùn)算中可能有一個(gè)來自雙模而非 operad 本身。以下是我們需要牢記的主要例子。

作為結(jié)語，定理 1 中 Faddeev 對(duì)熵的刻畫可以像 [Lei21]（定理 12.3.1）那樣，用范疇論和 Operad 的語言重新表述。我們?cè)诖寺匀チ诉@部分語言，但誠邀讀者在 Leinster 著作的第 12 章中探索完整的范疇論故事。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2107.09581