印度5-12世紀數(shù)學

公元5-12世紀是印度數(shù)學發(fā)展的高峰時期。這時歐洲還處在中世紀黑暗時期，數(shù)學停滯、衰退。但是在這一時期，印度先后出現(xiàn)了一批有名的數(shù)學家：阿耶波多(約476-550)，波羅摩笈多(598-665)，摩河毗羅(約公元9世紀），婆什迦羅(1114-1185)等。他們博采廣聞，著書立說，為世界數(shù)學作出了貢獻，也為印度在世界數(shù)學史上掙得了一席之地。

這一時期，印度數(shù)學的成就是多方面的。其中對世界數(shù)學發(fā)展影響較大的主要有兩個方面：一是它最先制定了現(xiàn)在世界上通用的數(shù)碼及計數(shù)制度，并在此基礎上形成一整套計算技術；另一方面，印度建立了使用分數(shù)、無理數(shù)以及負數(shù)的代數(shù)學，并給出了二次方程的一般解法。現(xiàn)在國際通用的"阿拉伯數(shù)字"："1、2、3、……、9、0"其實是印度人對數(shù)學和整個人類文化進步作出的重要貢獻。印度人最初用梵文的字頭表示數(shù)碼，而且各地的寫法并不完全相同。經(jīng)過上千年的演變，形成了今天的寫法。阿拉伯人把這些數(shù)字推廣到了西方，所以我們今天稱它為"阿拉伯數(shù)字"。其中記號"0"的發(fā)明具有關鍵性的意義。有了零號，才有了完整的位置制記數(shù)法，這樣就使計算變得非常方便。

關于零的計算，摩河毗羅說一數(shù)乘以零得零，并說減去零并不使一數(shù)變小，但他又說一數(shù)除以零后不變?？梢姰敃r零的概念還比較模糊。到了婆什迦羅所處的時期，他已了解零的含義，他說一數(shù)除以零稱為無窮量。

印度人用整數(shù)之比來表示分數(shù)，但還沒有用橫線。例如他們把3/4寫成。至于天文上的分數(shù)，他們用六十進制記法。

印度人還用負數(shù)表示欠債，用正數(shù)表示財產(chǎn)數(shù)。最早使用負數(shù)的是波羅摩笈多。他提出了負數(shù)的四種運算，并且指出正數(shù)的平方根有兩個，一正一負。他也提到負數(shù)的平方根的問題，但他說負數(shù)沒有平方根，因為負數(shù)不能是平方數(shù)。

印度人在算術上正視了無理數(shù)問題，開始按正確的方法來運算這些數(shù)。婆什迦羅給出了兩個無理數(shù)相加的法則："較大的無理數(shù)除以較小的，所得之商開方，再加1，和數(shù)取平方，然后乘以較小的無理數(shù)，其根即為兩無理數(shù)之和。"舉例來說，就是印度人不象希臘人那么細致，他們沒有看出無理數(shù)概念所牽涉到的邏輯難點；他們對計算的興趣使他們忽視了哲學上的區(qū)別以及希臘人認為屬于基本原理上的差別；他們很隨意地把適用于有理數(shù)的運算步驟原樣照搬到無理數(shù)上去，不過這在客觀上豐富了數(shù)學的內(nèi)容。

印度人在處理代數(shù)學的問題和解答時，采用了一些縮寫文字和記號來描述運算。他們不用加法記號；被減數(shù)上面加個點表示減法；其他運算主要用文字或縮寫表。當有一個以上的未知量時，他們用顏色的名稱來表示。例如第一個叫未知量，其他的就叫黑的、藍的、黃的等等。這些記號雖然不多，但是已經(jīng)使印度代數(shù)初具符號代數(shù)的性質(zhì)。

印度人找到了二次方程的一般解法，這也是一項很重要的工作。他們把二次方程歸結(jié)為ax↑2＋bx＝c某些系數(shù)可以是負數(shù)。波羅摩笈多給出的求根法則是："把常數(shù)項放在未知數(shù)的平方項和一次項的另外一邊，將常數(shù)項乘以平方項［的系數(shù)］的四倍，加上一次項［的系數(shù)］的平方，所得的結(jié)果的平方根減去一次項［的系數(shù)］，再除以平方項［的系數(shù)］的二倍，就是一次項的值。"用現(xiàn)代數(shù)學符號表示就是：印度人已認識到二次方程有兩個根，而且包括負根和無理根。但是由于不承認負數(shù)有平方根，所以他們不能解所有的二次方程。

印度人在幾何方面沒有什么出色的進展，但在三角術方面作了一些工作。他們計算了半弦弦長，波羅摩笈多還利用內(nèi)插公式編造了R＝15的正弦表。

印度人注重數(shù)學的算術和計算方面，并且在這方面作出了貢獻。他們在許多商業(yè)問題上應用代數(shù)：算利息、折扣、合股分紅、財產(chǎn)劃分等。但是他們不太重視演繹結(jié)構(gòu)。因此他們有許多好方法和計算技巧，卻從不考慮證明；他們有計算法則，但是從來不關心這些法則在邏輯上是否合理。

到1200年左右，印度科學活動衰落了，數(shù)學上的進展也停止了。