多年前，一位敢于冒險(xiǎn)的菲爾茲獎(jiǎng)得主馬克西姆·孔采維奇提出了一個(gè)廣泛的計(jì)劃——同調(diào)鏡像對稱，他聲稱可以用來解決代數(shù)幾何中的一個(gè)重大問題。但也有其他數(shù)學(xué)家持懷疑態(tài)度?，F(xiàn)在，他說已得到一個(gè)證明。

撰文 | Joseph Howlett

翻譯 | zzllrr小樂

圖源：Kristina Armitage / Quanta Magazine

今年8月，一個(gè)數(shù)學(xué)家團(tuán)隊(duì)發(fā)表了一篇論文，聲稱用完全陌生的技術(shù)解決了代數(shù)幾何中的一個(gè)重大問題。它立刻吸引了整個(gè)領(lǐng)域的注意，一些數(shù)學(xué)家對此頗為興奮，但也有人持懷疑態(tài)度。

這項(xiàng)研究結(jié)果涉及多項(xiàng)式方程，即含有變量冪次組合的方程（如 y = x 或 x^2 ? 3xy = z^2）。這類方程是數(shù)學(xué)中最簡單且最普遍的，至今仍是許多研究領(lǐng)域的基礎(chǔ)。因此，數(shù)學(xué)家希望研究它們的解，而這些解可以用幾何形狀表示，比如曲線、曲面和被稱為流形（manifold）的高維對象。

數(shù)學(xué)家想要馴服的多項(xiàng)式方程類型有無數(shù)種。但它們都可以歸入兩大類——一類的解可以通過簡單公式直接計(jì)算，另一類則擁有更為豐富、復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。第二類正是數(shù)學(xué)精華所在——數(shù)學(xué)家希望集中注意力，以期取得重大進(jìn)展。

然而，數(shù)學(xué)家們在將幾種多項(xiàng)式分類到“簡單”和“困難”之后，陷入了困境。在過去半個(gè)世紀(jì)里，即使是看起來相對簡單的多項(xiàng)式也難以分類。

就在今年夏天，新的證明出現(xiàn)了[1]。它聲稱結(jié)束了僵局，提出了一個(gè)令人著迷的愿景，有望對大量此前看似完全無法觸及的多項(xiàng)式進(jìn)行分類。

問題在于，代數(shù)幾何界沒有人真正理解它。至少，現(xiàn)在還沒有。該證明依賴于從弦理論世界引入的思想，其技術(shù)對致力于多項(xiàng)式分類的數(shù)學(xué)家來說完全陌生。

一些研究者信任論文作者之一、菲爾茲獎(jiǎng)得主馬克西姆·孔采維奇（Maxim Kontsevich，又譯馬克西姆·康采維奇）的聲譽(yù)。但孔采維奇以大膽斷言著稱，這讓另一些人感到猶豫。世界各地的數(shù)學(xué)系紛紛成立研讀小組，解讀這一開創(chuàng)性的成果，并緩解了緊張氣氛。

這項(xiàng)評審可能需要數(shù)年時(shí)間。但這也為一個(gè)曾經(jīng)停滯的研究領(lǐng)域重新燃起了希望。同時(shí)，這也標(biāo)志著孔采維奇數(shù)十年來倡導(dǎo)的更宏大的數(shù)學(xué)項(xiàng)目取得了早期勝利——他希望該項(xiàng)目能搭建代數(shù)、幾何與物理之間的橋梁。

米蘭大學(xué)數(shù)學(xué)家保羅·斯特拉里（Paolo Stellari，他未參與該工作）表示：“普遍的看法是，我們可能正在研究未來的數(shù)學(xué)作品。”

有理化處理

分類所有多項(xiàng)式的努力涉及最古老的數(shù)學(xué)形式：求解方程。例如，要求解簡單多項(xiàng)式 y = 2x，只需找到滿足該方程的 x 和 y 的值。該方程有無限多解，例如 x = 1，y = 2。當(dāng)你在坐標(biāo)平面上繪制所有解時(shí)，會得到一條直線。

其他多項(xiàng)式更難直接求解，其解會在空間刻畫出中更復(fù)雜、更高維的形狀。

但對于其中一些方程，實(shí)際上存在一種非常簡單的方法來找到所有可能的解。你不必分別給每個(gè)變量代入不同的數(shù)字，而是通過用新變量 t 來重寫變量，一次性得到所有解。

考慮多項(xiàng)式 x^2 + y^2 = 1，它定義了一個(gè)圓?，F(xiàn)在令 x = 2t/(1 + t^2)，y =(1 ? t^2)/(1 + t^2)。當(dāng)你把這些新公式代入原來的方程時(shí)，得到 1 = 1，無論 t 是多少，這一命題都始終成立。這意味著選擇任意實(shí)數(shù)值，你就能立即得到原始多項(xiàng)式的解。例如，當(dāng) t = 1 時(shí)，得到 x = 2×1/(1 + 1^2） = 1，y = 0。 確實(shí)，x = 1， y = 0 是原始方程的解：1^2 + 0^2 = 1。

這種簡單地框住所有解的方法稱為有理參數(shù)化（rational parameterization）。它相當(dāng)于將你原始多項(xiàng)式圖上的每個(gè)點(diǎn)——在這里是圓——映射到直線上的唯一一點(diǎn)。

選擇圓上的一個(gè)點(diǎn)（藍(lán)色）。你要把它映射到黃色直線上的唯一一點(diǎn)。為此，在圓頂?shù)木G色點(diǎn)和你選定的藍(lán)色點(diǎn)之間畫一條虛線，然后將藍(lán)色點(diǎn)映射到虛線經(jīng)過的黃色點(diǎn)。你可以對圓上的任意一點(diǎn)這樣做。（圓頂?shù)木G色點(diǎn)映射到無窮遠(yuǎn)處的一個(gè)特殊黃色點(diǎn)。）丨圖源：Mark Belan / Quanta Magazine

任何次數(shù)為1的多項(xiàng)式方程，也就是各項(xiàng)冪次最多為1，都可以這樣參數(shù)化。方程有多少變量其實(shí)無關(guān)緊要：它可能有兩個(gè)變量，也可能有200個(gè)。一旦超過兩個(gè)變量，多項(xiàng)式方程的解將形成復(fù)雜的高維形狀。但由于多項(xiàng)式仍然可以參數(shù)化，所以有辦法將高維形狀中的每個(gè)點(diǎn)映射到一個(gè)維數(shù)相同、卻特別簡單的空間點(diǎn)（比如直線）。這反過來又提供了一種直接計(jì)算多項(xiàng)式解的方法。

類似地，任何次數(shù)為2的多項(xiàng)式（各項(xiàng)冪次最高為2）都可以有理參數(shù)化。

但如果方程的次數(shù)是3或更多，則不一定能被參數(shù)化。這取決于方程中有多少變量。

以典型的三次多項(xiàng)式為例：橢圓曲線，例如y^2=x^3+1，只有兩個(gè)變量?！皺E圓曲線很美妙，很精彩，但你根本無法參數(shù)化它們，”布朗大學(xué)的布倫丹·哈塞特（Brendan Hassett）說。沒有簡單的公式能給出橢圓曲線的所有解，所以無法將曲線映射到直線?！叭绻梢缘脑?，它們就沒那么有趣了，”哈塞特說。

與之前的例子不同，虛線有時(shí)會將橢圓曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)（藍(lán)色）映射到下面黃色線上的同一點(diǎn)。你找不到能避免這種情況的映射，這意味著橢圓曲線的解集比圓或球面更復(fù)雜。

取而代之的是，橢圓曲線的解擁有更豐富的結(jié)構(gòu)——這個(gè)結(jié)構(gòu)幾個(gè)世紀(jì)以來都在數(shù)論中起到重要作用，密碼學(xué)家也利用它來編碼秘密信息。

那么，含有更多變量的三次方程呢？它們是否可以參數(shù)化，還是說它們的解結(jié)構(gòu)更有趣，就像橢圓曲線那樣？

1866年，德國數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德·克萊布施（Alfred Clebsch）證明了三變量的三次方程——其解形成二維曲面——通常是可參數(shù)化的。

一個(gè)多世紀(jì)后，赫伯特·克萊門斯（Herbert Clemens）和菲利普·格里菲斯（Phillip Griffiths）發(fā)表了一項(xiàng)里程碑式的證明，證明大多數(shù)四變量的三次方程情況相反——通常無法參數(shù)化。這些方程構(gòu)成了所謂的三維流形（3-folds）[2]：它們的解無法映射到簡單的三維空間。

許多數(shù)學(xué)家因此猜測，下一個(gè)要分類的多項(xiàng)式——五變量的三次方程【形成所謂四維流形】——通常也不會是可參數(shù)化的。事實(shí)上，他們認(rèn)為多項(xiàng)式在某個(gè)點(diǎn)之后就不應(yīng)該是可參數(shù)化的。但克萊門斯和格里菲斯的技術(shù)并不適合四維流形。

因此，幾十年來，分類工作陷入沉寂。

皈依先知

2019年夏天，在莫斯科的一次會議上，當(dāng)馬克西姆·孔采維奇發(fā)表關(guān)于4-流形分類的演講時(shí)，許多數(shù)學(xué)家都感到驚訝。

首先，孔采維奇以采用高層次數(shù)學(xué)方法著稱，喜歡提出雄心勃勃的猜想、勾勒宏大的研究綱領(lǐng)，而將更細(xì)微的細(xì)節(jié)和嚴(yán)格的證明寫作留給他人。他在最近的一個(gè)項(xiàng)目中，形容自己是介于先知和白日夢者之間的角色。

馬克西姆·孔采維奇更喜歡思考宏觀的數(shù)學(xué)視野而非個(gè)別問題。丨圖源：IHES / Flann Me?rer

在過去三十年里，他專注于發(fā)展一種名為同調(diào)鏡像對稱（homological mirror symmetry）的項(xiàng)目，其思想根源來自弦理論。在1980年代，弦理論學(xué)者希望通過計(jì)算高維流形上的曲線數(shù)量，以解答宇宙基本結(jié)構(gòu)如何運(yùn)作的問題。

為了針對給定流形上的曲線計(jì)數(shù)，他們考慮了其“鏡像”——另一個(gè)流形，雖然與原始流形非常不同，但性質(zhì)上具有密切相關(guān)性。特別是，他們發(fā)現(xiàn)與鏡像相關(guān)聯(lián)的代數(shù)對象，稱為霍奇結(jié)構(gòu)（Hodge structure），可以揭示原始流形上的曲線數(shù)量。反過來也成立：如果你數(shù)鏡像上的曲線，你會得到原始流形霍奇結(jié)構(gòu)的信息。

1994年，孔采維奇提出了一個(gè)計(jì)劃，試圖解釋這種對應(yīng)的根本原因。他的方案還預(yù)測，這種對應(yīng)關(guān)系可以擴(kuò)展到弦理論之外所有類型的流形。

迄今為止，沒有人知道如何證明孔采維奇的鏡像對稱性計(jì)劃?！斑@將是下世紀(jì)的數(shù)學(xué)，”他說。但多年來，他一直在向前邁進(jìn)，同時(shí)也在探索該項(xiàng)目可能帶來的后果。

2002年，孔采維奇的一個(gè)朋友，邁阿密大學(xué)的盧德米爾·卡察爾科夫（Ludmil Katzarkov）提出了一個(gè)可能的結(jié)果：該計(jì)劃可能與多項(xiàng)式方程的分類相關(guān)。

卡察爾科夫十分熟悉克萊門斯和格里菲斯1972年對3-流形不可參數(shù)化的證明。在這項(xiàng)工作中，兩人直接研究了一個(gè)給定的3-流形的霍奇結(jié)構(gòu)。然后他們用它證明了這個(gè)3-流形無法映射到簡單的三維空間。但與4-流形相關(guān)的霍奇結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜，無法用相同的工具進(jìn)行分析。

卡察爾科夫的想法是，通過計(jì)算某一類型曲線在其鏡像上存在多少條曲線，間接地研究4-流形的霍奇結(jié)構(gòu)。通常，研究4-流形霍奇結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)家不會像這樣思考曲線計(jì)數(shù)，因?yàn)樗鼈冎粫霈F(xiàn)在看似無關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，比如弦理論。但如果鏡像對稱性計(jì)劃成立，那么鏡像上的曲線數(shù)量應(yīng)當(dāng)能揭示原始4-流形霍奇結(jié)構(gòu)的特征。

盧德米爾·卡察爾科夫幾十年來一直主張，鏡像對稱這一受物理學(xué)啟發(fā)的雄心勃勃的數(shù)學(xué)計(jì)劃，是解決代數(shù)幾何中一個(gè)重大未解問題的關(guān)鍵。丨圖源：Natalia Leal

具體而言，卡察爾科夫希望將鏡像的曲線計(jì)數(shù)拆解成多個(gè)部分，然后借助鏡像對稱計(jì)劃，證明四折體的霍奇結(jié)構(gòu)也存在一種相應(yīng)的分解方式。這樣一來，他就可以研究這些“局部”的霍奇結(jié)構(gòu)成分，而非整個(gè)結(jié)構(gòu)，從而證明4-流形結(jié)構(gòu)無法參數(shù)化。只要其中任何一部門無法映射到簡單的四維空間，他就會得到證明。

但這種推理依賴于孔采維奇鏡像對稱計(jì)劃在4-流形成立的假設(shè)?？ú鞝柨品蛘f：“很明顯這應(yīng)該是真的，但我沒有技術(shù)能力去看清如何實(shí)現(xiàn)。”

不過他認(rèn)識一個(gè)確實(shí)有這種能力的人——孔采維奇本人。

然而他的朋友并不感興趣。

挖掘

多年來，卡察爾科夫試圖說服孔采維奇將他的鏡像對稱性研究應(yīng)用于多項(xiàng)式分類，但未能成功?？撞删S奇想關(guān)注整個(gè)項(xiàng)目，而非這個(gè)具體的問題。直到 2018年，這對組合與賓夕法尼亞大學(xué)的托尼·潘德夫（Tony Pantev）一起，研究了另一個(gè)問題，涉及將霍奇結(jié)構(gòu)和曲線計(jì)數(shù)拆解成多個(gè)部分。這讓孔采維奇愿意傾聽卡察爾科夫的設(shè)想。

卡察爾科夫再次向他講述了自己的想法?？撞删S奇立刻發(fā)現(xiàn)了卡察爾科夫長期尋求卻未找到的另一條道路：一種從鏡像對稱中汲取靈感的方法，而不必真正依賴它。“你花了多年時(shí)間思考這個(gè)問題，答案卻在幾秒鐘內(nèi)出現(xiàn)，”卡察爾科夫說?！澳钦媸莻€(gè)壯觀的時(shí)刻?！?/p>

托尼·潘德夫通過將流形置于“數(shù)學(xué)鏡子”前來研究它們的結(jié)構(gòu)。丨圖源：Felice Macera

孔采維奇認(rèn)為，應(yīng)該可以用4-流形自身的曲線計(jì)數(shù)，而不是其鏡像的計(jì)數(shù)來拆解霍奇結(jié)構(gòu)。關(guān)鍵在于找出一種方式，將這兩者聯(lián)系起來，從而得到所需的分解成分。這樣他們就能分別關(guān)注霍奇結(jié)構(gòu)的每一部分（或他們所稱之的“原子”）。

這正是孔采維奇在2019年莫斯科會議上向聽眾展示的計(jì)劃。對一些數(shù)學(xué)家來說，這聽起來仿佛嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明就在眼前。數(shù)學(xué)家是一群保守派，通常等待絕對確定性后才提出新觀點(diǎn)。但孔采維奇一直更大膽一些?！八麑ψ约旱挠^點(diǎn)非常開放，非常具有前瞻性，”馬薩諸塞大學(xué)波士頓分校的數(shù)學(xué)家丹尼爾·波梅雷亞諾（ Daniel Pomerleano）說，他研究鏡像對稱性。

但孔采維奇也明確指出，有一個(gè)重要因素他們至今仍不知道如何解決：一個(gè)公式，用來說明當(dāng)數(shù)學(xué)家們試圖將4-流形映射到新空間時(shí)，每個(gè)原子將如何變化。只有掌握這樣的公式，他們才能證明某個(gè)原子永遠(yuǎn)不會達(dá)到對應(yīng)于一個(gè)恰當(dāng)“簡化”的4-流形。這意味著4-流形不可參數(shù)化，其解豐富且復(fù)雜。“但不知為何，人們覺得他好像已經(jīng)宣布問題解決了，”波梅雷亞諾說，因此人們期待很快有一個(gè)完整證明。

當(dāng)預(yù)期中的證明遲遲沒有出現(xiàn)時(shí)，一些數(shù)學(xué)家開始懷疑他是否真的掌握了解決方案。與此同時(shí)，當(dāng)時(shí)在法國國家科學(xué)研究中心的余越（Tony Yue Yu）加入了團(tuán)隊(duì)?？撞删S奇表示，余越的新見解和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明風(fēng)格對該項(xiàng)目至關(guān)重要。

據(jù)他的同事們說，余越對細(xì)節(jié)的嚴(yán)謹(jǐn)關(guān)注以及他提出的新穎見解，在解決有關(guān)多項(xiàng)式方程的一個(gè)重要問題方面發(fā)揮了至關(guān)重要的作用。丨圖源：Julia

新冠疫情期間，余越拜訪了法國附近高等科學(xué)研究所的孔采維奇。余越回憶，他們享受著荒廢學(xué)院的寧靜，常常在講堂里待上幾個(gè)小時(shí)，那里的黑板更多。

他們定期通過Zoom與潘德夫和卡察爾科夫會面，迅速完成了證明的第一部分，精確地弄明白如何利用給定4-流形上的曲線數(shù)量將其霍奇結(jié)構(gòu)分解為原子。但他們很難找到一個(gè)公式來描述原子如何變換。

他們不知道的是，一位曾在莫斯科聽過孔采維奇講座的數(shù)學(xué)家——京都大學(xué)的入谷寬（Hiroshi Iritani）——也開始追求這樣的公式?！八晃业牟聹y深深吸引，”孔采維奇說。“我當(dāng)時(shí)并不知道，但他開始著手工作了?！?/p>

2023年7月，入谷寬證明了一個(gè)公式，即“原子”在4-流形映射到新空間時(shí)的變化[3]。該公式所提供的信息尚不足以直接滿足孔采維奇及其合作者的需求，但在接下來的兩年里，他們找到了如何完善這些信息的方法。最終，他們用新公式證明，4-流形總會至少有一個(gè)“原子”無法變換到簡單的四維空間。4-流形無法參數(shù)化。

仍在進(jìn)行中

當(dāng)團(tuán)隊(duì)在今年8月發(fā)布證明時(shí)，許多數(shù)學(xué)家都感到興奮。這是分類項(xiàng)目數(shù)十年來最大的進(jìn)展，也暗示了一種超越4-流形的多項(xiàng)式方程分類的新方法。

但其他數(shù)學(xué)家并不那么確定。自莫斯科那場講座已經(jīng)過去六年?？撞删S奇這一次是否終于兌現(xiàn)了當(dāng)年的承諾？抑或仍有關(guān)鍵細(xì)節(jié)尚待補(bǔ)全？

當(dāng)證明的技術(shù)如此陌生——是弦理論的領(lǐng)域，而非多項(xiàng)式分類時(shí)，他們又如何能消除疑慮？“他們說，'這是黑魔法，這里的機(jī)制究竟是什么？'”孔采維奇這樣說道。

“他們突然帶來了全新的方法，使用了之前被廣泛認(rèn)為與該主題無關(guān)的工具，”麻省理工學(xué)院的白少云說，“真正了解這個(gè)問題的人，并不了解這些工具?！?/p>

白少云是目前幾位試圖彌合這一理解鴻溝的數(shù)學(xué)家之一。過去幾個(gè)月，他共同組織了一場由研究生、博士后研究員和教授組成的“閱讀研討會”，希望能理解這篇新論文。每周，一位不同的數(shù)學(xué)家會深入探討證明的某個(gè)方面，并向整個(gè)小組進(jìn)行講解。

但即使到了現(xiàn)在，經(jīng)過11次90分鐘的會議，參與者在證明的關(guān)鍵細(xì)節(jié)上仍然感到迷茫。白少云說：“這篇論文包含了精彩的原創(chuàng)思想，需要大量時(shí)間來消化?！?/p>

類似的研讀小組也在巴黎、北京、韓國等地聚集?！叭澜绲娜藗儸F(xiàn)在都在研究同一篇論文，”斯特拉里說?！斑@本身就是一件很特別的事情。”

哈塞特將其比作格里高利·佩雷爾曼（Grigori Perelman）2003年對龐加萊猜想的證明，后者同樣采用了全新的技術(shù)來解決一個(gè)著名問題。直到其他數(shù)學(xué)家用更傳統(tǒng)的工具復(fù)現(xiàn)佩雷爾曼的證明后，數(shù)學(xué)界才真正接受了它。

“會有阻力，”卡察爾科夫說，“但我們做了工作，我相信這是正確的?！彼涂撞删S奇也認(rèn)為這是鏡像對稱性計(jì)劃的一大勝利：盡管距離真正證明該計(jì)劃仍有相當(dāng)距離，但這一結(jié)果為其正確性提供了新的、有力的證據(jù)。

“我年紀(jì)大了，也很累，”卡察爾科夫說?！暗灰疫€活著，我就愿意發(fā)展這個(gè)理論?！?/p>

參考資料

[1] https://arxiv.org/abs/2508.05105

[2] https://www.jstor.org/stable/1970801

[3] https://arxiv.org/abs/2307.13555

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“zzllrr小樂”，原標(biāo)題“弦理論激發(fā)了一個(gè)精彩且令人費(fèi)解的新數(shù)學(xué)證明（同調(diào)鏡像對稱）——量子雜志”有修訂。原文譯自：
https://www.quantamagazine.org/string-theory-inspires-a-brilliant-baffling-new-math-proof-20251212/

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