來源：AI思想會(huì)

剛剛，AI又破解了一個(gè)數(shù)學(xué)難題！

Erdos，且給出了正式證明。

而在此之前，這個(gè)問題已經(jīng)困擾了數(shù)學(xué)界50年。

陶哲軒在Mastodon上宣布了這一消息，還在一篇博客中詳細(xì)講述了這個(gè)故事。

他強(qiáng)調(diào)，在AI的輔助下，人類團(tuán)隊(duì)僅用了48小時(shí)，就順利攻克了這一難題。

并且，AI在此過程中帶來的是全新理解，絕非搜索這么簡(jiǎn)單。

要知道，如果是靠傳統(tǒng)方法，只靠數(shù)學(xué)家使用編程和文獻(xiàn)檢索，可能會(huì)需要數(shù)周甚至數(shù)月。

在這個(gè)過程中，AI實(shí)際上是在生成新的數(shù)學(xué)洞見，而不僅僅是檢索現(xiàn)有文獻(xiàn)。

Harmonic官網(wǎng)也宣布了這一消息，其AI系統(tǒng)Aristotle參與了此次解題過程。

Erdos

1975年，傳奇數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什在一篇論文的角落隨手寫下一個(gè)問題。

半個(gè)世紀(jì)后，這個(gè)問題靜靜躺在「埃爾德什問題網(wǎng)站」上，編號(hào)1026。

誰也沒想到，它會(huì)在2025年的最后一個(gè)月，被一群數(shù)學(xué)家利用AI工具，在短短48小時(shí)內(nèi)徹底破解。

埃爾德什的原問題，讀起來有點(diǎn)像謎語。

給定一串不同的實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn，定義S(x1,…,xn)為所有單調(diào)子序列（遞增或遞減）的最大可能和。

這個(gè)函數(shù)有什么性質(zhì)？

問題一出，大家面面相覷：這到底要問什么？是求S的表達(dá)式？還是找它和總和的比值下界？

2025年9月12日，問題被掛上網(wǎng)站時(shí)，附加了一條注釋：「該問題表述較為模糊?！?/p>

但數(shù)學(xué)家的本能，就是要把模糊變成精確。

當(dāng)天，網(wǎng)友Desmond Weisenberg提出了一個(gè)清晰的游戲化解釋：

Alice和Bob的硬幣游戲

Alice有N枚硬幣，她分成n堆，每堆xi枚（xi可不同）。Bob可以選取一個(gè)單調(diào)的子序列（遞增或遞減），拿走這些堆里所有硬幣。

問：無論Alice怎么分堆，Bob至少能拿到總硬幣數(shù)的多少比例？

這個(gè)比例，記作c(n)。

從n=3到平方數(shù)猜想

可以先看這樣幾個(gè)例子。

很快，Stijn Cambie發(fā)現(xiàn)：

如果Alice把硬幣分成k2堆，每堆差不多大，并排列成k個(gè)遞減塊，每塊k 堆，塊之間遞增，那么最長(zhǎng)單調(diào)子序列只有k堆。

于是Bob最多拿到1/k的比例，也即c(k2)≤1/k。

反過來，Wouter van Doorn用已有結(jié)果給出下限：c(n)≥(1/√2)/√n。

那么，√n·c(n)的極限是多少？它在1/√2和1之間。

第二天，Stijn手算小n的值：

數(shù)據(jù)雖少，但已足夠讓他大膽猜想：c(k2)=1/k。

這意味著√n·c(n)→1，Bob在n很大時(shí)幾乎能保證拿到約1/√n的比例。

AI出手了！

兩個(gè)月后，2025年12月7日，Boris Alexeev用AI工具Aristotle在證明輔助語言Lean中自動(dòng)證出了c(k2)=1/k。

幾乎同時(shí)，Koishi Chan給出一個(gè)優(yōu)美的人類證明——「膨脹法」。

至此，上下界合一，猜想成功得證。

更巧的是，這個(gè)答案，其實(shí)早就存在了。

Google Scholar很快找到一篇2016年論文，其中已有此結(jié)果，并引用了更早的Wagner用「膨脹法」處理埃爾德什-塞凱賴斯定理的工作。

原來，數(shù)學(xué)早已悄悄解決過這個(gè)問題，只是未被鏈接到埃爾德什的原始提問。

AI登場(chǎng)

猜出完整公式

但故事的高潮還在后面。

陶哲軒決定用另一個(gè)AI工具AlphaEvolve系統(tǒng)探索c(n)。

他讓AI嘗試構(gòu)造使S盡量小的序列，很快得到n=1到16的數(shù)值結(jié)果：

這些分?jǐn)?shù)看似雜亂，但重新排列后，模式逐漸浮現(xiàn)了出來。

Boris從中提煉出干凈公式：

并構(gòu)造出極值序列：用「紅」「藍(lán)」兩種數(shù)值的塊交替排列，控制單調(diào)子序列的長(zhǎng)度。

下圖直觀展示了該構(gòu)造（a≥0的情形）：

而1/c(n)的圖像，正是對(duì)√n的分段線性逼近：

連接經(jīng)典

正方形填充問題

隨后，Lawrence Wu指出：此問題等價(jià)于一個(gè)正方形填充問題（埃爾德什問題106）。

Lawrence證明：c(n)≥1/f(n)。

理由：對(duì)任意序列，可構(gòu)造一系列正方形，它們互不重疊地填滿邊長(zhǎng)為S(x1,…,xn)的大正方形。

下圖展示了從AlphaEvolve給出的一個(gè)序列構(gòu)造出的正方形填充。

最后一擊

文獻(xiàn)中的完整解

Lawrence再用AI深度搜索，找到了2024年Baek、Koizumi、Ueoro的論文，其中證明：f(k2+2c+1)≤k+c/k。

結(jié)合Praton的嵌入論證，這恰好給出：c(k2+2a+1)≤k/(k2+a)。

上下界再次吻合，猜想完全得證！

AI+人類

48小時(shí)極限突圍

這個(gè)故事最讓陶哲軒觸動(dòng)的一點(diǎn)是，能匯聚一群不同背景的人、文獻(xiàn)和工具來攻克這個(gè)問題，是何等重要。

陶哲軒感慨道：

傳統(tǒng)模式下，一兩位數(shù)學(xué)家憑借簡(jiǎn)單工具，或許最終也能拼出全貌，但那可能需要數(shù)周甚至數(shù)月。而在這個(gè)協(xié)作網(wǎng)絡(luò)中，所有關(guān)鍵環(huán)節(jié)在48小時(shí)內(nèi)匯聚。

要陳述并證明c(n)的精確公式，需要基于多個(gè)觀察結(jié)果，大概包括以下幾點(diǎn)：

• 該序列可以被數(shù)值計(jì)算為有理數(shù)序列。

• 經(jīng)過適當(dāng)?shù)臍w一化和排列后，序列中會(huì)出現(xiàn)肉眼可見的規(guī)律，讓人能推測(cè)出序列的形式。

• 這個(gè)問題是Erd?s-Szekeres定理的一個(gè)加權(quán)版本。

• 在Erd?s-Szekeres定理的眾多證明中，1959年Seidenberg的證明可以被解釋為一種離散矩形填充論證。

• 這個(gè)問題可以被重新解釋為連續(xù)正方形填充問題，實(shí)際上與Erd?s問題106（關(guān)于此類填充）的（廣義軸平行形式）密切相關(guān)。

• Erd?s問題106的軸平行形式最近剛被Baek-Koizumi-Ueoro解決。

• Praton的論文表明，Erd?s問題106蘊(yùn)含了這個(gè)問題所需的廣義版本。這個(gè)蘊(yùn)含關(guān)系特指軸平行的情況。

正是靠著所有貢獻(xiàn)者的通力合作以及他們使用的工具，所有這些關(guān)鍵線索才得以在48小時(shí)內(nèi)匯集在一起。

如果換作傳統(tǒng)的模式，只靠一兩個(gè)數(shù)學(xué)家以及更簡(jiǎn)單的編程和文獻(xiàn)搜索工具，雖然理論上最終也能把這些碎片拼湊起來，但這個(gè)過程會(huì)花長(zhǎng)得多的時(shí)間（可能是數(shù)周甚至數(shù)月）。

另一個(gè)關(guān)鍵因素是Erd?s問題網(wǎng)站上「平衡的AI政策」，它鼓勵(lì)公開說明AI的使用情況，同時(shí)強(qiáng)烈反對(duì)隱瞞使用——

允許使用AI輔助編寫評(píng)論，前提是：

（a）已對(duì)此進(jìn)行公開說明；

（b）內(nèi)容（包括數(shù)學(xué)推導(dǎo)、代碼、數(shù)值數(shù)據(jù)及相關(guān)來源的存在性）已由用戶自己在沒有AI協(xié)助的情況下仔細(xì)核查與驗(yàn)證；

（c）評(píng)論篇幅在合理范圍內(nèi)，不過于冗長(zhǎng)。

一道懸置50年的問題，在2025年的冬天，因?yàn)橐淮慰缛藱C(jī)、跨時(shí)空的奇妙協(xié)作，終于畫上了圓滿的句號(hào)。

而這，可能只是一個(gè)新時(shí)代的開始。

參考資料：ZHB

https://terrytao.wordpress.com/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126/

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