日本當(dāng)代著名數(shù)學(xué)教育家遠(yuǎn)山啟的著作《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法》一本雖是數(shù)學(xué)史的寫(xiě)作，但卻區(qū)別于一般的數(shù)學(xué)史，作者獨(dú)創(chuàng)性的將數(shù)學(xué)劃分為古代數(shù)學(xué)、中世紀(jì)數(shù)學(xué)、近代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)，以生動(dòng)的講述方法清晰呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，并結(jié)合日常經(jīng)驗(yàn)講述了諸多數(shù)學(xué)概念與思想的來(lái)源與發(fā)展。

書(shū)中對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)部分有通俗易懂的展現(xiàn)，可以幫助我們更好的了解現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家門(mén)都在研究哪些方向。

來(lái)源 | 《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法》

作者 | [日]遠(yuǎn)山啟

譯者 | 武曉宇

01

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征

下面再看一下現(xiàn)代數(shù)學(xué)有什么樣的特征。

我們的主題是“數(shù)學(xué)容貌的改變”，“容貌改變”的意思是面容發(fā)生變化。在人的一生中，人本身不會(huì)發(fā)生變化，但面容可以千變?nèi)f化。這種情況下，本質(zhì)不一定發(fā)生了變化，但可見(jiàn)的面容確實(shí)在改變?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)正是這種情況，或者說(shuō)是這種情況的典型代表。

大家可能不太了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。近代數(shù)學(xué)的核心部分是微積分，以此來(lái)思考，我們可以大致把握數(shù)學(xué)的“性格”。但是，在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育中，除了大學(xué)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)之外，大家接觸到的數(shù)學(xué)都是到近代數(shù)學(xué)為止。

從這層意義上來(lái)說(shuō)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)于大家而言，可能是一種全新的思考方法，或者是非常令人意外的思考方法。甚至可以說(shuō)，如果把之前學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)概念都忘掉，可能更利于我們理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)，需要把數(shù)學(xué)中那些既有的概念暫且擱置，以一種了解全新事物的心態(tài)來(lái)學(xué)習(xí)，這樣反而會(huì)更加容易理解。大家可能沒(méi)想到數(shù)學(xué)還能這樣學(xué)，對(duì)此感到非常吃驚，對(duì)吧？

現(xiàn)代數(shù)學(xué)誕生于 20 世紀(jì)，是數(shù)學(xué)史中最前沿的部分。外行人可能認(rèn)為，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是最難的部分，不懂?dāng)?shù)學(xué)的人肯定無(wú)法理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。但這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，對(duì)于不懂?dāng)?shù)學(xué)的外行人來(lái)說(shuō)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)反而有很多地方更易于理解。

近代數(shù)學(xué)的核心部分是微積分，其思考方法很簡(jiǎn)單，只不過(guò)計(jì)算起來(lái)有些復(fù)雜。現(xiàn)代數(shù)學(xué)也一樣，雖然有計(jì)算復(fù)雜的地方，但整體的思考方法可以說(shuō)都是非常簡(jiǎn)單的。

02

幾何學(xué)成為數(shù)學(xué)發(fā)展的分界線

從數(shù)學(xué)的歷史來(lái)看，現(xiàn)代數(shù)學(xué)與之前的數(shù)學(xué)相比，其思考方法截然不同。明確提出現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思考方法的，是數(shù)學(xué)家 D. 希爾伯特（1862 —1943）。他于 1899 年出版了著作《幾何基礎(chǔ)》，其中清晰地提出了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的獨(dú)特思考方法。

回顧之前的數(shù)學(xué)歷史可以發(fā)現(xiàn)，古代數(shù)學(xué)發(fā)展到中世紀(jì)數(shù)學(xué)的契機(jī)是歐幾里得的《幾何原本》，這也是一本與幾何學(xué)相關(guān)的書(shū)。中世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展到近代數(shù)學(xué)的契機(jī)，是笛卡兒的《幾何學(xué)》。

推動(dòng)近代數(shù)學(xué)向現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的，則是希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》。數(shù)學(xué)的歷史階段的分界線都是幾何學(xué)，這真是一件非常有趣的事。

為什么幾何學(xué)會(huì)成為數(shù)學(xué)發(fā)展的分界線呢？幾何學(xué)可以說(shuō)是以“數(shù)學(xué)世界與我們所生活的現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系”為研究對(duì)象的學(xué)問(wèn)。幾何學(xué)中必須確定點(diǎn)、直線究竟是什么，如果不確定看待這些東西的方法，那么幾何學(xué)就無(wú)法展開(kāi)。

雖然其他學(xué)問(wèn)中也有這種問(wèn)題，但不會(huì)像幾何學(xué)這樣清晰地來(lái)面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題。我們?cè)撊绾慰创覀兙幼〉氖澜?，或者說(shuō)如何看待所有客觀存在的事物，在這類(lèi)問(wèn)題上有著多種多樣的思考，而幾何學(xué)所直接面對(duì)的，就是我們?cè)谶@類(lèi)問(wèn)題上的態(tài)度與思考。我認(rèn)為這是幾何學(xué)能夠成為數(shù)學(xué)發(fā)展分界線的重要原因。

在之前的歐幾里得幾何中，歐幾里得設(shè)定了幾條任何人都不會(huì)對(duì)其有疑問(wèn)的自明之事作為公理，然后通過(guò)對(duì)公理的組合推導(dǎo)出復(fù)雜的事實(shí)。

希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》的最初目標(biāo)，就是給歐幾里得幾何構(gòu)建正確的基礎(chǔ)。歐幾里得幾何中雖然有幾條公理，但這些公理非常不完備。這些公理不僅不完備，而且有一些是多余的東西，有一些則缺少內(nèi)容。

所以希爾伯特的出發(fā)點(diǎn)便是，將這些公理中多余的東西刪掉，再將必要的部分全都補(bǔ)充進(jìn)去，即打造一個(gè)能讓歐幾里得幾何成立的必要且充分的公理體系。歐幾里得的公理并不是邏輯性的，而且摻雜了很多奇怪的內(nèi)容。

另外，歐幾里得幾何還經(jīng)常在證明中悄悄地將不是公理的東西作為公理來(lái)使用。這些內(nèi)容都是需要?jiǎng)h除的。這便是希爾伯特想要做的事，但如果僅僅以此為目標(biāo)，看上去好像也沒(méi)有什么了不起。

因此，任何人都沒(méi)想到，希爾伯特做的這件事給數(shù)學(xué)整體帶來(lái)了巨大的影響。

03

未定義概念

歐幾里得幾何首先定義了作為幾何學(xué)出發(fā)點(diǎn)的點(diǎn)、直線、平面究竟是什么。歐幾里得幾何認(rèn)為“點(diǎn)是沒(méi)有部分的東西”，也就是說(shuō)點(diǎn)自身不具有部分?！安痪哂胁糠帧钡囊馑际?，點(diǎn)不可再繼續(xù)分割，即認(rèn)為點(diǎn)是沒(méi)有大小的東西。直線的定義則是“直線是筆直的東西”。這些定義實(shí)際上說(shuō)明了幾何學(xué)中使用的點(diǎn)、直線、平面等概念與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)。

不過(guò)，希爾伯特沒(méi)有做類(lèi)似的事，他沒(méi)有為點(diǎn)、直線、平面等概念確定一般意義上的定義，而是將它們統(tǒng)稱(chēng)為“未定義概念”。

在閱讀《幾何基礎(chǔ)》時(shí)要格外注意，雖然希爾伯特將點(diǎn)、直線、平面作為日常用語(yǔ)來(lái)使用，但他的頭腦中所描繪的這些東西，與日常用語(yǔ)中的完全不同。這一點(diǎn)普通人可能覺(jué)得非常難理解，但如果能理解這件事，差不多就可以理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)一半以上的內(nèi)容了。這可以說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)。

為什么希爾伯特會(huì)從“未定義概念”出發(fā)呢？后文中我會(huì)詳細(xì)解釋。不過(guò)，可以先說(shuō)一點(diǎn)，從“未定義概念”出發(fā)，可以說(shuō)是希爾伯特幾何與歐幾里得幾何的根本性區(qū)別。當(dāng)然，希爾伯特的這種構(gòu)想也并不是突然出現(xiàn)的，其中包含了數(shù)學(xué)歷史的許多積淀與發(fā)展成果。

例如，早在希爾伯特之前近百年的時(shí)間里，幾何學(xué)中已經(jīng)出現(xiàn)了“對(duì)偶原理”的相關(guān)內(nèi)容?！皩?duì)偶原理”出現(xiàn)在“射影幾何學(xué)”中，這種幾何學(xué)只研究點(diǎn)與直線，暫且不將曲線考慮在內(nèi)。

也就是說(shuō)，光照射直線時(shí)會(huì)映射出直線，照射點(diǎn)時(shí)會(huì)映射出點(diǎn)，暫不考慮曲線。在射影幾何學(xué)中，假設(shè)有一條關(guān)于點(diǎn)與直線的定理是成立的，那么在這條定理中，可以將“點(diǎn)”替換為“直線”，將“直線”替換為“點(diǎn)”。

相應(yīng)地，“相交”可以替換為“相連”，“相連”也可以替換為“相交”。這樣一來(lái)，該定理同樣成立。這就是有名的對(duì)偶原理。

在我們之前的印象中，“點(diǎn)”是用筆尖在紙上點(diǎn)出的記號(hào)之類(lèi)的東西，“直線”則是用尺子畫(huà)出的線。但是在“對(duì)偶原理”中，“點(diǎn)”和“直線”是可以互相替換的。

此時(shí)的“點(diǎn)”，在某些情況下，可以看作普通意義上的“點(diǎn)”，但將其看作“直線”也沒(méi)問(wèn)題。同樣，“直線”既可以看作普通意義上的“直線”，也可以替換為普通意義上的“點(diǎn)”，這都沒(méi)問(wèn)題。這就是希爾伯特構(gòu)想“未定義概念”的契機(jī)之一。

也就是說(shuō)，與其說(shuō)沒(méi)有給“點(diǎn)”確定定義，不如說(shuō)是根據(jù)實(shí)際的關(guān)聯(lián)來(lái)確定“點(diǎn)”是什么。這實(shí)際上是一種靈活變通的方法，沒(méi)錯(cuò)，“未定義概念”就是為了這種便利性。

希爾伯特恐怕是近百年來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他非常喜歡顛覆性的反論。在出版《幾何基礎(chǔ)》時(shí)，他對(duì)其中的“未定義概念”這樣描述：“我在此所說(shuō)的點(diǎn)、直線、平面，將其替換為桌子、椅子、啤酒杯也完全沒(méi)問(wèn)題。”這讓世人非常震驚。這就是“未定義概念”。

雖然希爾伯特的書(shū)里并沒(méi)有真的說(shuō)桌子、椅子、啤酒杯，但他就是這種喜歡用這類(lèi)刺激性表述的人。不去定義東西具體是什么，這樣會(huì)比較方便。至于如何確定某種東西當(dāng)下是什么，這由被稱(chēng)為“點(diǎn)”的東西與被稱(chēng)為“直線”的東西之間的關(guān)系來(lái)決定。這就是公理，也是《幾何基礎(chǔ)》的基本思考方法。

由于這種思考方法的出現(xiàn)，20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)也誕生了新的思路。大家可能覺(jué)得這是一種很奇怪的方法，但是仔細(xì)想一想的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方法在以前的數(shù)學(xué)中也存在。

代數(shù)中的與 ，在某種意義上可以是任何東西，也就相當(dāng)于“未定義概念”。 的取值，最開(kāi)始可以是整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)等，但不少情況下，其取值并不會(huì)一開(kāi)始就確定下來(lái)。比如在解二次方程時(shí)， 最初被認(rèn)為是實(shí)數(shù)，但現(xiàn)在也可以是虛數(shù)了。

這就是最初未考慮其究竟是什么的方法，該方法非常靈活，可以直接去描述未經(jīng)定義的 與 之間的關(guān)系。

這種構(gòu)想雖然之前也有雛形，但是希爾伯特將其徹底發(fā)展為系統(tǒng)的方法。之前我們說(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)的容貌發(fā)生了改變，出現(xiàn)了新的思考方法，現(xiàn)在想來(lái)，數(shù)學(xué)中的新方法其實(shí)大多在以往就已經(jīng)存在了。那種徹頭徹尾的嶄新構(gòu)想是非常稀少的，大多數(shù)情況是研究者調(diào)整以往構(gòu)想的形式，然后將其整理、表達(dá)出來(lái)。

像這樣，希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》中，將確定“未定義概念”之間關(guān)系的東西作為公理，并以此展開(kāi)研究。像這樣徹底的思考方法，在希爾伯特之前是不存在的。

希爾伯特的這種思考方法，用現(xiàn)代的方式來(lái)說(shuō)，就是“結(jié)構(gòu)”的方法。結(jié)構(gòu)的英語(yǔ)單詞是 structure。

04

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法

至此，我已經(jīng)講述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征，不知各位讀者是否已經(jīng)理解了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本情況。最開(kāi)始時(shí)我已經(jīng)說(shuō)過(guò)，與近代數(shù)學(xué)相比，現(xiàn)代數(shù)學(xué)更加容易理解，就算是沒(méi)有多少數(shù)學(xué)背景知識(shí)的人也能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

甚至可以說(shuō)，這些門(mén)外漢可能更容易理解。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)到了現(xiàn)代階段，已經(jīng)更加接近常識(shí)。即便是那些覺(jué)得自己上學(xué)時(shí)連 sin、cos 都記不住，認(rèn)定自己數(shù)學(xué)完全不行的人，也能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)，因?yàn)楝F(xiàn)代數(shù)學(xué)中并不使用 sin、cos那些知識(shí)，即使忘記了也沒(méi)關(guān)系。

有的人覺(jué)得自己數(shù)學(xué)不行，其實(shí)并非如此，因?yàn)閷W(xué)校里所教的數(shù)學(xué)只到近代數(shù)學(xué)，所以并不能以此為依據(jù)來(lái)下結(jié)論。即便是將在學(xué)校學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)都忘記，從零開(kāi)始學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)也是沒(méi)有問(wèn)題的。學(xué)不好近代數(shù)學(xué)，并不代表無(wú)法理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。

有人認(rèn)為學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之前必須掌握sin、cos 以及二次方程等知識(shí)，其實(shí)這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的，這些知識(shí)完全可以放到后面去學(xué)。如果真的想學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)，完全可以把這些知識(shí)暫時(shí)擱置，直接去學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)，也有很多可以直接理解的部分，而且這部分在數(shù)學(xué)之外的許多領(lǐng)域會(huì)非常有用。

前文曾提過(guò)，結(jié)構(gòu)這種思考方法在心理學(xué)、語(yǔ)言學(xué)、文化人類(lèi)學(xué)等領(lǐng)域均有廣泛的應(yīng)用。這些領(lǐng)域的人也許并沒(méi)有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是從自己研究的領(lǐng)域中思考出這種方法的，但從數(shù)學(xué)這邊來(lái)看，會(huì)發(fā)現(xiàn)那些領(lǐng)域中關(guān)于結(jié)構(gòu)的思考，與數(shù)學(xué)中的結(jié)構(gòu)是相同的。

所以說(shuō)，結(jié)構(gòu)的思考方法的應(yīng)用范圍是非常廣的。

數(shù)學(xué)發(fā)展到近代時(shí)，還可以說(shuō)是關(guān)于數(shù)的學(xué)問(wèn)，“數(shù)學(xué)”這一稱(chēng)呼也名副其實(shí)。但是，到了現(xiàn)代階段，“數(shù)學(xué)”這一稱(chēng)呼就未必那么貼切了。雖然現(xiàn)代數(shù)學(xué)也研究數(shù)，但它研究的是更加具有廣泛性的東西，那就是結(jié)構(gòu)。所以，從某種意義上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)到了現(xiàn)代階段已經(jīng)可以被稱(chēng)為“結(jié)構(gòu)的科學(xué)”了，這其實(shí)更能體現(xiàn)出現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征。“數(shù)學(xué)”這個(gè)稱(chēng)呼在現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段會(huì)顯得有那么一點(diǎn)點(diǎn)不貼切。有觀點(diǎn)認(rèn)為，數(shù)學(xué)中必須出現(xiàn)“數(shù)”，這到近代數(shù)學(xué)階段是沒(méi)問(wèn)題的。但是到了現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段，情況就不一定是這樣了。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段，只要出現(xiàn)“結(jié)構(gòu)”，數(shù)學(xué)就已經(jīng)登場(chǎng)了。也正因?yàn)槿绱?，我才說(shuō)到了現(xiàn)代階段，數(shù)學(xué)的“容貌”已經(jīng)發(fā)生了大幅改變。

結(jié)構(gòu)這一思考方法，并非在以前的階段完全不存在。如果我們改變視角，會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的身影早已出現(xiàn)在古代數(shù)學(xué)中。

比如，可以是 2 個(gè)橘子加 3 個(gè)橘子等于 5 個(gè)橘子，也可以是 2 個(gè)蘋(píng)果加 3 個(gè)蘋(píng)果等于 5 個(gè)蘋(píng)果，還可以是 2 支鉛筆加 3 支鉛筆等于5支鉛筆，它可以表示的現(xiàn)實(shí)情況可謂無(wú)窮無(wú)盡。實(shí)際上，就是不同物體在計(jì)算上的同構(gòu)。

如果將 看作這個(gè)同構(gòu)的代表，那么結(jié)構(gòu)這個(gè)概念就已經(jīng)出現(xiàn)了，同構(gòu)這個(gè)概念也已經(jīng)誕生。所以可以說(shuō)，從很早之前開(kāi)始，數(shù)學(xué)就是關(guān)于結(jié)構(gòu)的學(xué)問(wèn)了。但是，在那些歷史階段里，關(guān)于結(jié)構(gòu)的這一面并不顯著。

“改變?nèi)菝病钡囊馑际?，面容發(fā)生了改變，但內(nèi)在其實(shí)或許沒(méi)有發(fā)生改變。所以，我在講述數(shù)學(xué)史的時(shí)候借用了這個(gè)說(shuō)法。

未來(lái)，數(shù)學(xué)的容貌或許還將繼續(xù)發(fā)生改變。當(dāng)前階段那些不顯著的概念，會(huì)在未來(lái)的研究中顯現(xiàn)出來(lái)。我們說(shuō)數(shù)學(xué)發(fā)生改變，并不意味著 2 加 3 不再等于 5 而變成等于 6，而是指思考角度上發(fā)生的改變。

我們?cè)谳^短的時(shí)間內(nèi)回顧了數(shù)學(xué)從古代到現(xiàn)代的變化，相信各位讀者現(xiàn)在都已理解，那種認(rèn)為自己不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)、完全學(xué)不會(huì)數(shù)學(xué)的想法是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)其實(shí)是一門(mén)非常簡(jiǎn)單的學(xué)問(wèn)，只要掌握了數(shù)學(xué)中的要點(diǎn)，它就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。

我希望各位讀者能明白這一點(diǎn)，再?lài)L試重新學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)，可以把古代到近代的數(shù)學(xué)知識(shí)先置于一旁，直接去學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的知識(shí)。如果我的講解能讓大家鼓起勇氣去了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)，哪怕只有一個(gè)人，那么這些講解就是有價(jià)值的。

《數(shù)學(xué)與生活5：數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)代與方法》

作者：[日]遠(yuǎn)山啟

譯者：武曉宇

一部數(shù)學(xué)史，講明現(xiàn)代數(shù)學(xué)的本質(zhì)和意義，讀懂百年數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)教育巨匠遠(yuǎn)山啟的數(shù)學(xué)科普力作，回答“數(shù)學(xué)是什么”的疑問(wèn)；

講清數(shù)學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)，解讀數(shù)學(xué)思想的來(lái)源與發(fā)展，還原數(shù)學(xué)多變“容貌”的本質(zhì)。

《數(shù)學(xué)與生活》系列

作者：[日]遠(yuǎn)山啟

譯者：武曉宇等

《數(shù)學(xué)與生活》系列為日本數(shù)學(xué)教育改革之作，旨在還原被考試扭曲的數(shù)學(xué)，為讀者呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的真正容顏，消除應(yīng)試教學(xué)模式帶來(lái)的數(shù)學(xué)恐懼感。

生活故事 詮釋小學(xué)至大學(xué)數(shù)學(xué)的原理與精髓！

人性思維 消解“應(yīng)試數(shù)學(xué)”帶來(lái)的數(shù)學(xué)恐懼感