最近，一道小學(xué)二年級(jí)的數(shù)學(xué)題意外成了社會(huì)熱點(diǎn)。

這道題你做得對(duì)嗎？

有人覺得不解：明明3×8和8×3結(jié)果一樣，為什么要較真？也有人反思：我們是不是過度強(qiáng)調(diào)了“標(biāo)準(zhǔn)答案”？

但其實(shí)，這個(gè)爭(zhēng)議背后，藏著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最核心的問題——我們到底有沒有真正理解數(shù)學(xué)的“定義”？

著名數(shù)學(xué)家伍鴻熙在《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》中指出，許多人的“數(shù)學(xué)恐懼”正是源于機(jī)械刷題、缺乏本質(zhì)理解，而正確的數(shù)學(xué)比不正確的要好教得多。

數(shù)學(xué)

/一本麻省理工博士寫給小學(xué)生的數(shù)學(xué)書

關(guān)鍵不在于“答案”，而在于思維方式。

一

乘法的本質(zhì)：定義才是根本

我們小時(shí)候?qū)W乘法，總是被教導(dǎo)“誰(shuí)乘誰(shuí)無(wú)所謂”，但實(shí)際上，乘法的本質(zhì)是“等量相加”。

比如“8×3”，關(guān)鍵不在于“標(biāo)準(zhǔn)答案”，而在于我們將它定義為把8這個(gè)數(shù)重復(fù)加3次，也就是8+8+8。

盡管乘法交換律告訴我們結(jié)果不變，但表達(dá)的“對(duì)象與過程”并不相同。理解了“乘法是加法的簡(jiǎn)化”，后面就會(huì)發(fā)現(xiàn)這種“簡(jiǎn)化”具有巨大的力量。

這里我們先溫習(xí)一下加法，書中特別提醒我們，關(guān)于“數(shù)”的一切討論，其實(shí)都離不開數(shù)軸這個(gè)最基本的模型。當(dāng)我們用加法不斷累加，比如100=10+10+…+10（共10個(gè)10），本質(zhì)上就是在數(shù)軸上從0出發(fā)，每次跳10格，連續(xù)跳10次正好到達(dá)100。

于是，從具體的加法和數(shù)的遞推（比如1000=100+100+…+100），就推導(dǎo)出了（1.1）式，明確了大數(shù)之間的遞推結(jié)構(gòu)。

而進(jìn)一步，通過引入乘法，明確乘法是反復(fù)做加法，又可以把（1.1）寫成（1.3）式。

這么做有什么用呢？你很快就會(huì)知道了，它其實(shí)為我們提供了向指數(shù)、冪這樣的抽象概念進(jìn)發(fā)的階梯：

上面這張圖不僅僅是在演算大數(shù)，更是以層層遞推、代入、歸納的方式，高度體現(xiàn)了數(shù)學(xué)定義和抽象思維的力量。

通過嚴(yán)密的邏輯推理和遞歸代入，數(shù)學(xué)一步步走向高度抽象與統(tǒng)一，從而讓復(fù)雜的問題變得條理清晰、可控可算，你不能用尚未定義的“神秘概念”或“標(biāo)準(zhǔn)答案”去解釋更基礎(chǔ)的結(jié)論。

二

數(shù)學(xué)不難：關(guān)鍵是把握精確性

伍鴻熙教授指出，不準(zhǔn)確、孤立的數(shù)學(xué)教學(xué)違背了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也難以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，精確性至關(guān)重要。精確定義是所有推理和討論的起點(diǎn)，比如，傳統(tǒng)教學(xué)常把分?jǐn)?shù)解釋為“分餅”或“除法的商”，但這些定義其實(shí)都不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

傳統(tǒng)教學(xué)解釋“分?jǐn)?shù)”，讓學(xué)生想象把一塊餅平均分成若干份，然后拿出其中幾份。

當(dāng)孩子計(jì)算55英里的?時(shí)，不可能把一塊餅想象成一條55英里的線段，更何況誰(shuí)也不知道如何用一塊餅除以另一塊餅。

正確的教育方法是一開始就定義分?jǐn)?shù)：它是數(shù)軸上一個(gè)確定集合里的點(diǎn)。一旦我們接受這個(gè)定義之后，它將成為今后一切分?jǐn)?shù)討論的出發(fā)點(diǎn)，有關(guān)分?jǐn)?shù)的任何問題都需要返回來(lái)用定義解釋。

其他所有概念都與此類似，例如自然數(shù)的帶余除法、十進(jìn)制小數(shù)、有理數(shù)等。定義完全決定了每個(gè)概念都有些什么性質(zhì)，在這樣的數(shù)學(xué)環(huán)境中教學(xué)的深遠(yuǎn)意義是，不管討論什么問題，學(xué)生都能明確地知道自己的立足點(diǎn)所在，他所要學(xué)會(huì)的知識(shí)完全包含在定義中。

數(shù)學(xué)不是一項(xiàng)觀賞性的運(yùn)動(dòng)，想學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)就必須自己動(dòng)手、親歷親為。這要求你在掌握了已知概念的定義之后，將與此概念相關(guān)的所有事實(shí)，按照推理的程序重新編排起來(lái)，并追溯到你的出發(fā)點(diǎn)。

有人可能會(huì)擔(dān)心，過分強(qiáng)調(diào)精確性會(huì)削弱數(shù)學(xué)的直觀性和趣味性。然而，事實(shí)并非如此。當(dāng)我們用精確的語(yǔ)言和推理來(lái)闡述分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生能夠更加清晰地看到數(shù)學(xué)之美。這種深刻的理解不僅能夠激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛，更能夠?yàn)樗麄兲峁o(wú)限的創(chuàng)新空間。

三

化繁為簡(jiǎn)：就得靠推理證明

有了精確的定義，我們便能借助邏輯推理，一步步揭開數(shù)學(xué)的神秘面紗。

比如做分?jǐn)?shù)除法時(shí)，為什么除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以它的倒數(shù)？為什么兩個(gè)負(fù)數(shù)之積是一個(gè)正數(shù)？為什么一個(gè)分?jǐn)?shù)可以理解為a÷b？為什么每個(gè)分?jǐn)?shù)有且只有一個(gè)既約分?jǐn)?shù)?……

你可能會(huì)被眾多的“為什么”搞得頭昏腦脹，推理證明則是解答這些問題的珍貴寶藏。數(shù)學(xué)從根本上講是抽象的無(wú)形的概念，學(xué)生則需要有個(gè)可信的人來(lái)引導(dǎo)他們撥開抽象的迷霧，當(dāng)學(xué)生看到老師能夠腳踏實(shí)地地明確給出每一步推導(dǎo)的理由時(shí)，他們就會(huì)毫不猶豫地信任他。這樣，學(xué)生便有可能將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)下去。

比如比較1058和874的大小時(shí)，雖然直覺可以得出結(jié)果，但依賴直覺并非學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好方法。伍教授通過數(shù)軸耐心講解：1058比874大，因?yàn)樗挥跀?shù)軸上874的右側(cè)，且大于999。大于號(hào)和小于號(hào)具有傳遞性，這是數(shù)學(xué)中的重要概念。

要讓孩子明白，“大于”的定義正是精確地表述了日常生活中“……比……多”的概念。

通過抽象地推理和理解，學(xué)生能夠看到分?jǐn)?shù)乘法不是具體的物理操作，如“分蛋糕”之類，這為日后的理論階段打下基礎(chǔ)。

推理證明的過程，不僅有助于提升學(xué)生的邏輯思維、問題解決能力和批判性思維等關(guān)鍵能力，更使其學(xué)會(huì)了如何在復(fù)雜的信息中抽絲剝繭，找到問題的本質(zhì)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解并增強(qiáng)其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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