昨天在討論新銳航天幾乎都是坑的時候，有這么一個留言：

“地球上發(fā)射一枚火箭，繞太陽一周后返回地球，請列出其運動方程——列不出來，我就不信你的文章”

愛信不信啊，W君就是因為太閑，沒事寫點東西打發(fā)時間，這也總好過刷短視頻看大腚吧。

“地球上發(fā)射一枚火箭，繞太陽一周后返回地球，請列出其運動方程”這件事是黃吉虎教授在紀念錢老誕辰100周年的一篇文章《錢學(xué)森與中國科大力學(xué)系》中提到的錢老和科大之間的點點滴滴故事中的一個段落。如果能好好看這篇黃教授的文章，一個更豐滿的錢老的形象會在大家的心中建立起來。

不過，現(xiàn)在碎片化的自媒體作者往往就抓出文章中的某些大家都不明白的“點”，拉扯出一些情緒去搏流量了。至于錢老在1962年1月27日那場開卷考試中提到的軌道計算問題本身卻在大多數(shù)自媒體作者的雞血文里面卻沒有后繼了……

今天恰好有這么一個留言，咱們就來講講錢老的這個考題要如何解。

這個問題之所以讓普通網(wǎng)民覺得很不可思議，主要的問題在于“領(lǐng)域問題”，航空航天的計算對于大多數(shù)普通網(wǎng)民來說有點過于遙遠了。而且，在大部分中國人的思維里面一談到數(shù)學(xué)就是算出結(jié)果，例如3+5=？ 一定得等于8，不能等于4+4或者128/16。這是文化的局限性，我們的文化在一些時候太注重“結(jié)果”，而忽略了數(shù)學(xué)中的“equal”。

不扯閑篇，咱們說回錢老的問題：

這件事最簡單的方法是利用“共振軌道”進行軌道設(shè)計，反正是繞太陽一圈再回來嘛，用這種方式進行軌道設(shè)計是最簡單的形式。所謂的“軌道共振”是指兩顆天體（這里是地球和飛行器）繞太陽運行的周期形成了一個整數(shù)比關(guān)系。最典型的例子就是 2:1 共振：地球一年圍繞太陽轉(zhuǎn)一圈，飛行器兩年轉(zhuǎn)一圈。這樣兩年之后，飛行器完成一次繞日大橢圓，地球也正好完成兩次公轉(zhuǎn)，二者在幾何上就會再次相遇。

這個問題挺好理解的，基于軌道力學(xué)我們可以計算出地球的軌道公式在某一點位置上的速度，然后以這個點為起點（主要是太陽和火箭的距離）來計算滿足2倍軌道周期上的軌道速度就可以了。

第一步，我們可以先定義參考坐標系，例如在上圖中，我們就用了日心作為參考坐標系的中點，設(shè)定近日點在1AU的位置上，在這個點到太陽的距離就可以定義為火箭軌道的近日點距離。

第二步，我們可以引入開普勒軌道定律。主要要用到第三定律：各個行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期的平方及其橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

也就是：

所以要讓火箭圍繞太陽轉(zhuǎn)的軌道周期等于兩倍地球圍繞太陽旋轉(zhuǎn)的周期，也就是T?=2T?，

也就是說這枚火箭的軌道的半長軸是1.5874個天文單位。通過半長軸的大小以及它的近日點就是1個天文單位（r?=1AU），這時候我們有了a了也有了r?了，就可以使用軌道速度公式來計算近日點的速度v?了。

最終v?=1.170486854 倍的地球圍繞太陽運行的速度。這時候29.78km/s * 1.1705，我們就可以得出火箭應(yīng)該具有的太陽軌道速度為34.86km/s 了

在以太陽黃道面為平面，太陽為原點的J2000參考系中

地球已經(jīng)為火箭提供了29.78km/s的軌道速度，假設(shè)我們已經(jīng)把火箭發(fā)射到了200km的高度，我們只需再提高火箭的速度就可以讓這枚火箭脫離地球軌道而進入太陽公轉(zhuǎn)軌道。

如果從 200 km 高度的近地圓軌道出發(fā)，真正要算的是逃逸速度和這部分余速的合成，公式為：

代入數(shù)值后大約是 4.5 km/s 的理想點火速度。

第三步，返回進入火箭軌道后，到第二年返回到時候會比地球公轉(zhuǎn)的速度快5.08千米/秒，也就是說，它雖然“幾何上”相遇了，但速度并不匹配。要想被地球再次捕獲，就必須進行制動，否則，火箭只會從地球身邊一掠而過。這時候又回到了火箭公式，Δv又起到作用了，我們需要向火箭飛行的反方向啟動火箭，讓火箭慢慢的被地球引力所捕獲。

以上這些，就是錢老考題的標準答案了！不過，這個東西并不是錢老考題的正確答案。

如果用這個方法答題去設(shè)計一枚圍繞太陽飛一圈在飛回地球的火箭飛行彈道還是不夠的。畢竟，所有的火箭飛行都是以完成任務(wù)為目的的。

圍繞太陽兜了一個比地球還大的圈子，與其費勁繞遠路，不如直接在地球軌道上放一顆衛(wèi)星繞一年，性價比可能更高。正因如此，這道題才顯得特別：它不是讓你算一個“能飛多遠”的結(jié)果，而是考察你是不是能用嚴謹?shù)姆椒ò褑栴}拆解清楚。

就軌道計算來說，一枚近日軌道衛(wèi)星所承載的技術(shù)難度遠比人們想象的要大。我們都熟悉地球的第一宇宙速度——7.9 km/s，這是擺脫地球引力、進入近地軌道的最低門檻�？扇绻麚Q成太陽，用同樣的方法來算“第一宇宙速度”，結(jié)果會是驚人的 473 km/s，差不多是地球的 60 倍。

那么問題來了：為什么地球卻能以區(qū)區(qū) 29.8 km/s 的速度，安安穩(wěn)穩(wěn)地繞太陽公轉(zhuǎn)？原因其實很樸素——地球離太陽足夠遠。距離把太陽的引力削弱了許多，正好讓地球用一個“溫和”的速度就能維持軌道。

這個現(xiàn)象在地球體系里也能找到類比。比如地球同步軌道上的衛(wèi)星（距離地面35786 千米），從地面看仿佛“靜止不動”，速度是零；但在更高層次的參考系里，它其實以大約 3.07 km/s 的速度繞地球飛行。速度的大小，往往取決于你選擇的參照系。

正因如此，那驚人的 473 km/s，在目前的人類科技條件下，還完全不可能實現(xiàn)。把宏觀物體在 J2000 日心慣性系中加速到這樣的速度，并且還要做到可控，遠遠超出了現(xiàn)有的推進手段。作為對比，人類迄今為止飛得最快的宏觀航天器——旅行者 1 號，在 J2000 參考系中的速度也不過 17 km/s 左右（v∞），和 473 km/s 相差了整整一個數(shù)量級以上。

所以……錢老會不知道這件事情嗎？那么““地球上發(fā)射一枚火箭，繞太陽一周后返回地球，請列出其運動方程””當(dāng)初這還是個問題嗎？

錢老當(dāng)然清楚這些。在他那個年代，中國的航天事業(yè)才剛剛起步，計算條件極為有限，甚至連最基礎(chǔ)的計算尺都要靠他自掏腰包捐助學(xué)生。他出的題目，從來都不是為了讓學(xué)生在紙面上得出一個漂亮的“最終答案”。真正的目的，是訓(xùn)練一種思維方式：面對復(fù)雜的現(xiàn)實問題，你能不能把它拆開、抽象成方程，再逐層分析和求解。

在這一點上，錢老的考題其實很“狡猾”。他表面上拋出一個看似離奇的問題——火箭繞太陽飛一圈再回來。但只要學(xué)生一頭扎進去，就會發(fā)現(xiàn)：這背后涉及的，既有天體力學(xué)的兩體解、三體問題的不可積，又有工程上的拼接圓錐近似，還有能量收支、再入捕獲的 Δv 預(yù)算。任何一個環(huán)節(jié)都不可能被輕易跳過。最終，學(xué)生哪怕沒算出完整軌道，也會在這個過程中深刻體會到什么叫“系統(tǒng)工程”的思維。

這就是W君開始說中國人的文化太糾結(jié)于“結(jié)果”，而不是“等于（equal）”的原因了。

數(shù)學(xué)從來都不是算數(shù)，是不要結(jié)果的。錢老讓大家列出運動方程的過程也不是要一個答案而是驗證大家是不是真的學(xué)會了完整的知識。這件事和張三豐教張無忌太極拳一樣——“你忘了嗎？”“還沒有忘干凈？”“那繼續(xù)忘掉”是相同的道理，在中國的一些武學(xué)里面叫做“忘形得意”，不在于招式的死記，而在于你是否掌握了背后的勁路與呼吸。

要是W君當(dāng)年在課堂，就會斜愣著眼問錢老，“您真要結(jié)果嗎？似乎紙不夠啊”。

但，基本的幾步方程還是還是可以進行進一步的推導(dǎo)的。剛剛在說的概念，其實已經(jīng)包括了1AU位置上運行2年后返回地球的特定計算——這就是一個最讓人不屑的“答案”。

運動方程呢？

我們可以基于這個答案聯(lián)立運動方程！0.9AU、0.5AU、0.1AU的軌道方程我們都可以推導(dǎo)出來，這時候再利用霍夫曼軌道轉(zhuǎn)移公式我們就可以建立轉(zhuǎn)移軌道和轉(zhuǎn)移路徑。

例如向0.5AU深入太陽系：

以日心 J2000 慣性系計算，1 AU 圓軌道速度 v1=29.78km/s，目標半徑r2=0.5AU，

然后就是推速度了，近端減速遠端加速。軌道就會逐漸的重整為想要的形狀。

深入太陽系（靠近太陽）的事情，人類一直在做，今天一個名叫派克的太陽探測器正在一遍一遍的圍繞太陽近距離飛行。

在 2024 年 11 月 6 日，帕克太陽探測器完成了最后一次霍曼轉(zhuǎn)移機動，正式進入了距離太陽0.046 個天文單位（約 9.86 個太陽半徑）的極端軌道。這意味著它比水星的近日點還要靠近太陽足足六倍。

為了抵達這里，帕克并不是單純依靠自身推進器“硬沖”進去的，而是通過精巧的軌道設(shè)計，反復(fù)借助金星的引力彈弓效應(yīng)來減速、調(diào)整軌道傾角，并逐步縮小近日點半徑。每一次近金星飛掠，都會像擰動螺絲一樣，把探測器的軌道往太陽更深處推進一步。

在近日點，這個探測器的速度已經(jīng)達到了191km/s。

就這個探測器的路徑推演而言，所涉及的計算量已經(jīng)達到了天文數(shù)字。即便是依靠當(dāng)今最先進的計算機來進行軌道設(shè)計與數(shù)值積分，也依然不可能“算盡”所有影響因素——太陽風(fēng)、相對論修正、熱效應(yīng)、姿態(tài)控制誤差，每一項都可能帶來擾動。

那么錢老的意圖在哪里？

他并不是要學(xué)生真的算出一條可發(fā)射的軌跡。這份考題出自《星際航行概論》的課程，而這門課本身就是錢老在中國科大開設(shè)的通識教育——它的目的不是培養(yǎng)幾個馬上能設(shè)計火箭的技師，而是訓(xùn)練學(xué)生面對龐大復(fù)雜系統(tǒng)時的建模能力和分解能力。

所以，這道題的真正意義，不在于算出一個完整軌道，更不在于和工程實際完全對接，而是告訴學(xué)生：面對龐大未知，不要被復(fù)雜性嚇住，先寫下方程，把問題拆開，再逐步求解。

更需要大家留意的一點是，錢老是“工程控制論”的奠基人，從工程控制論的角度來說，真的不一定要解答特定問題的特定答案，而是要找出關(guān)鍵控制點。這樣才能用最小的工程代價來對一個復(fù)雜的問題求解。

其實在各種方程中是有邊界性的。這些過程不能單一依靠某個公式的數(shù)值解。

例如剛剛給大家埋了個扣，要計算0.5個AU天文單位的時候太陽的軌道速度。這個公式能不能算貼近太陽的速度呢，似乎能吧？

你要看0.5被放在了公式的哪個位置啊！真能用0做分母嗎？那樣不數(shù)值爆炸了？而且不厭其煩的去開根號？倒不如每次一半的距離去逼近。而這個逼近的過程恰恰就是在控制論中修正誤差提供反饋的過程——中間砍一刀大幅度簡化計算過程和縮減計算步驟。

在今天的工程里，這套邏輯已經(jīng)無處不在：導(dǎo)彈沿著既定彈道飛行時要不斷測量和修正，雷達鎖定目標時要不斷濾波和反饋，你家空調(diào)調(diào)節(jié)溫度時也在實時修正誤差、趨向穩(wěn)定。

考完試的學(xué)生下學(xué)期不就是開《工程控制論了》嗎？！ 所以你覺得錢老出這種傳奇考試題的意圖是啥？