又是“偉神”的問(wèn)題，后臺(tái)PM讓W(xué)君來(lái)講講“解開(kāi)”納維－斯托克斯方程的偉大之處，還得讓W(xué)君給大家說(shuō)一下韋神“解開(kāi)”了納維－斯托克斯方程，怎么就讓我們的戰(zhàn)斗機(jī)飛到“10馬赫”了？

先亮一個(gè)觀點(diǎn)——如果說(shuō)NS方程和戰(zhàn)斗機(jī)設(shè)計(jì)之間不是毫無(wú)關(guān)系，那也只能說(shuō)是有個(gè)毛線關(guān)系。

先別急著噴，今天大家是來(lái)著了，這篇文章一定會(huì)捅破大家心里的一層窗戶紙。

首先，咱們得明確一點(diǎn)，韋東奕確實(shí)是個(gè)干實(shí)事的數(shù)學(xué)家，但別神化了。

韋東奕不是吹出來(lái)的。他確實(shí)在納維－斯托克斯方程的數(shù)學(xué)研究上做出了系統(tǒng)性成果，尤其在解的局部正則性、奇點(diǎn)傳播、能量耗散等方面，寫(xiě)出的論文不僅發(fā)表在頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊上，而且結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯清晰，不玩花活。這一點(diǎn)是值得尊重的。

在2015年韋東奕發(fā)表他最著名的論文《軸對(duì)稱(chēng)納維-斯托克斯方程的正則性準(zhǔn)則》（Regularity criterion to the axially symmetric Navier–Stokes equations）這也就是很多人說(shuō)韋東奕解開(kāi)了納維-斯托克斯方程。

但他的這篇論文的研究主要研究觀點(diǎn)集中在“如果三維軸對(duì)稱(chēng)的Navier–Stokes流動(dòng)中，角速度分量 uθ 做到符合一定的無(wú)量綱最大范數(shù)上界，那么這一流動(dòng)解將是全時(shí)光滑的�！边@一個(gè)研究結(jié)果上。

講人話就是：只要你能證明這個(gè)繞軸旋轉(zhuǎn)的速度“別太大”，那這個(gè)系統(tǒng)就不會(huì)出現(xiàn)數(shù)學(xué)意義上的奇點(diǎn)或爆炸。你要說(shuō)這有什么用？這個(gè)結(jié)論的確對(duì)是“千禧年難題”這類(lèi)純數(shù)學(xué)領(lǐng)域有指導(dǎo)意義，對(duì)NS方程的結(jié)構(gòu)性理解有推進(jìn)作用。

說(shuō)到這里，咱們就得給99.99%的中國(guó)人掰正一個(gè)觀點(diǎn)了。咱們的傳統(tǒng)9年義務(wù)教育體系下，“方程”這個(gè)名詞在使用的時(shí)候通常都會(huì)加上“解”這個(gè)動(dòng)詞，“解方程”似乎就成了大多數(shù)中國(guó)人的一個(gè)固有認(rèn)知。但實(shí)際上能“求出解的方程”微乎其微，大部分方程是沒(méi)有解的。

這是納維-斯托克斯方程的標(biāo)準(zhǔn)寫(xiě)法：

我們可以把它拆成這么幾個(gè)部分：

但是標(biāo)準(zhǔn)的納維-斯托克斯方程是有約束條件的，這個(gè)條件是代表的是流體不可壓縮。你把它代入到公式中你會(huì)發(fā)現(xiàn)可以消減很多項(xiàng)目。

最終各種約束條件都代入到公式中把可以消去的項(xiàng)目消除后，這個(gè)公式的真身就顯示出來(lái)了——?jiǎng)恿渴睾愎剑≡倮^續(xù)降維度就是牛頓第二定律f=ma

為什么會(huì)這樣？其實(shí)很簡(jiǎn)單，“初中生可以制造任何物質(zhì)的核聚變”——他們只需要把一個(gè)球放在一個(gè)平面上就可以做到了。

在初中教育中告訴我們一個(gè)圓和一條線之間相切只有一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)無(wú)限小

當(dāng)一個(gè)有質(zhì)量的球體放在一個(gè)平面上，球體和平面的接觸點(diǎn)上壓力無(wú)窮大。這可以滿足核聚變的所有要求。但是那是理想情況，真實(shí)的實(shí)際情況是球體會(huì)自己變形同時(shí)也壓迫平面變形，于是接觸的并不是一個(gè)點(diǎn)而是一個(gè)面，這個(gè)“面”上沒(méi)有多大的壓強(qiáng)。

納維-斯托克斯方程和這個(gè)球是一樣的，是在流體事件中依靠擴(kuò)展牛頓第二定律來(lái)描述流體特性的一個(gè)方程。也就是說(shuō)給f=ma在特定的各種可預(yù)測(cè)、可觀測(cè)的前提下讓結(jié)果更趨近于真實(shí)情況。

所以——方程的本質(zhì)并不是用來(lái)得出“解”的，而是用來(lái)“描述一種現(xiàn)象和變量之間的關(guān)系。

所以當(dāng)你看到E=mc2的時(shí)候，只有傻子才會(huì)去代入具體的質(zhì)量m去算E到底是多大。

物理學(xué)只是用數(shù)學(xué)作為描述工具來(lái)表示質(zhì)量和能量之間的關(guān)系罷了。沒(méi)有誰(shuí)會(huì)較真到底具體的運(yùn)算結(jié)果是怎樣的。

這里，咱們就提到了一個(gè)詞匯“數(shù)學(xué)”。數(shù)學(xué)可以作為物理學(xué)、化學(xué)等很多具體的學(xué)科的描述工具，但是千萬(wàn)得注意一點(diǎn)，數(shù)學(xué)是自成體系的，并不以這些學(xué)科作為支撐，它是一門(mén)獨(dú)立的、自治的、內(nèi)在封閉邏輯自洽的學(xué)科。

就好像我們可以用中文寫(xiě)一本菜譜指導(dǎo)一名廚師做出一盤(pán)魚(yú)香肉絲，并不能說(shuō)魚(yú)香肉絲和中文有任何關(guān)系。畢竟這本菜譜還可以用日文、法文去寫(xiě)；甚至可以不僅僅靠一本菜譜來(lái)學(xué)，看一段視頻也是可以指導(dǎo)廚師如何炒出魚(yú)香肉絲的。

那么韋東奕的論文是不是解了納維-斯托克斯方程了呢？并沒(méi)有！

如果答案是肯定的，那么自媒體的口風(fēng)就會(huì)變成新的高度了，例如“中國(guó)數(shù)學(xué)家破解世界七大數(shù)學(xué)難題，斬獲百萬(wàn)獎(jiǎng)金”——沒(méi)錯(cuò)，克雷數(shù)學(xué)學(xué)院在2000年5月21日列出了七大未解難題，懸賞一百萬(wàn)美元，獎(jiǎng)勵(lì)找到數(shù)學(xué)證明或反例的任何人。其中一個(gè)問(wèn)題就是“納維-斯托克斯存在性與光滑性”，韋東奕的論文只是在特定的條件下得出來(lái)結(jié)論，但這個(gè)“懸賞”還在，也就是說(shuō)明還沒(méi)有被“解開(kāi)”。

那么既然這個(gè)方程是描述流體力學(xué)的，怎么就和飛機(jī)設(shè)計(jì)一毛錢(qián)關(guān)系都沒(méi)有了呢？

原因就是這個(gè)方程現(xiàn)在是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的事情，已經(jīng)和飛機(jī)的設(shè)計(jì)關(guān)聯(lián)性已經(jīng)不大了。

數(shù)學(xué)是靠公理+證明得出結(jié)論的。

而工程學(xué)則是靠輸入變量和輸出變量得出結(jié)果的。這兩個(gè)事情似乎都是算數(shù)，但完全不是一個(gè)路數(shù)。

說(shuō)個(gè)最簡(jiǎn)單的事情，大家來(lái)體會(huì)一下。

在計(jì)算機(jī)屏幕上有x1，y1 和x2，y2這兩個(gè)點(diǎn)，需要畫(huà)一條直線連接兩點(diǎn)也就是實(shí)現(xiàn) line(x1,y1,x2,y2)這個(gè)命令。

換成初中代數(shù)就是已知x1，y1 和x2，y2在同一直線上，點(diǎn)m在這條直線上，給出x計(jì)算y。

和初中代數(shù)不同的就是從x1到x2上所有的點(diǎn)都要取出一個(gè)y值。然后在屏幕上畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，這就成了一條線。

給出x計(jì)算y，通過(guò)點(diǎn)斜式的方法來(lái)計(jì)算就可以了也就是：

給定x后

但是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)算法中根本不這樣計(jì)算，畢竟line這個(gè)函數(shù)如果要這么消耗計(jì)算資源的話，計(jì)算機(jī)的性能提高幾千倍都跑不起來(lái)。

畢竟line這個(gè)函數(shù)如果要這么消耗計(jì)算資源的話，計(jì)算機(jī)的性能提高幾千倍都跑不起來(lái)。

但其實(shí)計(jì)算機(jī)上哪有小數(shù)位的像素呢？我們根本不需要去求x=4.5678的時(shí)候的y值。那么傳統(tǒng)數(shù)學(xué)計(jì)算方法m的浮點(diǎn)運(yùn)算部分就沒(méi)有必要存在了。相反，我們只需要知道在x增加幾個(gè)像素之后y增加幾個(gè)像素位置就可以了，于是兩個(gè)循環(huán)就可以搞定畫(huà)線的操作。
現(xiàn)在回到問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，經(jīng)典的點(diǎn)斜法有沒(méi)有錯(cuò)誤呢？在畫(huà)線上一點(diǎn)沒(méi)有錯(cuò)，但是這是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法，可以保證小數(shù)點(diǎn)后幾百位都是精確的。

而為什么計(jì)算機(jī)上不用這么經(jīng)典的方法呢？原因很簡(jiǎn)單——屏幕上的像素沒(méi)有半個(gè)的！用整數(shù)就夠了，干嘛要搞浮點(diǎn)運(yùn)算浪費(fèi)計(jì)算資源呢？

這就是“數(shù)學(xué)”和“工程”的區(qū)別，在給定了一個(gè)目標(biāo)的前提下，經(jīng)典數(shù)學(xué)并不是唯一一個(gè)解決問(wèn)題的途徑。而且，很可能還是費(fèi)力不討好的方式之一。

納維-斯托克斯方程其實(shí)也是一樣，本身是個(gè)無(wú)解的方程，同時(shí)還需要大量復(fù)雜的有局限條件的運(yùn)算。放在工程學(xué)領(lǐng)域除了增加計(jì)算負(fù)擔(dān)之外并沒(méi)有任何好處。

在真正的飛行器設(shè)計(jì)中，大多數(shù)是依靠經(jīng)驗(yàn)公式和經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行構(gòu)建算法模型的。這些數(shù)據(jù)有可能是一個(gè)國(guó)家或者是一個(gè)研究所研制某種飛行器流傳下來(lái)幾十年的一個(gè)莫名其妙的“數(shù)”，沒(méi)錯(cuò)，用“莫名其妙”再好不過(guò)了，這數(shù)怎么來(lái)的已經(jīng)沒(méi)有任何人可以說(shuō)清楚了，但是用這個(gè)“數(shù)”，就可以成功，而不用這個(gè)數(shù)大概率失敗。

各個(gè)國(guó)家各個(gè)設(shè)計(jì)局都有大量的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在長(zhǎng)時(shí)間的設(shè)計(jì)過(guò)程中這些數(shù)據(jù)不斷用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。但很少有人去通過(guò)經(jīng)典的公式去計(jì)算驗(yàn)證這些數(shù)據(jù)的正確性。一方面是驗(yàn)證這些數(shù)據(jù)的計(jì)算量龐大，另一方面也沒(méi)什么實(shí)質(zhì)性的作用。

在CDF（數(shù)字風(fēng)洞）參與到航空器設(shè)計(jì)中來(lái)的時(shí)候，也不會(huì)直接使用“納維－斯托克斯方程”，而是使用“雷諾平均”、“大渦模擬”等經(jīng)典的方程的削減子集。

在計(jì)算過(guò)程中也會(huì)建立適度大小的網(wǎng)格（mesh），這個(gè)過(guò)程叫做有限元分析。并不會(huì)去求連續(xù)值而是去求統(tǒng)計(jì)近似值。這個(gè)就有點(diǎn)和咱們前面講的“畫(huà)線”的算法相通了：王八排隊(duì)——大概（蓋）齊。

道理就是，反正實(shí)際上的飛行環(huán)境也和實(shí)驗(yàn)室的環(huán)境不同，也就沒(méi)有必要死磕精確度。反而可以通過(guò)快速的運(yùn)算和實(shí)驗(yàn)更快速度的找到最優(yōu)解。

經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)其實(shí)是航空設(shè)計(jì)的一個(gè)底蘊(yùn)，無(wú)論是美國(guó)NASA的經(jīng)驗(yàn)公式數(shù)據(jù)庫(kù)、波列夫設(shè)計(jì)局的內(nèi)傳公式、還有咱們逐步建立的“渦噴發(fā)動(dòng)機(jī)”一代一代口口相傳的臨界調(diào)整值都是真正的工程學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

相反，沒(méi)有人去拿著“納維－斯托克斯方程”去核算設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)，納維－斯托克斯方程方程當(dāng)然不是錯(cuò)的，就像點(diǎn)斜式公式當(dāng)然沒(méi)錯(cuò)。錯(cuò)的，是在該用布雷森漢（Bresenham）算法的時(shí)候，非要去一位一位地算小數(shù)點(diǎn)后六位的y坐標(biāo)值。數(shù)學(xué)想追求完美逼近，工程只要在合理誤差下算得快、能跑、夠穩(wěn)才好。這本身就是兩個(gè)不同的方向了，沒(méi)必要硬把他們撮合在一起。

等你靠解方程造出戰(zhàn)斗機(jī)飛的時(shí)候，造發(fā)動(dòng)機(jī)的、測(cè)量風(fēng)洞數(shù)據(jù)的、測(cè)雷達(dá)反射率的、建控制系統(tǒng)的、搞熱結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計(jì)的這些工程師，早就退休兩輪了。