美國(guó)康奈爾大學(xué)教授史蒂文·斯托加茨（Steven Strogatz）因在動(dòng)力系統(tǒng)[1]與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[2]領(lǐng)域的開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)享譽(yù)數(shù)學(xué)界。在動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域，他研究了蟋蟀的同步鳴叫等現(xiàn)象；在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論方面，他于 1998 年在《自然》雜志發(fā)表的論文《小世界網(wǎng)絡(luò)的集體動(dòng)力學(xué)》（Collective dynamics of small-world networks）[3]掀起了一場(chǎng)持續(xù)至今的研究熱潮。盡管取得了諸多成就，斯托加茨或許會(huì)說(shuō)，他最重要的身份并非研究者，而是“翻譯者”。

在一次與The Believer雜志的訪談對(duì)話中，從斯托加茨教授的著作《微積分的力量》談起，教授通過(guò)微積分歷史上的最重要人物闡述了數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系，并對(duì)確定性和不可預(yù)測(cè)性進(jìn)行了分析。

采訪&寫(xiě)作| Prashanth Ramakrishna

翻譯|Alex

在搜尋混沌理論課程的補(bǔ)充材料時(shí)，我第一次接觸到斯托加茨博士的工作。他的著作 Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering 對(duì)于我深入理解數(shù)學(xué)具有重要意義——我當(dāng)時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的定義還停留在封閉課堂環(huán)境中的定理、證明和計(jì)算。但實(shí)際上，數(shù)學(xué)的力量在于它能夠極其精確地描述自然世界的運(yùn)行規(guī)律，并利用這些描述預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展變化。不久之后，我開(kāi)始從事涉及現(xiàn)實(shí)世界動(dòng)態(tài)現(xiàn)象建模的工作，比如研究青春期大鼠看似隨機(jī)的睡眠-覺(jué)醒周期、動(dòng)脈中血液脈搏波的反射，以及組織如何通過(guò)招聘來(lái)維持意識(shí)形態(tài)的多樣性。事實(shí)上，斯托加茨的啟發(fā)徹底改變了我對(duì)數(shù)學(xué)的看法，我意識(shí)到，如同畫(huà)家揮動(dòng)畫(huà)筆，數(shù)學(xué)家運(yùn)用數(shù)學(xué)描繪出了現(xiàn)實(shí)世界的某種面貌。 萬(wàn)物皆 模式（Life is patterns） ，關(guān)鍵在于能否有人將它們辨識(shí)出來(lái)。這種頓悟，我確信，不會(huì)只發(fā)生在我一個(gè)人身上。

Steven Strogatz（照片由 John Groo 提供）

在一個(gè)以嚴(yán)寒著稱的伊薩卡市的冬日，我滿懷期待地來(lái)到康奈爾大學(xué)——這里正是斯 托加茨博士任教的地方，他擔(dān)任 Jacob Gould Schurman 應(yīng)用數(shù)學(xué)教授。我這次專程為他的新書(shū)《微積分的力量》（Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe，2019）而來(lái)。我們?cè)谒霓k公室里聊了好幾個(gè)小時(shí)——不僅談到了微積分的歷史，也聊到了父親在我小時(shí)候與我玩的一些（數(shù)學(xué)）近似游戲、人文與科學(xué)之間的分歧、良好的數(shù)學(xué)教育應(yīng)具備哪些要素、數(shù)學(xué)模型的局限，以及美感、直覺(jué)與創(chuàng)造力在數(shù)學(xué)中的重要作用等諸多話題。本文即是那場(chǎng)對(duì)話的編輯整理版。

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《微積分的力量》（中信出版社，2021年1月），購(gòu)書(shū)可索取發(fā)票

采訪結(jié)束后，斯托加茨教授非常友善地開(kāi)車送我回到了我當(dāng)時(shí)居住的那間略顯破舊的兄弟會(huì)宿舍。當(dāng)天深夜，在煙草和披薩的混合香氣中，我與一個(gè)學(xué)生閑聊起來(lái)。當(dāng)我提到斯托加茨教授時(shí)，他一下子興奮起來(lái)：“動(dòng)力學(xué)傳奇?。atts-Strogatz 模型，不就是他嗎？大家都說(shuō)一定要上他的課！可惜課程安排不允許，實(shí)在遺憾?！?/p>

01

微積分的天體起源

The Believer（以下簡(jiǎn)稱BLVR） ：在我看來(lái)，《微積分的力量》不僅試圖解釋微積分是如何發(fā)展的，還試圖說(shuō)明它為何行之有效。這種理解是否過(guò)于簡(jiǎn)單？是否符合你寫(xiě)作這本書(shū)的初衷？

斯托加茨（以下簡(jiǎn)稱SS） ：我寫(xiě)這本書(shū)主要想探討三件事。前兩件相互關(guān)聯(lián)——正如你所說(shuō)，我想解釋微積分的由來(lái)以及它為何有效。第三件事是展示微積分如何改變?nèi)祟惖纳?。我的目?biāo)是要將歷史、概念和應(yīng)用全部融入到書(shū)中。不過(guò)，歷史并非我的專長(zhǎng)。數(shù)學(xué)史上流傳著許多軼事趣聞，想想你的老師們，他們很可能也講過(guò)高斯或黎曼的故事。我發(fā)現(xiàn)，幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，我們一直喜歡談?wù)撨@些話題。我甚至覺(jué)得自己了解阿基米德是什么樣的人。當(dāng)然，這不過(guò)是自欺欺人罷了。

BLVR ：人們往往傾向于神化數(shù)學(xué)家，仿佛他們擁有超能力一般。數(shù)學(xué)家的殿堂里匯聚了如此多樣的人物。但我總覺(jué)得這種多樣性呈現(xiàn)出一種兩極分化的狀態(tài)，一端是極度自負(fù)，另一端則是全然忘我。這種二元性在書(shū)中的一些人物身上得到了很好地體現(xiàn)。

SS ：是的，像是費(fèi)馬和笛卡爾，還有牛頓和萊布尼茨。關(guān)于伽利略和開(kāi)普勒， 雖然我不會(huì)將他們稱為對(duì)手 ，但他們是同時(shí)代的人，可以很自然地并列提及。然而，我最終還是省略了許多重要的歷史人物，比如黎曼、高斯、柯西和拉格朗日。寫(xiě)書(shū)時(shí)我開(kāi)始意識(shí)到，我希望能盡量降低這本書(shū)的數(shù)學(xué)門(mén)檻。比如，我甚至要 假設(shè)我的編輯沒(méi)學(xué)過(guò)高中代數(shù)。如果連這些基礎(chǔ)都沒(méi)有，那談?wù)摾杪某删陀钟惺裁匆饬x呢？我希望真實(shí)地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)，這樣任何讀者都能從零開(kāi)始理解。

BLVR ：幸運(yùn)的是，要討論微積分的兩個(gè)主要組成部分——微分和積分，并不需要復(fù)雜的歷史背景。說(shuō)到這里，我意識(shí)到人們往往會(huì)忽略數(shù)學(xué)名詞本身所包含的解釋價(jià)值：“微分”是將連續(xù)的整體分解成無(wú)限小的組成部分；而“積分”則是將許多細(xì)小的部分重新整合為一個(gè)整體。

SS ：我也這樣認(rèn)為。你這種說(shuō)法似乎特別自然。微積分之所以十分強(qiáng)大，是因?yàn)槭澜缟显S多事物都可以被視為連續(xù)體，并且可以不斷細(xì)分。時(shí)間、空間及物質(zhì)實(shí)體，皆是如此。

BLVR ：?jiǎn)栴}是：為什么微積分會(huì)產(chǎn)生如此深遠(yuǎn)的影響？

SS ：如果要用一句話總結(jié)，那就是：微積分是研究“變化”的數(shù)學(xué)。更準(zhǔn)確地說(shuō)，它研究的是“連續(xù)變化”。我們這里說(shuō)的不是那種胡攪蠻纏的變化， 而是 比如一位HIV感染者在接受三聯(lián)雞尾酒療法后，血液中的病毒載量會(huì)迅速下降這樣的變化；也包括太陽(yáng)系天體是如何運(yùn)動(dòng)的，這曾是早期重要的未解之謎，并由此引出了一個(gè)有趣的問(wèn)題?？v觀歷史，人類如此癡迷于星辰、月亮和太陽(yáng)，但是，為什么？為什么這些天體是人類最早能夠數(shù)學(xué)化的對(duì)象？那時(shí)候，人們對(duì)草藥、動(dòng)物和農(nóng)業(yè)已經(jīng)有所了解，但在這些領(lǐng)域，基本只依靠計(jì)數(shù)就足夠了。為什么那些高深的數(shù)學(xué)（比如三角函數(shù)的微積分運(yùn)算）最先應(yīng)用在天文學(xué)上？我心里有個(gè)答案，不過(guò)我很好奇你有沒(méi)有想過(guò)這個(gè)問(wèn)題。

BLVR ：是的，我也想過(guò)這個(gè)問(wèn)題。我認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題的答案有兩部分。第一，某些天體的運(yùn)行顯然有規(guī)律可循，即使人們一開(kāi)始不清楚這些規(guī)律具體是什么，也能強(qiáng)烈地感知到它們的存在，而且只要仔細(xì)觀察，假以時(shí)日就能發(fā)現(xiàn)。第二，那些規(guī)律能夠被可靠地觀測(cè)到。而這兩點(diǎn)，最終成為科學(xué)的必要前提：察覺(jué)到某事物值得研究并找到研究它的可靠方法。

SS ：非常好。另外，天體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度也剛剛好——既不太快，也不太慢。那些變化非常迅速的現(xiàn)象，甚至只是從橋上扔下一塊石頭，在當(dāng)時(shí)其實(shí)是很難研究的，因?yàn)槟菚r(shí)沒(méi)有足夠精確的時(shí)鐘，無(wú)法測(cè)量石頭落入水中的時(shí)間。一切都發(fā)生得太快了！另外 也要記住，這些觀測(cè)工作往往是在夜晚進(jìn)行的，沒(méi)有電燈，四周漆黑一片。而在世界上很多地方，夜空本身就非常壯觀。

不過(guò)，同樣讓人費(fèi)解的是，這些天體距離地球非常遙遠(yuǎn)，人類為什么會(huì)想要研究它們？你可能會(huì)認(rèn)為理應(yīng)最先發(fā)展醫(yī)學(xué)，因?yàn)樗P(guān)乎生死，是人類最迫切需要解決的問(wèn)題。但醫(yī)學(xué)太復(fù)雜了，直到今天，其中的規(guī)律仍然成謎。所以，我想你說(shuō)得對(duì)——天體運(yùn)動(dòng)呈規(guī)律性，運(yùn)行速度緩慢，而且肉眼可以觀測(cè)到。因此，人們可以繪制圖表并記錄下來(lái)。最終，最遙遠(yuǎn)的對(duì)象反而最先被理解。微積分正是在那場(chǎng)追尋行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律的古老探索中逐漸萌芽的。而“行星”一詞的本意，正是 “ 漫游 的星辰” 。

BLVR ：仰望星空是一種分離“運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象”的自然方式。許多最早為微積分奠定基礎(chǔ)的重要進(jìn)展都源于“人為分離運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象”方法的發(fā)展。比如，我現(xiàn)在腦海中浮現(xiàn)的就是伽利略讓小球在帶槽斜面上滾動(dòng)的實(shí)驗(yàn)。正是這種方法論上的突破，我們才能研究地球運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

SS ：是的，伽利略的實(shí)驗(yàn)繼承了阿基米德的精神。阿基米德做了很多漂浮物體和類似性質(zhì)的簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)。伽利略就像是現(xiàn)代版的阿基米德。方法論的另一個(gè)重大突破就是刻意忽略某些因素的影響。比如，摩擦力在現(xiàn)實(shí)生活中不可或缺，而伽利略卻費(fèi)盡心思將小球軌道打磨得光滑筆直，因?yàn)樗麑?duì)摩擦力不感興趣 。他真正想理解的是重力以及重力如何影響物體的運(yùn)動(dòng)。

做這些小實(shí)驗(yàn)是為了弄清楚宇宙中的事物是如何變化的，而描述這種變化的語(yǔ)言就是微積分。在代數(shù)中，我們會(huì)學(xué)到用關(guān)系式來(lái)思考問(wèn)題，比如“距離 = 速度 × 時(shí)間”。但這只適用于物體勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，而宇宙中很多物體并非勻速運(yùn)動(dòng)，比如行星圍繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，靠近太陽(yáng)時(shí)速度加快，遠(yuǎn)離時(shí)就慢下來(lái)。再比如，邁克爾·喬丹扣籃時(shí)，跳到最高點(diǎn)時(shí)好像懸停在空中，接著突然加速下落。這些運(yùn)動(dòng)的速度變化必須找到方法描述。而幾何也有類似的局限：古典幾何學(xué)能夠處理直線構(gòu)成的形狀， 并用直線幾何方法來(lái)量化光滑曲線（如拋物線）下的面積。 但要處理光滑曲線，需要一種新的思想，那就是微積分。

02

鄰近于美

BLVR ：微積分的發(fā)展凝聚了眾多數(shù)學(xué)家的智慧。因此，我想我們是不是應(yīng)該介紹一下你書(shū)中的重要人物？

SS ：我本想在書(shū)中講述一千個(gè)人物的故事，但礙于篇幅所限，我決定重點(diǎn)介紹阿基米德。 我認(rèn)為他是古代最重要的數(shù)學(xué)家，他當(dāng)時(shí)所解決的問(wèn)題，現(xiàn)在仍然困擾著SAT的考生。阿基米德成功量化了許多由光滑曲線構(gòu)成的形狀，比如圓、球體和拋物線。微積分的核心就是“變化”。直線的方向不會(huì)發(fā)生改變，而根據(jù)定義，曲線的方向則不斷變化。因此，曲線是研究“變化”的重要內(nèi)容。阿基米德是第一個(gè)能夠通過(guò)測(cè)量曲面物體的屬性（如表面積、體積和弧長(zhǎng)）描述這種變化的人，而這一切的背后，是他對(duì)“無(wú)窮”的駕馭。

BLVR ：他駕馭無(wú)窮的方法，便是巧妙地將物體拆解再重新組合，從而為后來(lái)微積分的發(fā)展提供了重要線索。

SS ：他簡(jiǎn)直是切割形狀的藝術(shù)大師。這很像立體主義。布拉克（ Georges Braque ，法國(guó)著名立體主義畫(huà)家）有一幅畫(huà)作，用萬(wàn)花筒一樣的視角展現(xiàn)人走下樓梯的場(chǎng)景。從不連續(xù)的畫(huà)面中，你卻能感受到連續(xù)的動(dòng)作。如何將鋸齒狀的碎片變成光滑的形狀呢？立體主義畫(huà)家在 20 世紀(jì)初懂得了這個(gè)方法，而阿基米德早在公元前 250 年就知道怎么做了：他將一個(gè)像拋物線般平滑的形狀，分解為許多越來(lái)越小的三角碎片。多么奇妙的畫(huà)作！

阿基米德至今仍然如此重要，真是不可思議。動(dòng)畫(huà)人物史萊克光滑的肚子或喇叭形的小耳朵都是由數(shù)百萬(wàn)個(gè)多邊形構(gòu)成的。所有的計(jì)算機(jī)圖形都巧妙地利用無(wú)數(shù)個(gè)微小的多邊形來(lái)近似平滑的面部、腹部、耳朵和其他所有部位。面部外科醫(yī)生使用相同的技術(shù)來(lái)預(yù)測(cè)整形手術(shù)的結(jié)果。因此，通過(guò)運(yùn)用阿基米德的思想，我們可以為外科醫(yī)生提供真正有效的“手術(shù)模擬”。

BLVR ：那古典時(shí)代之后呢？

SS ：我們直接跳到兩千年后的17 世紀(jì)初，那時(shí)人們開(kāi)始量化地球上和天空中物體的運(yùn)動(dòng)方式。接下來(lái)登場(chǎng)的是伽利略和開(kāi)普勒。他們既是數(shù)學(xué)家，也都是富有科學(xué)精神、目光投向數(shù)學(xué)之外的探索者。他們研究數(shù)學(xué)的目的并非僅為數(shù)學(xué)本身，同時(shí)也懷抱著對(duì)自然的敬畏之情。

開(kāi)普勒是個(gè)虔誠(chéng)的 信徒 。盡管他最后當(dāng)了老師，但年輕的時(shí)候他本打算做一名路德教的牧師。他曾一度形容自己處于一種“神圣狂熱”的狀態(tài)。他對(duì)宇宙的規(guī)律抱有一種神秘主義的看法，認(rèn)為自己正在發(fā)現(xiàn)上帝用來(lái)創(chuàng)造宇宙的神圣幾何。開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)行所遵循的定律。雖然他當(dāng)時(shí)還不知道萬(wàn)有引力定律，但他在行星運(yùn)行中發(fā)現(xiàn)了大量的幾何結(jié)構(gòu)。在開(kāi)普勒之前，哥白尼就提出行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的設(shè)想，但開(kāi)普勒用數(shù)學(xué)方法證明了這一點(diǎn)。

BLVR ：你對(duì)開(kāi)普勒的描述，我很感興趣，因?yàn)閺漠呥_(dá)哥拉斯開(kāi)始，數(shù)學(xué)神秘主義就是另一條重要的歷史脈絡(luò)。

SS ：我們不妨說(shuō)明一下什么是數(shù)學(xué)神秘主義。開(kāi)普勒就是一個(gè)神秘主義者，讓我們以他為例。當(dāng)時(shí)，除了地球之外，還有五顆已知的行星，它們靠近太陽(yáng)，分別是水星、金星、火星、木星和土星。有趣的是，如果你畫(huà)一個(gè)五角星，并連接它的五個(gè)角，就會(huì)得到一個(gè)五邊形。另一種更傳統(tǒng)的思考方式是：如果你畫(huà)一個(gè)五邊形，然后從內(nèi)部連接它的角，那么你不僅會(huì)得到一個(gè)五角星，還會(huì)在原始圖形中心生成一個(gè)小五邊形。五邊形是一種能夠自我生成的形狀，并且可以無(wú)限延續(xù)下去。因此，根據(jù)丹·布朗（Dan Brown，美國(guó)懸疑小說(shuō)作家）的說(shuō)法和畢達(dá)哥拉斯的觀點(diǎn)，五邊形象征著生育和女性?！?”在畢達(dá)哥拉斯的數(shù)字命理學(xué)中非常重要，而開(kāi)普勒深受其影響。他注意到有五顆行星，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)五種特殊的立體圖形，即柏拉圖立體（立方體或正四面體），它們的每個(gè)面都是相同的正多邊形。于是他心想：“它們之間一定有聯(lián)系！” 開(kāi)普勒得出結(jié)論，宇宙是基于柏拉圖幾何構(gòu)建的。他在著作《宇宙的奧秘》（ Mysterium Cosmigraphicum ）中提出了一個(gè)方案： 立方體內(nèi)嵌套著十二面體[4]，十二面體內(nèi)又嵌套二十面體[5]，幾乎可以解釋五顆行星的位置以及它們與太陽(yáng)之間的平均距離。這是一個(gè)美麗的設(shè)想，可惜大自然并沒(méi)有采用。

數(shù)學(xué)是宇宙的秘密嗎？開(kāi)普勒對(duì)此深信不疑，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派亦是如此——據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯在發(fā)現(xiàn)音樂(lè)的和諧遵循數(shù)學(xué)定律后說(shuō)出了那句“萬(wàn)物皆數(shù)”。這是一個(gè)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷程的主題。如今我們已很少談?wù)撨@個(gè)話題，因?yàn)槲覀儾幌氚炎约阂暈樯衩刂髁x者。但它依然存在。人們認(rèn)為某些理論之所以優(yōu)美（比如超對(duì)稱就是量子理論極為優(yōu)雅的概括），或許是因?yàn)檫@種美感本身就蘊(yùn)含著某種啟示。這種啟示無(wú)疑對(duì)愛(ài)因斯坦最有效：最美的相對(duì)論版本最終被證明是最好的。數(shù)學(xué)之美與真理之間存在著復(fù)雜的關(guān)系。美能指引我們發(fā)現(xiàn)真理嗎？遺憾的是，并非總能如愿。但有時(shí)可以。

BLVR ：在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，人們往往強(qiáng)調(diào)優(yōu)雅（elegance），而優(yōu)雅或多或少等同于簡(jiǎn)潔（simplicity）。只要人們繼續(xù)把美和簡(jiǎn)潔聯(lián)系在一起，并始終渴望簡(jiǎn)潔能夠?qū)?yīng)事物的根本，那么我認(rèn)為美依然會(huì)是探尋真理的指路明燈。 審美意識(shí)在數(shù)學(xué)直覺(jué)中占據(jù)重要地位， 或許我們需要些許拋棄已有的認(rèn)知才能習(xí)得 。

SS ：讓我們?cè)賮?lái)說(shuō)說(shuō)開(kāi)普勒。與前人一樣，開(kāi)普勒認(rèn)為行星的運(yùn)行軌跡應(yīng)該是一個(gè)圓，因?yàn)閳A形是最簡(jiǎn)單、最完美的形狀。時(shí)至今日，人們?nèi)匀粚A形視為完美和永恒的象征。我們選擇圓形作為結(jié)婚戒指并非偶然——“我愛(ài)你直到永遠(yuǎn)”正如“圓永無(wú)止境”。然而，當(dāng)我們真正觀察行星的運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們并非嚴(yán)格地沿著圓形軌道運(yùn)行。但另一方面， 它們的軌道又非常接近圓形。因此，開(kāi)普勒像托勒密和其他先賢一樣，試圖找到一種方法解釋這一點(diǎn)——這在古代天文學(xué)中被稱為“拯救表象”（saving the appearances）。

BLVR ：真理就是近似于美。

SS ：最后證明，行星運(yùn)行軌道并不是圓形，而是橢圓。它與圓形非常相似。想象一下，你以一個(gè)圓形為底，像飲水機(jī)旁的紙杯那樣不斷擴(kuò)展，就能形成一個(gè)圓錐。然后你以一個(gè)傾斜的角度切割紙杯，得到的截面便是橢圓形?？梢?jiàn)，圓錐從圓形而來(lái)，而橢圓則來(lái)自切割圓錐。這個(gè)純幾何學(xué)中的簡(jiǎn)單形狀竟然揭示了行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)行軌跡——這就是著名的開(kāi)普勒第一定律。觀測(cè)數(shù)據(jù)與理論完美契合，開(kāi)普勒是對(duì)的！他認(rèn)為上帝會(huì)運(yùn)用幾何學(xué)的偏見(jiàn)似乎得到了印證。而且，這個(gè)答案如此簡(jiǎn)單。

另一個(gè)同樣簡(jiǎn)單的“真理”是伽利略的發(fā)現(xiàn)：物體在空中拋擲后的軌跡呈拋物線形狀?！暗懒x上”來(lái)說(shuō)[6]，籃球的投籃軌跡也呈拋物線狀。然而，由于惱人的空氣阻力，實(shí)際情況并非如此。因此，現(xiàn)實(shí)世界……總是近似于美。這也引出一個(gè)問(wèn)題：我們應(yīng)該關(guān)注真實(shí)發(fā)生的現(xiàn)象，還是沉浸在柏拉圖式的理想世界中，探究事物“本應(yīng)如此”的狀態(tài)？如果盲目地追求真理，反而可能無(wú)法洞察那些隱藏在些許“謊言”下的更深層原理。完美的拋物線弧線就是一種“謊言”。伽利略常常選擇這種“謊言”；他選擇看到事物的理想狀態(tài)。

這與藝術(shù)有很多共通之處。我非常喜歡畢加索的一句名言：“藝術(shù)是一種謊言，教我們理解真理?！蔽矣X(jué)得很多偉大的科學(xué)家心中都有這種沖動(dòng)。為了探尋更深層次的真理，他們會(huì)忽略一些不便利的因素。然而，這種做法也存在巨大的風(fēng)險(xiǎn)，因?yàn)橛锌赡軙?huì)被認(rèn)為是不誠(chéng)實(shí)（intellectually dishonest）。

BLVR ：兩千年來(lái)，人們不斷探索各種問(wèn)題的解決方法，而這些方法都隱約暗示 著微積分之類的數(shù)學(xué)應(yīng)該被形式化。 隨后，牛頓橫空出世，他準(zhǔn)備融匯前人的思想，成為那位偉大的集大成者。

SS ：關(guān)于牛頓，實(shí)際上還有一些不太清楚的地方。我們應(yīng)該視他為劃時(shí)代的革命者，還是“站在巨人的肩膀上”的集大成者？事實(shí)上，兩者皆是。最初了解他時(shí)，我曾認(rèn)為人們對(duì)他的評(píng)價(jià)過(guò)高，但隨著研究的深入，我逐漸認(rèn)識(shí)到，牛頓確實(shí)應(yīng)當(dāng)與歷史上那些最偉大的人物齊名——但更多是因?yàn)樗\(yùn)用數(shù)學(xué)深刻影響了我們思考其他學(xué)科的方式，尤其是物理學(xué)和天文學(xué)。牛頓讓我們看到：自然是有邏輯的。而在他之前，我們對(duì)此一無(wú)所知。但人們通常不這樣表述，大多數(shù)人會(huì)說(shuō)：“他發(fā)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)定律。” 牛頓為當(dāng)時(shí)已知的所有地球和天體運(yùn)動(dòng)提供了一致的解釋，即其著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》第三卷中所提出的“世界體系”（The System of the World），其中還包括潮汐、彗星等傳統(tǒng)上不被 提及的自然現(xiàn)象。人們常說(shuō)“他發(fā)明了微積分”，但這種說(shuō)法并不準(zhǔn)確。牛頓的確將所有前人已知的知識(shí)系統(tǒng)地整合起來(lái)，形成一個(gè)成體系的系統(tǒng)，一套如今已高度精簡(jiǎn)和完善的算法，甚至可以教授給普通高中生?；蛟S牛頓成就最有力的證明就是：他將微積分變得非常機(jī)械化，人們甚至不需要理解就能進(jìn)行運(yùn)算。遺憾的是，這恰恰是許多學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的常態(tài)。

03

拉普拉斯妖和心智景觀

BLVR ：微積分的應(yīng)用顯然極其廣泛。但正如你在書(shū)中提到的，它也存在一定的局限性。更確切地說(shuō)，微積分在預(yù)測(cè)時(shí)所依賴的決定論并非總能成立。你使用了一個(gè)源自拉普拉斯[7]的思想實(shí)驗(yàn)說(shuō)明這一點(diǎn)，你能否展開(kāi)談?wù)劊瑸槭裁础袄绽寡保↙aplace ’ s Demon）掌控的 “機(jī)械宇宙”（Clockwork Universe）[8]無(wú)法成立？為什么它的不成立意味著決定論乃至微積分的局限性？

SS ：在 20 世紀(jì) 70 至 80 年代混沌理論興起之前，曾有這樣一種普遍看法：如果一個(gè)系統(tǒng)是決定性的（也就是說(shuō)，其運(yùn)行規(guī)則中絲毫不含偶然或隨機(jī)的成分），那么它就像一部電影，只要被重放，情節(jié)總會(huì)分毫不差地重演一遍。人們相信，任何遵循決定論的系統(tǒng)都是可預(yù)測(cè)的……至少在理論上是這樣。因此，只要你能準(zhǔn)確測(cè)量宇宙中所有粒子初始時(shí)的位置和運(yùn)動(dòng)速度，牛頓定律就能推斷出它們此后每時(shí)每刻的運(yùn)動(dòng)軌跡。所謂的“拉普拉斯妖”，便是這樣一個(gè)擁有無(wú)窮智慧的假想生靈，它能洞悉每一個(gè)粒子的確切位置與速度，并據(jù)此計(jì)算出整個(gè)宇宙的未來(lái)——從歷史進(jìn)程到我們每一個(gè)人的情感波動(dòng)，包羅萬(wàn)象。

拉普拉斯妖主宰著一個(gè)遵循牛頓定律的決定論機(jī)械宇宙，這種思想實(shí)驗(yàn)展現(xiàn)的圖景本身就令人不安。出于種種原因，如今我們已不再相信這種設(shè)想了。現(xiàn)代觀點(diǎn)認(rèn)為，“量子力學(xué)已取代牛頓定律，成為物理學(xué)的主要定律?！比欢幢闶窃谝粋€(gè)完全遵循經(jīng)典牛頓定律的宇宙中，人們也無(wú)法對(duì)任意遙遠(yuǎn)的未來(lái)做出預(yù)測(cè)。你只能將測(cè)量結(jié)果精確到一定的位數(shù)。傳統(tǒng)上，人們認(rèn)為，只要測(cè)量得足夠精確，就能預(yù)測(cè)出超越宇宙年齡的未來(lái)。因此，在實(shí)踐中，人們應(yīng)該能通過(guò)不斷提高初始條件的測(cè)量精度來(lái)改善預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。然而，實(shí)際情況并非如此，尤其是在20世紀(jì)70年代混沌理論問(wèn)世之后。我們了解到，即使是這些簡(jiǎn)單的力學(xué)系統(tǒng)，初始條件測(cè)量中的微小誤差也會(huì)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，導(dǎo)致短時(shí)間內(nèi)預(yù)測(cè)結(jié)果嚴(yán)重偏離實(shí)際，我們稱這種現(xiàn)象為“混沌”（Chaos）。這就是難以提前多日預(yù)測(cè)天氣的原因，而理論上，人類根本無(wú)法預(yù)測(cè)數(shù)周后的天氣。

BLVR ：這里有一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)形式主義的問(wèn)題，最近我常常拿這個(gè)問(wèn)題“伏擊”朋友，給我?guī)?lái)了不少樂(lè)趣。我的問(wèn)題是：在心智景觀（Mindscape）中是否存在一個(gè)隱秘角落，其中命題“P”與“非P”可以同時(shí)為真？

SS ：我明白了——也就是說(shuō)，我們談?wù)摰氖且粋€(gè)不遵循“排中律”（Excluded m iddle）[9]的宇宙。

BLVR ：對(duì)，這正是我朋友當(dāng)時(shí)的看法，也是我期待你能提到的。心智景觀就是由各種思想構(gòu)成的抽象宇宙。思想相同的兩個(gè)人可能會(huì)在心智景觀中占據(jù)同一個(gè)位置，就像物理世界里兩個(gè)人可以身處同一個(gè)地方。所以，任何你能構(gòu)想出的事物都存在于心智景觀。關(guān)于數(shù)學(xué)有一個(gè)不為人知的小秘密：人們可以隨意構(gòu)建任何想要的系統(tǒng)，而這個(gè)系統(tǒng)并非一定要對(duì)應(yīng)真實(shí)世界。

SS ：這是不是說(shuō)沒(méi)什么規(guī)則可循？我原本以為，數(shù)學(xué)擁有一套明確的規(guī)則。我們必須就具體的邏輯規(guī)則達(dá)成共識(shí)，同時(shí)受限于這些規(guī)則。

BLVR ：至于這種數(shù)學(xué)系統(tǒng)所描述的某個(gè)宇宙是否存在，那就是另一個(gè)問(wèn)題了，對(duì)吧？

SS ：是的，確實(shí)是不同的問(wèn)題。一個(gè)問(wèn)題是，我們想象出來(lái)的數(shù)學(xué)“樂(lè)園”是否對(duì)應(yīng)真實(shí)世界。但還有另一個(gè)更一般的問(wèn)題，聽(tīng)起來(lái)似乎是你想問(wèn)的：“我們能否有其他類型的數(shù)學(xué)？甚至其他類型的邏輯？”這時(shí)先不要管真實(shí)世界如何。

BLVR ：你提到“真實(shí)”（real）一詞很有意思。剛才那個(gè)問(wèn)題背后還有一個(gè)更深層的問(wèn)題：數(shù)學(xué)定律是真實(shí)存在的嗎？還是說(shuō)，它們之所以真實(shí)，僅僅是因?yàn)樗鼈兯枋龅膶?duì)象（也就是真實(shí)世界）是真實(shí)的？那么，數(shù)學(xué)對(duì)象呢？那些理想、完美的對(duì)象，它們也是真實(shí)存在的嗎？

SS ：很難用“真實(shí)”這個(gè)詞來(lái)形容它們。這里還涉及不同世界的問(wèn)題。羅杰·彭羅斯在其著作《通往實(shí)在之路》（The Road to Reality）中提到，存在三個(gè)世界：數(shù)學(xué)世界、心智中的思想世界，以及物理對(duì)象構(gòu)成的“真實(shí)”世界。我不太習(xí)慣這種三分法。通常我認(rèn)為只有兩個(gè)世界：柏拉圖的理念世界和物質(zhì)世界。不過(guò)，很有意思的一點(diǎn)是，彭羅斯將心智產(chǎn)生的思想和數(shù)學(xué)概念區(qū)分開(kāi)來(lái)。我的理解是，他認(rèn)為數(shù)學(xué)概念獨(dú)立于人的心智存在， 但又不像 π 那樣存在于“真實(shí)”世界；π是一個(gè)真實(shí)的……說(shuō)實(shí)話，我也不太理解他的意思。但某種程度上，我又能理解彭羅斯。作為數(shù)學(xué)家，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)公式，或者揭示出某些數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系時(shí)，那種感覺(jué)就像是發(fā)現(xiàn)了已經(jīng)存在的事物。這與肖邦創(chuàng)作《夜曲》不同，我不知道肖邦本人會(huì)不會(huì)這樣想：“那些《夜曲》早就在那里了，是我發(fā)現(xiàn)了它們。”雖然米開(kāi)朗基羅也曾說(shuō)過(guò)，他只是“把雕像從石頭中釋放出來(lái)”，但它們確實(shí)是被創(chuàng)造出來(lái)的。那么，微積分基本定理是否曾等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)？圓周率的概念呢？圓的面積公式呢？給我們的感覺(jué)是，它們好像本來(lái)就在那里。但問(wèn)題是——在哪里？

BLVR： 探討數(shù)學(xué)概念是否是物理實(shí)在的自然體現(xiàn)，還有一個(gè)論點(diǎn)是基于它們的預(yù)測(cè)能力。比如，宇宙中有些現(xiàn)象確實(shí)表現(xiàn)出類似 e 的規(guī)律。我們?cè)跀?shù)學(xué)上把 e 定義為當(dāng) n 趨于無(wú)窮大時(shí)，(1+1/n)n 的極限。你把細(xì)菌放進(jìn)培養(yǎng)皿，它們也會(huì)以指數(shù)方式增長(zhǎng)；與此同時(shí)，你可以構(gòu)造出一個(gè)像 e 一樣無(wú)限不循環(huán)的數(shù)字，但它與真實(shí)世界毫無(wú)關(guān)系。換句話說(shuō)，宇宙似乎“并不知道”這個(gè)假想數(shù)字。但不知何故，宇宙似乎“知道” e 。

SS ：這其實(shí)是我整本書(shū)想傳達(dá)的觀點(diǎn)。很多人不喜歡費(fèi)曼的那句名言：“你必須學(xué)微積分，因?yàn)槲⒎e分是上帝的語(yǔ)言?！钡@么說(shuō)并非沒(méi)有道理。我們現(xiàn)在了解宇宙萬(wàn)象，最好的工具就是微積分。無(wú)論是水流的運(yùn)動(dòng)、空氣的流動(dòng)、熱量的傳導(dǎo)、電磁現(xiàn)象還是量子力學(xué)，本質(zhì)上都要靠微積分來(lái)描述。如果要讓人們說(shuō)出費(fèi)曼那樣的話，很多人可能會(huì)說(shuō)“數(shù)學(xué)是宇宙的語(yǔ)言”。但更準(zhǔn)確地說(shuō)， 微分方程 才是宇宙的語(yǔ)言。宇宙的“語(yǔ)言”并不是那些抽象的代數(shù)拓?fù)洌怯晌⒎e分里的各種符號(hào)（使用微分算子和積分算子）書(shū)寫(xiě)。從原子到星系，所有我們研究過(guò)的領(lǐng)域，背后都有微積分的影子。有些熟悉量子力學(xué)的人可能會(huì)提到最深層的“路徑積分”，但說(shuō)到底，它也是一種“積分”，所以它還是微積分！

BLVR： 關(guān)于“數(shù)學(xué)對(duì)象到底是不是真實(shí)存在”的問(wèn)題，其實(shí)還可以擴(kuò)展到那些理想化的模型上。只有將微積分工具巧妙地應(yīng)用到某些實(shí)際模型中，才真正體現(xiàn)出它們的價(jià)值。我想我們可以圍繞你以前研究過(guò)的一個(gè)模型來(lái)聊聊——我在閱讀你的作品時(shí)對(duì)它產(chǎn)生了興趣。不過(guò)，在這之前我有個(gè)問(wèn)題想問(wèn)你：為什么人們應(yīng)該對(duì)模型持懷疑態(tài)度？

SS： 你不妨先描述一下這個(gè)模型，看起來(lái)你對(duì)它還記憶猶新。

BLVR： 這個(gè)問(wèn)題是：能否在一個(gè)社會(huì)中鼓勵(lì)政治溫和的立場(chǎng)？為探究這一問(wèn)題，你構(gòu)建了一個(gè)極其簡(jiǎn)化的模型，將一個(gè)匿名社群劃分為四組群體：其中一組持主流世界觀 B；兩組持反叛世界觀A——其中一組由“狂熱分子”構(gòu)成（指其成員固守己見(jiàn)、絕不改變立 場(chǎng)）；最后一組是溫和派，其觀點(diǎn)融合了A與B，因此以AB表示。你通過(guò)一系列微分方程，來(lái)描述這些群體的規(guī)模如何隨時(shí)間發(fā)生變化。

SS： 我和合作者是這樣設(shè)想的：持不同觀點(diǎn)的人相遇后，其中一方說(shuō)服另一方“改變立場(chǎng)”，并可能在一定概率下成功。我們沒(méi)有探討任何細(xì)節(jié)，如你所說(shuō)，這是一個(gè)高度簡(jiǎn)化的模型。

BLVR： 結(jié)果相當(dāng)悲觀。你們嘗試從多個(gè)角度調(diào)整模型，希望長(zhǎng)期鼓勵(lì)溫和立場(chǎng)，卻幾乎沒(méi)有任何效果。唯一有效的方法是引入一種獨(dú)立于人際互動(dòng)之外的外部調(diào)節(jié)力量。

SS ：這股外部力量可以是來(lái)自權(quán)威機(jī)構(gòu)自上而下的干預(yù)，也可能是某種共同經(jīng)歷的外部事件，比如你在節(jié)目外提到的“9·11事件”。人類文明伊始，統(tǒng)治者們就明白，塑造一個(gè)共同的敵人是最有效的社會(huì)凝聚手段。《1984》中的大洋國(guó)[10]不正是長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)狀態(tài)嗎？不過(guò)，整個(gè)討論的關(guān)鍵是：數(shù)學(xué)模型對(duì)于任何重要事物是否可靠。將微積分應(yīng)用到人類事務(wù)中其實(shí)非常棘手，因?yàn)槲覀儧](méi)有像描述物理世界的牛頓定律或電磁現(xiàn)象的麥克斯韋方程組那樣能夠準(zhǔn)確描述人類行為的法則。無(wú)論在個(gè)體層面還是群體層面，我們都無(wú)法預(yù)測(cè)人類的行為，而它在理論上是否可行是真正的哲學(xué)問(wèn)題。我們現(xiàn)在不過(guò)是在“玩游戲”。

從另一個(gè)角度看，這類“游戲”之所以有趣，是因?yàn)樗鼈冏屛覀円庾R(shí)到人類知識(shí)的局限性，從而保持一種謙遜的態(tài)度——我們對(duì)人類行為或社會(huì)到底了解多少？這些模型本身常常會(huì)展現(xiàn)出令人意想不到的行為特征，比如在那個(gè)關(guān)于“溫和派”的小模型中，我們發(fā)現(xiàn)，讓溫和派變得更加頑固，非但沒(méi)有促進(jìn)溫和，反而更容易讓狂熱分子占據(jù)主導(dǎo)地位。這給了我們一個(gè)深刻的教訓(xùn)：你以為自己能 知道 事態(tài)發(fā)展，但即使在這樣一個(gè)刻意簡(jiǎn)化的“宇宙”里，也很難做出準(zhǔn)確 預(yù)測(cè) 。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)我們聲稱某種社會(huì)干預(yù)會(huì)產(chǎn)生這樣或那樣的效果時(shí)，往往并不準(zhǔn)確。但這么說(shuō)好像 是虛無(wú)主義， 太悲觀、太消極了。你總是要做些事情，對(duì)吧？或者……我也不知道該怎么說(shuō)。

BLVR ：我們希望在理論上能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。但拉普拉斯妖的例子已經(jīng)告訴我們，這并不現(xiàn)實(shí)。我們可以做到某種程度的預(yù)測(cè)，比如天氣預(yù)報(bào)。 實(shí)際上 對(duì) 于 社會(huì)進(jìn)步這樣復(fù)雜的事物，我們的預(yù)測(cè)能力也可能只在某個(gè)特定界限內(nèi)有效。我們?cè)浇咏莻€(gè)界限，就越能做出正確的決策。但界限始終存在，而人類事務(wù)又太復(fù)雜、太混亂，所以我們也許永遠(yuǎn)都無(wú)法做出最好決策 ，甚至連稍好的決策都難以實(shí)現(xiàn) 。這種無(wú)力感，確實(shí)讓人沮喪。

SS： 行為經(jīng)濟(jì)學(xué)中有一些看似簡(jiǎn)單卻行之有效的原則。以目前 美國(guó) 器官捐贈(zèng)為例，如果你在車禍中不幸身亡，你需要在生前明確表示愿意捐獻(xiàn)器官，并進(jìn)行登記，才會(huì)成為器官捐獻(xiàn)者。默認(rèn)情況下，你不是器官捐獻(xiàn)者，但并非必須如此。理查德·塞勒 （Richard Thaler）[11]提出了“助推”（ nudge ）理論，展示了另一種可能性。該理論利用了人類行為中的惰性：大部分人傾向于維持默認(rèn)設(shè)置，所以如果我們把“捐獻(xiàn)”設(shè)為默認(rèn)，人們就更可能成為捐獻(xiàn)者。這個(gè)例子借助對(duì)人類行為的些許洞察，做了一件好事。 這 將是未來(lái)研究的方向。數(shù)學(xué)與社會(huì)科學(xué)的交叉點(diǎn)在哪里？“軟科學(xué)”是最難攻克的領(lǐng)域，它們是最后被數(shù)學(xué)化的學(xué)科，又或許永遠(yuǎn)無(wú)法被真正數(shù)學(xué)化。而在那些“硬科學(xué)”領(lǐng)域，我們已經(jīng)取得了長(zhǎng)足進(jìn)展。數(shù)學(xué)非常適合這些學(xué)科，正因?yàn)槿绱?，它們反而變得“容易”?/p>

斯托加茨的科普貢獻(xiàn)：

著有《同步》（ Sync: How Order Emerges from Chaos in the Universe, Nature, and Daily Life ，2003）、《微積分的人生哲學(xué)》（ The Calculus of Friendsh ip: W hat a Teacher and a Student Learned about Life while Corresponding about Math ，2009）、《X的奇幻之旅》（ The Joy of x: A Guided Tour of Math, from One to Infinity ，2012）等著作，在《紐約時(shí)報(bào)》上開(kāi)設(shè)了風(fēng)趣親切的數(shù)學(xué)專欄，斯托加茨極大化解了公眾對(duì)數(shù)學(xué)揮之不去的抵觸情緒，在這方面，他所付出的努力鮮有人能及。

斯托加茨對(duì)數(shù)學(xué)傳播的熱情和投入還體現(xiàn)在教學(xué)風(fēng)格中：注重直覺(jué)、實(shí)際應(yīng)用與真實(shí)案例，自然而然地激發(fā)學(xué)生們的想象力。

憑借這些貢獻(xiàn)，斯托加茨博士獲得了無(wú)數(shù)榮譽(yù)。其中包括美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（MAA）頒發(fā)的歐拉圖書(shū)獎(jiǎng)（Euler Book Prize）、美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)（AAAS）的公眾科學(xué)參與獎(jiǎng)（Science Award）、劉易斯·托馬斯科學(xué)寫(xiě)作獎(jiǎng)（Lewis Thomas Prize），還有被選為劍橋大學(xué)勞斯·鮑爾（Rouse Ball）數(shù)學(xué)講座和麻省理工學(xué)院西蒙斯（Simons）數(shù)學(xué)講座講師的殊榮。他目前主持著 Quanta 雜志的 The Joy of x 播客。

注釋

[1] 動(dòng)力系統(tǒng)指的是用函數(shù)描述空間中某點(diǎn)隨時(shí)間變化的一種系統(tǒng)。經(jīng)典例子包括鐘擺的擺動(dòng)、液體在管道中的流動(dòng)以及人口增長(zhǎng)。在某些動(dòng)力系統(tǒng)中，可能會(huì)出現(xiàn)看似隨機(jī)的行為，這種現(xiàn)象被稱為“混沌”，研究這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支就是“混沌理論”。

[2] 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論研究的是真實(shí)世界中以圖（graph）形式表示的系統(tǒng)，比如 Facebook 上的好友關(guān)系或大腦中的神經(jīng)連接網(wǎng)絡(luò)。

[3] 《小世界網(wǎng)絡(luò)的集體動(dòng)力學(xué)》是 Steven Strogatz 與 Duncan J. Watts 合著的一篇論文，也是有史以來(lái)被引用次數(shù)第六高的物理學(xué)論文。該論文為“六度分隔”這一大眾熟知的概念提供了數(shù)學(xué)論證。他們提出了“小世界網(wǎng)絡(luò)”這一網(wǎng)絡(luò)類別，并被廣泛應(yīng)用于社會(huì)運(yùn)動(dòng)、南加州的地震監(jiān)測(cè)站網(wǎng)絡(luò)，以及大型數(shù)據(jù)庫(kù)中的信息可用性研究。其中最著名的小世界網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造方法就是“沃茨–斯特羅加茨模型（Watts-Strogatz Model）”。

[4] 十二面體是一種由十二個(gè)五邊形面組成的多面體。

[5] 二十面體是一種由二十個(gè)三角形面組成的多面體。

[6]數(shù)學(xué)家常說(shuō)某個(gè)命題在“道義上成立” （morally） ，意思是他們根據(jù)自己對(duì)數(shù)學(xué)美感的直覺(jué)，相信這個(gè)命題“應(yīng)該是真的”。

[7] 皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）是法國(guó)著名的博學(xué)家 （polymath） ，活躍于18世紀(jì)下半葉至19世紀(jì)上半葉。他不僅奠定了貝葉斯概率的理論基礎(chǔ)，還發(fā)明了在現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)物理中廣泛使用的拉普拉斯變換。此外，他在天體力學(xué)方面也有重要貢獻(xiàn)。曾有一次，為了讓拉普拉斯難堪，拿破侖請(qǐng)他展示其太陽(yáng)系模型，并質(zhì)問(wèn)道：“你在書(shū)中真的沒(méi)有提到上帝嗎？”拉普拉斯回答：“我不需要那個(gè)假設(shè)?！?/p>

[8] “機(jī)械宇宙” （Clockwork Universe）一詞，特別是啟蒙時(shí)代 的 一些自然神論者用其 描述這樣一種宇宙觀：宇宙如同一座機(jī)械鐘表，由物理定律精密 控制 ， 可預(yù)測(cè)地運(yùn)轉(zhuǎn) 。這個(gè)概念也被稱為“牛頓宇宙”。在這樣的宇宙觀中，如果存在一個(gè)掌握所有粒子的位置、速度和受力的“拉普拉斯妖”，那么它就能預(yù)測(cè)宇宙在任意未來(lái)時(shí)刻的狀態(tài)，因?yàn)槊總€(gè)粒子的個(gè)體狀態(tài)都將根據(jù)物理定律可預(yù)測(cè)地演化。

[9] 排中律是邏輯學(xué)中的 三大 基本 定律 之一，它指出：一個(gè)命題要么是真的，要么其否定是真的。 其他兩個(gè)分別是 ：矛盾律（相互矛盾的命題不能同時(shí)為真）和同一律（每個(gè)事物都與自身同一）。這里我想問(wèn)，實(shí)際上是否可以設(shè)想一個(gè)不遵守排中律的宇宙。

[10] 大洋國(guó)是喬治·奧威爾小說(shuō)《1984》中的三個(gè)虛構(gòu)的超級(jí)國(guó)家之一。在小說(shuō)設(shè)定中，這些國(guó)家始終處于戰(zhàn)爭(zhēng)狀態(tài)，以此消耗失控的資本主義不斷產(chǎn)生的過(guò)剩供給。

[11] 理查德·塞勒（Richard Thaler）是芝加哥大學(xué)布斯商學(xué)院的行為經(jīng)濟(jì)學(xué)家，他因?qū)⑿睦韺W(xué)納入個(gè)體決策的經(jīng)濟(jì)分析而獲得了 2017 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。此處引用的是他的著作《助推》 （ Nudge: Improving Decisions About Health, Wealth, and Happiness ） ，書(shū)中提出，組織可以通過(guò)“助推”（Nudge）策略優(yōu)化政策設(shè)計(jì)，讓成員更容易做出好決策，更難做出壞決策。一個(gè)典型的例子是將器官捐贈(zèng)設(shè)為“默認(rèn)捐獻(xiàn)” ， 指除非一個(gè)人在生前明確 拒絕 捐獻(xiàn)器官，否則在死后會(huì)被默認(rèn)為器官捐獻(xiàn)者。

采訪者簡(jiǎn)介

Prashanth Ramakrishna是一位作家、研究員和學(xué)生。他在紐約大學(xué)攻讀應(yīng)用數(shù)學(xué)和網(wǎng)絡(luò)安全專業(yè)，研究課題包括分析青春期大鼠的睡眠周期，以及設(shè)計(jì)規(guī)則隨游戲進(jìn)程演變的變體國(guó)際象棋等。除了沉浸于符號(hào)的世界，他還熱衷于有趣的對(duì)話。

本文已獲得作者授權(quán)翻譯并發(fā)表于《返樸》。原文譯自Prashanth Ramakrishna, An Interview with Steven Strogatz.

https://www.thebeliever.net/logger/an-interview-with-steven-strogatz/

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