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一個(gè)新證明代表了有關(guān)特殊維度異常形狀的65年歷史故事的高潮。

圖源：Kristina Armitage/Quanta Magazine

作者：Erica Klarreich（量子雜志特約記者）2025-5-5

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-5-6

譯者注：

為饗讀者，更快了解Kervaire不變量問(wèn)題的一些背景知識(shí)，去年（2024-11-22）徐宙利因共同解決126維標(biāo)架流形的Kervaire不變量問(wèn)題而獲得美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)百年紀(jì)念研究獎(jiǎng)學(xué)金，請(qǐng)參閱相關(guān)報(bào)道：

注：

在數(shù)學(xué)中，Kervaire不變量問(wèn)題，是確定Kervaire不變量（也稱為Arf-Kervaire不變量）在哪些維度n可以非零的問(wèn)題。

截至2024-11-22本文發(fā)稿前，數(shù)學(xué)家們已證明對(duì)于可微流形（也稱微分流形、光滑流形），當(dāng)且僅當(dāng)n滿足下列形式可以非零：n=2?-2，其中k=2, 3, 4, 5, 6, 7，即n=2, 6, 14, 20, 62, 126（其中遺留的唯一不確定的是n=126維的情況，2024年5月由徐宙利分別在北京大學(xué)和普林斯頓大學(xué)宣布解決）。

Kervaire不變量是針對(duì)有標(biāo)架的n維流形的不變量，用于度量該流形是否可以通過(guò)手術(shù)轉(zhuǎn)換成球面（如可以轉(zhuǎn)換，此不變量的計(jì)算結(jié)果為0，否則為1）。

在任何給定的維度n中，只有兩種可能性：要么所有流形的Arf-Kervaire不變量都等于0，要么一半流形的Arf-Kervaire不變量為0，另一半流形的Arf-Kervaire不變量為1。

你很容易假設(shè)自己對(duì)三維空間的直覺(jué)會(huì)延續(xù)到更高維度的空間。畢竟，增加一個(gè)維度只是創(chuàng)造了一個(gè)新的移動(dòng)方向，并不會(huì)改變空間的本質(zhì)特征：它的無(wú)限性和均勻性。

但不同維度的“性格”截然不同。在8維和24維中，球體可以緊密地堆積在一起 https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/ 。在其他維度中，則存在一些“奇特”的球面，它們看起來(lái)皺巴巴的，無(wú)可救藥。而只有3維才可能存在結(jié)——在任何更高的維度中，即使緊緊抓住結(jié)的兩端，你也能解開它。

如今，數(shù)學(xué)家們終于為一個(gè)醞釀了65年的維度奇異性故事畫上了句號(hào)。幾十年來(lái)，研究人員一直想知道哪些維度能夠容納特別奇特的形狀——那些扭曲到無(wú)法通過(guò)簡(jiǎn)單的“手術(shù)”轉(zhuǎn)換成球面的形狀。數(shù)學(xué)家們已經(jīng)證明，這些形狀的存在與拓?fù)鋵W(xué)中關(guān)于不同維度球面之間關(guān)系的基本問(wèn)題密切相關(guān)。

多年來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)這些扭曲的形狀存在于2、6、14、30和62維空間中。他們還證明，除了126維空間外，其他任何維度都不可能存在這樣的形狀。至今無(wú)人能確定126維空間的狀態(tài)。

如今，三位數(shù)學(xué)家終于解決了這個(gè)終極難題。在去年12月發(fā)表于網(wǎng)絡(luò)的一篇論文 https://arxiv.org/abs/2412.10879 中，上海復(fù)旦大學(xué)的林偉南和王國(guó)禎，以及加州大學(xué)洛杉磯分校的徐宙利證明了126確實(shí)是能夠容納這些奇特扭曲形狀的罕見(jiàn)維度之一。

牛津大學(xué)的烏爾麗克·蒂爾曼（Ulrike Tillmann，1962 -）表示，這是“一個(gè)非常漫長(zhǎng)的項(xiàng)目，終于完成了”。

哈佛大學(xué)的邁克爾·霍普金斯（Michael Hopkins，1958 -）表示，該證明結(jié)合了計(jì)算機(jī)計(jì)算和理論洞察，堪稱“一項(xiàng)浩大的工程”。“他們是如何做到的，真是令人瞠目結(jié)舌?！?/p>

世界末日假說(shuō)

1950年代，數(shù)學(xué)家約翰·米爾諾（John Milnor，1931 -）證明了七維空間中存在著“奇異”球面，這一發(fā)現(xiàn)震驚了數(shù)學(xué)界 https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0082103 。從拓?fù)鋵W(xué)的角度來(lái)看，奇異球面與普通球面完全一樣，因?yàn)橥負(fù)鋵W(xué)只考慮形狀在拉伸或變形時(shí)不會(huì)發(fā)生變化的特征。

但這兩個(gè)球面對(duì)光滑度的定義并不相容——在普通球面上光滑的曲線在奇異球面上可能并不光滑。米爾諾渴望探索和分類這些奇異球面，它們?cè)谀承┚S度上非常罕見(jiàn)，而在其他維度上則多達(dá)數(shù)千個(gè)。

為此，他引入了一種名為“手術(shù)”的技術(shù) https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0130696 ，這是一種可控的方法，可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)形狀，即流形（manifold），并有可能將其轉(zhuǎn)換為奇異的球面。這種方法后來(lái)成為流形研究的通用方法。

顧名思義，手術(shù)就是切掉流形的一部分，然后沿著切口的邊界縫合一個(gè)或多個(gè)新的部分。你必須光滑地縫合這些新的部分，不能產(chǎn)生尖角或邊緣。（當(dāng)涉及到扭曲形狀的問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)家還要求手術(shù)尊重流形的“標(biāo)架”（framing），這是流形在空間中坐標(biāo)定位的技術(shù)性的性質(zhì)。）

為了實(shí)際觀察這個(gè)過(guò)程，讓我們將一個(gè)圓環(huán)（甜甜圈的二維表面）精確地轉(zhuǎn)換成一個(gè)球面（球的二維表面）：

圖源：Samuel Velasco / Quanta Magazine

所得結(jié)果是一個(gè)普通的球面——事實(shí)上，二維奇異球面是不存在的。但在某些維度上，手術(shù)會(huì)將一些流形轉(zhuǎn)換成普通球面，而將另一些流形轉(zhuǎn)換成奇異球面。有時(shí)，還存在另一種可能性：流形根本無(wú)法轉(zhuǎn)換成球面。

為了形象化地展示后者，我們可以再次看一下圓環(huán)，只是這次我們會(huì)給它一些特殊的扭曲來(lái)阻礙手術(shù)：

圖源：Samuel Velasco / Quanta Magazine

數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，沒(méi)有任何方法可以將這個(gè)扭曲的環(huán)面變成球面，無(wú)論是規(guī)則的還是奇異的。它是一類完全不同的流形。

1960年，法國(guó)數(shù)學(xué)家米歇爾·科維爾（Michel Kervaire，1927 - 2007）提出了一個(gè)不變量 https://link.springer.com/article/10.1007/BF02565940 ，即一個(gè)可以計(jì)算給定光滑流形的數(shù)值。當(dāng)該流形可以精確地轉(zhuǎn)化為球面時(shí)，該不變量等于零；當(dāng)該流形無(wú)法轉(zhuǎn)化為球面時(shí)，該不變量等于1。因此，普通環(huán)面的Kervaire不變量為0，而扭曲環(huán)面的Kervaire不變量為1。

科維爾利用他的不變量探索了不同維度中各種可能的流形。他甚至用它構(gòu)造了一個(gè)10維流形，這個(gè)流形沒(méi)有所謂的要么為0、要么為1的Kervaire不變量——這意味著這個(gè)流形一定是歪歪扭扭的，根本就沒(méi)有合理的光滑性概念。

沒(méi)有人想象過(guò)這樣的流形會(huì)存在。面對(duì)這個(gè)新不變量的強(qiáng)大威力，數(shù)學(xué)家們爭(zhēng)相確定不同維度流形的Kervaire不變量。

幾年之內(nèi)，他們就證明了在 2、6、14和30維空間中存在Kervaire不變量為1的扭曲流形。這些維度符合一個(gè)規(guī)律：每個(gè)數(shù)都比2的冪小2（例如，30等于2?-2 ）。1969年，數(shù)學(xué)家威廉·布勞德（William Browder，1934 - 2025）證明了這種形式的維度 https://www.jstor.org/stable/1970686 是唯一可能存在Kervaire不變量為1的形狀的維度。

人們很自然地會(huì)假設(shè)扭曲流形存在于所有維度上：62、126、254等等?；谶@一假設(shè)，一位數(shù)學(xué)家甚至構(gòu)建了關(guān)于奇異球面和其他形狀的一系列猜想。但最初的假設(shè)可能為假的可能性仍然存在。它后來(lái)被稱為末日假說(shuō)，因?yàn)樗鼘⑼品衅渌孪搿?/p>

徐宙利在讀研究生期間曾被警告不要嘗試解決科維爾猜想。但他表示，這個(gè)問(wèn)題“一直讓他著迷”。

圖源：上沃爾法赫數(shù)學(xué)研究所檔案

的確，盡管數(shù)學(xué)家們?cè)?984年證明了62維空間中存在扭曲流形 https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s2-30.3.533 ，但沒(méi)有人能夠證明這樣的流形在其余任何維度中也存在。隨著一次又一次的探索無(wú)果，數(shù)學(xué)家們最終精疲力竭，這個(gè)問(wèn)題也隨之陷入僵局。

2009年，為了“阻止遺忘之潮”，數(shù)學(xué)家維克多·斯奈斯（Victor Snaith，1944 - 2021）https://victorsnaith.com 寫了一本書，探討了在布勞德列出的所有維度上，存在滿足Kervaire不變量1的流形的含義。然而，斯奈斯在前言中警告說(shuō)：“這本書最終可能會(huì)變成一本關(guān)于根本不存在之物的書?！?/p>

如果斯奈斯晚一年出版這本書，情況可能會(huì)大不相同。因?yàn)樵谶@本書出版幾周后，霍普金斯和另外兩位研究人員就宣布斯奈斯對(duì)讀者的警告非常貼切，這讓數(shù)學(xué)家們大吃一驚：世界末日假說(shuō)是正確的。他們證明了，滿足Kervaire不變量1的流形不可能存在于254維及以上的空間 https://arxiv.org/abs/0908.3724 。

這個(gè)結(jié)果讓數(shù)學(xué)家們陷入了奇怪的境地。在無(wú)限可能的維度中，只有一種維度上的形狀仍然無(wú)法分類。用羅切斯特大學(xué)數(shù)學(xué)家、末日假說(shuō)證明的共同作者之一道格拉斯·拉文內(nèi)爾（Douglas Ravenel，1947 -）的話來(lái)說(shuō)，那里“有一個(gè)很大的懸而未決的問(wèn)題”。它就是126維。

生存至無(wú)窮

2011年，徐宙利以研究生身份來(lái)到芝加哥大學(xué)，計(jì)劃研究流形的計(jì)算方面。他的導(dǎo)師彼得·梅（Peter May，1939 -）提出了126維問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題可能涉及海量計(jì)算。梅將徐宙利推薦給西北大學(xué)的馬克·馬霍瓦爾德（Mark Mahowald，1931 - 2013）。馬霍瓦爾德是Kervaire不變量問(wèn)題的專家，他甚至用Kervaire不變量問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵符號(hào) ——θj ，即“Theta jay”——來(lái)命名他的帆船。

但2013年去世的馬霍瓦爾德當(dāng)時(shí)立即否決了這項(xiàng)提議。他告訴徐宙利，126維問(wèn)題太難了——“這將是一個(gè)終生難題”。于是，他引導(dǎo)這位年輕的數(shù)學(xué)家去研究低維空間的相關(guān)問(wèn)題 https://annals.math.princeton.edu/2017/186-2/p03 。

但對(duì)于徐宙利來(lái)說(shuō)，126維問(wèn)題仍然是“一個(gè)永恒的迷戀源泉”，他說(shuō)。

王國(guó)禎研究復(fù)雜對(duì)象，以深入了解超乎想象的高維形狀。

圖源：王國(guó)禎

解決這個(gè)問(wèn)題的潛在策略并不神秘。數(shù)學(xué)家們?cè)缇椭?，關(guān)于奇異球面和其他流形的關(guān)鍵秘密被編碼在被稱為穩(wěn)定同倫群https://www.quantamagazine.org/an-old-conjecture-falls-making-spheres-a-lot-more-complicated-20230822/ 的球面中（參閱 ）。這些是函數(shù)的集合，或者說(shuō)是“映射”，它們將點(diǎn)從高維球面發(fā)送到低維球面。

例如，想象一下，一個(gè)映射將44維球面中的每個(gè)點(diǎn)映射到33維球面中的一個(gè)點(diǎn)。這個(gè)映射本質(zhì)上壓縮了大球面的11個(gè)維度。如果你在小球面上選擇一個(gè)點(diǎn)，并找到大球面上所有映射到該點(diǎn)的點(diǎn)，這些點(diǎn)通常會(huì)形成一個(gè)11維流形。

現(xiàn)在考慮較小球面上的所有不同點(diǎn)。粗略地說(shuō)，每個(gè)點(diǎn)都會(huì)生成另一個(gè)11維流形。因此，你的映射不僅僅創(chuàng)建了一個(gè)11維流形，而是創(chuàng)建了一桶11維流形。

穩(wěn)定同倫群（stable homotopy group）是其中每個(gè)元素都是類似這種映射的集合。

數(shù)學(xué)家們知道，要解決給定維度的Kervaire不變量問(wèn)題，他們只需要理解該維度的穩(wěn)定同倫群 https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0148075 。只有一個(gè)難點(diǎn)：理解穩(wěn)定同倫群是拓?fù)鋵W(xué)中最具挑戰(zhàn)性和基礎(chǔ)性的問(wèn)題之一?！拔也恢竿谖覍O女們的有生之年這個(gè)問(wèn)題能被解決，”拉文內(nèi)爾說(shuō)。

因此，數(shù)學(xué)家們開始逐步解決這個(gè)問(wèn)題。自1958年以來(lái)，他們一直在將穩(wěn)定同倫群結(jié)構(gòu)的信息整理成一個(gè)龐大但尚未完成的點(diǎn)圖集，稱為亞當(dāng)斯譜序列（Adams spectral sequence）https://link.springer.com/article/10.1007/BF02564578 。

林偉南（復(fù)旦大學(xué)）編寫了一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，幫助他和他的同事解決了幾十年來(lái)關(guān)于高維形狀奇怪性質(zhì)的猜想。

圖源：吳重霖（復(fù)旦大學(xué)）

想象一本有無(wú)限頁(yè)的書，每頁(yè)由無(wú)限多列點(diǎn)組成。讓我們打開這本書，查看其中一頁(yè)。這一頁(yè)上的每一列代表一個(gè)維度。給定列中的每個(gè)點(diǎn)代表該維度上球面映射的一種不同潛在“風(fēng)味”。這種風(fēng)味通常有兩種類型，例如“常規(guī)”或“超脆”（即，例如，Kervaire不變量0或1）。

從某些方面來(lái)看，這本書極其重復(fù)——每一頁(yè)都有相同的列，每列中也有很多相同的點(diǎn)。但隨著翻頁(yè)，你會(huì)注意到一個(gè)關(guān)鍵的區(qū)別：每一頁(yè)都依次刻畫到球面映射和流形的更精細(xì)的細(xì)節(jié)。這本圖集的前幾頁(yè)只是對(duì)真相的近似。隨著翻頁(yè)，這種近似會(huì)越來(lái)越好，直到圖集的最后一頁(yè)——被稱為“無(wú)限”頁(yè)——呈現(xiàn)得完美無(wú)缺。

瀏覽圖集就像用越來(lái)越強(qiáng)大的望遠(yuǎn)鏡探索流形的宇宙。在第一頁(yè)，每個(gè)流形的細(xì)節(jié)都很模糊，許多實(shí)際上不屬于其中的流形被錯(cuò)誤地包含進(jìn)去了。但如果你制造了一個(gè)更好的望遠(yuǎn)鏡，你或許能夠檢測(cè)到某個(gè)流形存在一些“缺陷”，從而將其排除在圖集之外。在這種情況下，你需要?jiǎng)h除圖集所有后續(xù)頁(yè)面上相關(guān)的點(diǎn)。如果你的望遠(yuǎn)鏡沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何缺陷，那么這個(gè)點(diǎn)就會(huì)保留到下一頁(yè)，在那里你或許可以期待用更強(qiáng)大的望遠(yuǎn)鏡來(lái)觀察它。

參閱：

1969年，威廉·布勞德（William Browder，1934 - 2025）證明了圖集第126列中的一個(gè)特定點(diǎn) https://www.jstor.org/stable/1970686 是解決該維度下Kervaire不變量問(wèn)題的關(guān)鍵。

如果這個(gè)點(diǎn)保留到無(wú)窮大頁(yè)面，那么126維流形的桶（桶必然同時(shí)包含兩種類型：一半的桶由Kervaire不變量為零的流形組成，另一半由Kervaire不變量為1的流形組成）。如果這個(gè)點(diǎn)不存在，那么126維流形就只有一種類型，即Kervaire不變量為零。

對(duì)于第126列中的特殊點(diǎn)，有105種不同的假設(shè)方式使其在無(wú)窮大頁(yè)面之前消失。為了解決這些可能性，徐宙利與他的長(zhǎng)期合作伙伴、前大學(xué)室友王國(guó)禎合作。他們開發(fā)了新的計(jì)算技術(shù)，并將它們傳授給了徐宙利從研究生時(shí)期就認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)家林偉南。

林偉南編寫了一個(gè)程序，能夠排除其中101種可能性。隨后，研究人員又花了一年時(shí)間精心開發(fā)了新的方法，排除了最后四種可能性。他們得出結(jié)論，布勞德的特殊點(diǎn)確實(shí)可以保留到無(wú)窮大頁(yè)面——這意味著126維空間中存在具有Kervaire不變量1的流形。

霍普金斯表示，在該團(tuán)隊(duì)宣布這一消息之前，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為這樣的計(jì)算遙不可及。他補(bǔ)充道，這項(xiàng)新工作“在計(jì)算方面堪稱英雄”。其方法最終或許能幫助數(shù)學(xué)家繪制出更多巨型圖集。

雖然這篇新論文證明了在126維空間中存在奇異的扭曲形狀，但卻沒(méi)有給出如何構(gòu)建這些形狀的線索。研究人員已經(jīng)在前四個(gè)特殊的Kervaire維度（2、6、14和30）中發(fā)現(xiàn)了特定的扭曲形狀。

但至今尚未有人在62維或126維空間中發(fā)現(xiàn)這樣的形狀，盡管在存在這些形狀的每個(gè)維度中，它們都占據(jù)了所有可能形狀的一半。盡管它們數(shù)量眾多，“我們實(shí)際上無(wú)法指出其中一種，”蒂爾曼說(shuō)道。

如果數(shù)學(xué)家們真的弄清楚了如何在62維和126維空間中構(gòu)造扭曲形狀，或許能為他們提供一些線索，解釋這六個(gè)維度的特殊之處——為什么只有在這些維度上才能構(gòu)建如此扭曲的形狀。

“通常，當(dāng)[類似]的事情發(fā)生時(shí)，都會(huì)出現(xiàn)一些非常漂亮的構(gòu)造，”霍普金斯說(shuō)?！八浅６虝?，因?yàn)樗荒艹晒ξ辶?，而不是無(wú)限次?！?這項(xiàng)新研究“讓真正嘗試尋找這六個(gè)維度的特殊構(gòu)造變得更具啟發(fā)性?！?/p>

而科維爾問(wèn)題只是亞當(dāng)斯譜序列中編碼的一種維度奇異性。特殊的Kervaire維度對(duì)應(yīng)于圖集第二行中的六個(gè)特殊點(diǎn)。最近，徐宙利和哥本哈根大學(xué)的羅伯特·伯克倫德（Robert Burklund）發(fā)現(xiàn)，圖集第三行中少數(shù)幾個(gè)特殊維度似乎表現(xiàn)出另一種奇異的行為。https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01298-6 。目前尚無(wú)人知曉這些維度中的特殊點(diǎn)究竟對(duì)應(yīng)著什么樣的奇異流形——但數(shù)學(xué)家們希望能找到答案。

徐宙利表示，后續(xù)的發(fā)現(xiàn)也可能會(huì)陸續(xù)出現(xiàn)。“之后應(yīng)該還會(huì)有更多故事等著我們?nèi)ヌ剿??！?/p>

參考資料

https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/

https://www.quantamagazine.org/sphere-packing-solved-in-higher-dimensions-20160330/

https://arxiv.org/abs/2412.10879

https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0082103

https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0130696

https://link.springer.com/article/10.1007/BF02565940

https://www.jstor.org/stable/1970686

https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/jlms/s2-30.3.533

https://victorsnaith.com/

https://arxiv.org/abs/0908.3724

https://annals.math.princeton.edu/2017/186-2/p03

https://www.quantamagazine.org/an-old-conjecture-falls-making-spheres-a-lot-more-complicated-20230822/

https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=0148075

https://link.springer.com/article/10.1007/BF02564578

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01298-6

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