手把手教你網(wǎng)格作圖

2023年天津市中考數(shù)學(xué)第18題

在進(jìn)行網(wǎng)格作圖之前，我們有必要先回顧尺規(guī)作圖的基本方法，包括作圖原理，畢竟網(wǎng)格作圖仍然是基于尺規(guī)作圖原理，網(wǎng)格是由大小完全相同的正方形排列而成，它的基本構(gòu)成是網(wǎng)格線和格點(diǎn)，其中網(wǎng)格線之間的關(guān)系為平行或垂直，相鄰網(wǎng)格線間的距離相等，網(wǎng)格線的交點(diǎn)為格點(diǎn)，通常情況下，網(wǎng)格會(huì)有大小限制，并非無(wú)限延伸.

近年來(lái)網(wǎng)格作圖題在全國(guó)各地中考都有呈現(xiàn)，尤其是天津市網(wǎng)格作圖題，被喻為難度天花板，武漢市(非省考)中考數(shù)學(xué)第21題也是網(wǎng)格作圖，且該題區(qū)分度一直優(yōu)秀.

題目

如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊△ABC內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．

（1）線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)________；

（2）若點(diǎn)D在圓上，AB與CD相交于點(diǎn)P，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)Q，使△CPQ為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）．

解析：

01

(1)AB=√29；

02

(2)先簡(jiǎn)要分析圖中已有幾何元素，等邊△ABC，其中A、B在格點(diǎn)處，它有一個(gè)外接圓，點(diǎn)D在這個(gè)圓上，點(diǎn)P在AB邊上，然后我們從尺規(guī)作圖角度來(lái)看點(diǎn)Q的位置與各元素間的關(guān)聯(lián)，如下圖：

若以尺規(guī)作圖，以C為頂點(diǎn)，CP為邊作等邊△CPQ，連接BQ、BD，立刻出現(xiàn)一對(duì)全等三角形，△APC≌△BQC，若我們能夠構(gòu)造出這樣一對(duì)全等三角形，那么很容易得到等邊△CPQ，并且這一對(duì)全等已經(jīng)具備了一個(gè)必要條件即AC=BC；

逆向思考：我們可求出∠CBQ=60°，于是∠ABQ=120°，可證BQ∥AC，于是若能過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線，則可得到全等的第二個(gè)必要條件∠CBQ=∠A；

再連接BD，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BD，交圓于點(diǎn)E，由同弧所對(duì)圓周角相等，得∠ACP=∠BCQ，這是全等的第三個(gè)必要條件；

根據(jù)以上推導(dǎo)，我們可得到一個(gè)找到點(diǎn)Q的方法，構(gòu)造△ACP≌△BCQ，分別過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線BQ，再過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線AE，則CE延長(zhǎng)后與BQ相交于點(diǎn)Q.

回到網(wǎng)格圖里，我們分別研究這兩條平行線的作法：

①過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線

突破口在線段AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)G，它是線段AB與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，特殊之處在于，它是AB中點(diǎn)，也是網(wǎng)格中小正方形邊長(zhǎng)的中點(diǎn)(這很重要！)，我們可以通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)證明這個(gè)結(jié)論；

此時(shí)的點(diǎn)G，已經(jīng)成為部分網(wǎng)格的對(duì)稱中心，如下圖：

我們觀察這兩個(gè)關(guān)于點(diǎn)G中心對(duì)稱的正方形網(wǎng)格，其中AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E恰好在左側(cè)正方形中，如果我們連接EG并延長(zhǎng)，一定可以與對(duì)應(yīng)小正方形的邊交于點(diǎn)F，如下圖：

只要再連接BF，立刻便得到了一對(duì)全等三角形，△AEG≌△BFG，就可以證明BF∥AC，只要再延長(zhǎng)FB，就完成了這一步的任務(wù)；

②過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線

過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線，方法與前面類似，如下圖：

仍然利用點(diǎn)G在網(wǎng)格中的特殊地位，取BD與網(wǎng)格線交點(diǎn)K，連接KG并延長(zhǎng)，找到它的中心對(duì)稱點(diǎn)K'，再連接AK'并延長(zhǎng)，交圓于點(diǎn)M，根據(jù)圖中構(gòu)造的全等三角形可證AM∥BD；

連接CM并延長(zhǎng)，交射線FB于點(diǎn)Q，連接PQ；

作圖依據(jù)：由于AM∥BD，且它們?cè)趫A內(nèi)都是弦，所以它們所夾的弧相等，這兩段弧所對(duì)的圓周角也相等，于是∠ACP=∠BCQ，再由前一步驟中BF∥AC，得到∠ABQ=120°，減掉∠ABC之后，得∠CBQ=60°，所以∠CAP=∠CBQ，再加上AC=BC，可證△ACP≌△BCQ，如下圖：

所以CP=CQ，現(xiàn)在只剩下最后一個(gè)需要驗(yàn)證的問(wèn)題，即∠PCQ是否為60°？

由AM∥BD，可得∠CNM=∠D=60°，由同弧所對(duì)圓周角相等，可得∠CMN=∠ABC=60°，所以∠CPQ=60°.

保留全部作圖過(guò)程后，如下圖：

解題思考

本題最難想到的是點(diǎn)G的用途，它不僅是線段AB的中點(diǎn)，更可以看作是一部分網(wǎng)格的對(duì)稱中心，至于是哪部分網(wǎng)格，根據(jù)需要取舍，可以是2個(gè)、4個(gè)甚至更多網(wǎng)格的對(duì)稱中心；

仍然以作AC的平行線為例，如下圖：

同樣在作BD的平行線的時(shí)候，也存在多種作法，如下圖：

線段BD與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，除一個(gè)之外，其余均可用于構(gòu)造全等三角形，從而作出BD的平行線，有興趣的讀者可以思考，哪個(gè)點(diǎn)不行，為什么？

網(wǎng)格作圖極考驗(yàn)學(xué)生的幾何綜合能力，利用網(wǎng)格構(gòu)造所需的幾何圖形，必須對(duì)各類基本圖形如全等三角形、平行四邊形、圓等概念理解透徹，才有可能在作圖過(guò)程中想到去構(gòu)造它們.

我們需要認(rèn)識(shí)到網(wǎng)格作圖與尺規(guī)作圖間緊密的聯(lián)系，讓學(xué)生意識(shí)到尺規(guī)作圖的重要性，并且理解作圖依據(jù)，這是核心任務(wù)；并在平時(shí)就設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)用網(wǎng)格代替部分尺規(guī)操作，在網(wǎng)格環(huán)境下重新理解作圖依據(jù).