一

先發(fā)優(yōu)勢(shì)

有一個(gè)蘋果，兩個(gè)人拋硬幣來(lái)決定誰(shuí)吃這個(gè)蘋果，先拋到正面者吃。問(wèn)先拋的人吃到蘋果的概率是多少？

讓我來(lái)一步步解決這個(gè)概率問(wèn)題。

1. 設(shè)先拋的人吃到蘋果的概率為 P

2. 分析可能的情況：

• 第一次拋正面(概率 1/2) → 先拋者吃蘋果

• 第一次拋反面(概率 1/2)且第二次拋反面(概率 1/2) → 繼續(xù)新一輪，相當(dāng)于重新開(kāi)始

• 第一次拋反面(概率 1/2)且第二次拋正面(概率 1/2) → 后拋者吃蘋果

1. 寫出概率方程：P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P

解釋：

• 1/2 是第一次就拋到正面的概率

• (1/2 × 1/2) × P 是雙方都拋到反面后重新開(kāi)始的概率乘以重新開(kāi)始后先拋者獲勝的概率

1. 求解方程： P = 1/2 + (1/4)P

   3P/4 = 1/2

   ?P = 2/3

因此，先拋硬幣的人吃到蘋果的概率是 2/3 (約66.67%)。

這個(gè)結(jié)果是符合直覺(jué)的：先拋的人有更大的機(jī)會(huì)，但優(yōu)勢(shì)并不是壓倒性的。后拋的人仍有 1/3 的機(jī)會(huì)吃到蘋果。

很多時(shí)候，先下手為強(qiáng)啊。???????????

二

遞歸概率

在上面的計(jì)算里，P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P還是有點(diǎn)兒奇怪，難道不用計(jì)算雙方都一直沒(méi)有拋到正面，后續(xù)新一輪繼續(xù)拋的可能性嗎？

讓我們仔細(xì)思考一下為什么這個(gè)方程是完整的：

當(dāng)我們寫出 P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P 時(shí)，這個(gè)方程實(shí)際上已經(jīng)包含了所有可能的后續(xù)回合。因?yàn)椋?/p>

• P 本身就代表了"先拋者最終獲勝的概率"

• 當(dāng)雙方都拋到反面時(shí)，整個(gè)游戲相當(dāng)于重新開(kāi)始，此時(shí)先拋者獲勝的概率依然是 P

在這種“無(wú)限往復(fù)”的拋硬幣問(wèn)題中，確實(shí)不用顯式地列出后續(xù)所有拋的可能性，因?yàn)樵凇半p方都拋到反面”之后，整個(gè)過(guò)程會(huì)“回到原點(diǎn)”，也就是回到了最初的情形——先拋的人仍舊先拋。

這就涉及到概率的遞歸性質(zhì)。

舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明后續(xù)回合是如何被包含的：

1. 第一輪：P = 1/2 + (1/4)P

2. 將第一個(gè) P 展開(kāi)：P = 1/2 + (1/4)(1/2 + (1/4)P)

3. 繼續(xù)展開(kāi)：P = 1/2 + 1/8 + (1/16)P

4. 再展開(kāi)：P = 1/2 + 1/8 + (1/16)(1/2 + (1/4)P) ...

（請(qǐng)忽略上面括號(hào)的混亂）

如果我們把這個(gè)無(wú)限展開(kāi)的級(jí)數(shù)加起來(lái)，最終會(huì)得到相同的結(jié)果：P = 2/3

這就是為什么一個(gè)簡(jiǎn)單的方程 P = 1/2 + (1/2 × 1/2) × P 就能完整描述這個(gè)問(wèn)題--

它是一個(gè)遞歸方程，通過(guò) P 自身就隱含地包含了所有可能的后續(xù)回合。

這就是遞歸概率的核心：用一個(gè)方程把“無(wú)限回到初始”的情形壓縮進(jìn)一個(gè)簡(jiǎn)單的表示里。

這種思維方式在很多概率問(wèn)題中都很有用，尤其是在處理可能無(wú)限持續(xù)的過(guò)程時(shí)。

接下來(lái)我們看一道有趣的題目，也就是這篇文章的主題：賭徒破產(chǎn)問(wèn)題。

三

賭徒破產(chǎn)

賭徒破產(chǎn)問(wèn)題是一個(gè)經(jīng)典的概率遞歸問(wèn)題，它不僅具有有趣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，更蘊(yùn)含著深刻的現(xiàn)實(shí)意義。

這個(gè)問(wèn)題描述的是：一個(gè)賭徒帶著初始資金去賭場(chǎng)，目標(biāo)是贏到某個(gè)金額。每次賭博贏的概率為p，輸?shù)母怕蕿?-p，每次賭注為1元。

問(wèn)題是：這個(gè)賭徒能贏到目標(biāo)金額的概率是多少？

讓我們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)精確描述這個(gè)問(wèn)題：

• 初始資金：i元

• 目標(biāo)金額：M元

• 單次賭博勝率：p

• 單次賭注：1元

• 待求：從i元開(kāi)始贏到M元（包含本金）的概率P(i)

用遞歸思路分析，考慮賭徒第一次賭博后的情況：

• 贏了（概率p）：資金變?yōu)閕+1

• 輸了（概率1-p）：資金變?yōu)閕-1

?因此可以寫出遞歸方程：

P(i) = p·P(i+1) + (1-p)·P(i-1)

邊界條件為：

• P(0) = 0 （破產(chǎn)）

• P(M) = 1 （達(dá)到目標(biāo)）

以下會(huì)有兩種情況，去的是公平賭場(chǎng)，和不公平賭場(chǎng)。

1. 公平賭場(chǎng)（p=0.5）

當(dāng)p=0.5時(shí)，遞歸方程變?yōu)椋?/p>

P(i) = 0.5·P(i+1) + 0.5·P(i-1)

整理得：P(i+1) - 2P(i) + P(i-1) = 0

這是一個(gè)等差數(shù)列方程，結(jié)合邊界條件可解得（這里略去二階差分方程的計(jì)算過(guò)程）：

P(i) = i/M

這個(gè)解的物理意義是：

• 在公平賭場(chǎng)中

• 從i元開(kāi)始

• 贏到M元（包含本金）的概率??

• 等于初始資金占目標(biāo)金額的比例

這個(gè)簡(jiǎn)潔的結(jié)果完美地反映了"公平賭場(chǎng)"的特性：

獲勝概率與初始資金成正比，與目標(biāo)金額成反比。

這意味著什么？

即使在公平賭場(chǎng)（p=0.5）：

• 獲勝概率隨目標(biāo)金額線性下降

• 賭場(chǎng)資金遠(yuǎn)大于賭徒，相當(dāng)于M趨近無(wú)窮

• 最終獲勝概率趨近于零

即使你是一個(gè)理性的賭徒，也不能例外。???????

我們用數(shù)字來(lái)一個(gè)個(gè)推演一下。

根據(jù)P(i) = i/M，i是你帶入賭場(chǎng)的錢，M是你帶走的錢。

所以，假如你進(jìn)了賭場(chǎng)，根本不賭，晃悠一圈，觀察一下概率如何在人間被極少數(shù)人類用于操縱如此一大群人，然后離開(kāi)。?????

這樣的話，你的i等于M，并且實(shí)現(xiàn)的概率是100%。???????

你也許會(huì)說(shuō)：這個(gè)100%太無(wú)聊了吧！?????????

也許只有虧過(guò)錢的人，不管是在賭場(chǎng)里，還是在失敗的投資中，以及借錢出去收不回來(lái)，才能理解，i等于M，是一件多么幸福的事情。?????

事實(shí)上，格雷厄姆的投資思想的第一原則，也許就是讓i小于等于M。??

繼續(xù)代入數(shù)字：

• 如果賭徒目標(biāo)是翻倍（M=2i），那么獲勝概率是0.5

• 如果目標(biāo)是翻三倍（M=3i），概率降到0.33

• 如果想贏取巨額獎(jiǎng)金（M>>i），概率就會(huì)趨近于0

越貪心，輸?shù)迷蕉啵?/p>

所以，即使是在理論上完全公平的賭場(chǎng)（p=0.5），賭徒的處境也是不利的，因?yàn)椋?/p>

• 只要目標(biāo)收益率大于100%，獲勝概率就小于0.5

• 想贏得越多，獲勝概率越低

• 賭場(chǎng)的資金優(yōu)勢(shì)確保了長(zhǎng)期來(lái)看賭徒必輸

對(duì)于一個(gè)資金有限的小賭徒，想要無(wú)限追求“掙到特別高的目標(biāo)金額”，獲勝概率當(dāng)然幾乎為零。

并且，世界上哪里有完全公平的賭場(chǎng)呢？

2. 不公平賭場(chǎng)（p<0.5）

如果是不公平賭場(chǎng)（ p < 0.5 ），或者賭場(chǎng)額外抽水（莊家在每次賭注里占更大優(yōu)勢(shì)），那么賭徒的獲勝概率更低。這時(shí)更能凸顯“長(zhǎng)期開(kāi)賭必然破產(chǎn)”的結(jié)局。

這涉及到另一條公式，在 p≠0.5時(shí)，賭徒最終達(dá)成目標(biāo) M的概率會(huì)變?yōu)椋?/p>

如上公式所示，在不公平賭場(chǎng)（p<0.5）上，賭徒獲勝概率隨目標(biāo)金額增加呈指數(shù)下降。

不用說(shuō)，結(jié)果更慘。

賭徒在不同目標(biāo)金額下的獲勝概率

注：假設(shè)初始資金1000元，橫軸表示目標(biāo)金額是初始資金的倍數(shù)，縱軸表示獲勝概率

四

小結(jié)

本文從有趣的概率遞歸問(wèn)題出發(fā)，闡明了"回到原點(diǎn)"或"狀態(tài)遷移"的思想如何用遞歸方程來(lái)簡(jiǎn)潔地計(jì)算無(wú)限過(guò)程的概率。

在賭徒破產(chǎn)問(wèn)題中，結(jié)論尤其值得關(guān)注：

1、即使在理論上完全公平的賭場(chǎng)（p=0.5），賭徒想要獲得遠(yuǎn)超初始資金的收益，概率都會(huì)線性下降并最終幾乎為零。

2、如果是"不公平賭場(chǎng)"（p<0.5）或莊家抽水，則情況更糟糕，賭徒的贏面會(huì)呈指數(shù)加速走向微乎其微。

雖然類似于拋硬幣的游戲是對(duì)不確定性現(xiàn)實(shí)世界的簡(jiǎn)單化模擬，但考慮到絕大多數(shù)人世間的勝率還遠(yuǎn)不如賭場(chǎng)，所以不妨用相關(guān)公式來(lái)理解隨機(jī)性是如何愚弄人的。??????????????????????

畢竟，我們無(wú)法與物理定律對(duì)抗，也不能欺騙數(shù)學(xué)公式。?????????

對(duì)于公平賭場(chǎng)的P(i) = i/M，我們能獲得如下啟發(fā)：

• 完全遠(yuǎn)離賭博，這是最佳選擇

• 保持"i=M"心態(tài)，珍惜已有資產(chǎn)

• 投資替代賭博，讓時(shí)間和復(fù)利成為朋友

• 量力而行，避免過(guò)高的"翻倍"目標(biāo)

• 降低投資預(yù)期收益率，提高獲勝概率

• 保持充足的資金儲(chǔ)備

此外，采用止損和分散投資策略，避免在單一機(jī)會(huì)中壓上全部資本。

當(dāng)目標(biāo)遠(yuǎn)大而資金有限，面對(duì)不利或不公平的規(guī)則，失敗是大概率事件。

真正的智慧在于——把自己放在“正期望”的環(huán)境中，讓時(shí)間站在自己這邊，不要在負(fù)期望或虛幻好運(yùn)的迷霧中越陷越深。

這，才是為什么賭徒必然破產(chǎn)。

投資最重要的事情是：做概率和時(shí)間都站在你這邊的事情。

（精確的說(shuō)法是大量重復(fù)做期望值為正的事情。）

數(shù)學(xué)會(huì)說(shuō)話，而它告訴我們的是一個(gè)永恒的真理 ——在概率對(duì)我們不利的事情上，越快全身而退越好。