噴灑覆蓋中的數(shù)學(xué)——綜合與實(shí)踐壓軸題探究

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022版)》優(yōu)化了課程內(nèi)容，在強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時(shí)強(qiáng)調(diào)了學(xué)科實(shí)踐和綜合實(shí)踐，因此綜合與實(shí)踐必然成為中考考查的內(nèi)容.目前在全國(guó)各地中考題中的“綜合與實(shí)踐”試題，基本上可分為點(diǎn)綴型、緊密型和情境型三類(lèi)，其中數(shù)學(xué)文化類(lèi)試題以點(diǎn)綴型為主，數(shù)學(xué)探究類(lèi)試題以緊密型為主，數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)類(lèi)以情境型為主，跨學(xué)科項(xiàng)目學(xué)習(xí)類(lèi)試題較少見(jiàn).

以上內(nèi)容摘自《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》2024年第2期27頁(yè)，守正創(chuàng)新 行穩(wěn)致遠(yuǎn)——2023年中考“綜合與實(shí)踐”專(zhuān)題命題分析，作者是浙江省杭州市基礎(chǔ)教育研究室王紅權(quán).

公園綠化時(shí)噴灑裝置是大家比較熟悉的事物，涉及到的數(shù)學(xué)問(wèn)題其實(shí)很多，例如水滴的運(yùn)動(dòng)路徑，噴頭方向、出水速度與噴灑范圍的關(guān)系等，都可以是數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐的命題素材，本題選自2024年北京市某校九年級(jí)月考?jí)狠S題，研究噴灑覆蓋率相關(guān)問(wèn)題，令人耳目一新.

題目

解析：

01

(1)正方形內(nèi)切圓是比較熟悉的圖形，正方形邊長(zhǎng)為18m，可知圓半徑為9m，如下圖：

于是圓面積為81πm2，正方形面積為324m2，我們可求出噴灑覆蓋率p=π/4；

02

(2)由特殊到一般，先看安裝4個(gè)噴灑裝置，如下圖：

推導(dǎo)如下：

再看安裝9個(gè)噴灑裝置，如下圖：

推導(dǎo)如下：

最后來(lái)看安裝n個(gè)裝置的情況，此時(shí)每個(gè)小圓的半徑為9/n，同樣的方法來(lái)求噴灑覆蓋率，推導(dǎo)如下：

綜上，采用增加裝置個(gè)數(shù)且減小噴灑半徑的方案，無(wú)法提高噴灑覆蓋率.

03

(3)不妨順次連接E、F、G、H，如下圖：

在Rt△AEF中，利用勾股定理列方程，得：

x2+(18-x)2=(2r)2

r2=x2/2-9x+81

則y=πr2=πx2/2-9πx+81π=π/2(x-9)2+81π/2

于是當(dāng)x=9時(shí)，y有最小值81π/2，此時(shí)r=9√2/2m.

04

(4)對(duì)于前面的結(jié)論，我們需要進(jìn)行深入理解，y取最小值意味著覆蓋正方形的這些圓“剛剛夠”，半徑更大當(dāng)然也能覆蓋，但有些浪費(fèi)了，基于這個(gè)認(rèn)知，再來(lái)看本小題，就好理解了.

從上圖動(dòng)畫(huà)中我們可以發(fā)現(xiàn)，最“節(jié)約”的圓，就是y取最小值時(shí)的情況，此時(shí)E、F、G、H分別位于各邊中點(diǎn)，如下圖：

可以看出，這四個(gè)圓分別是四個(gè)小正方形的外接圓，因此對(duì)于安裝方式，我們可以得出一種通用方法，即將要噴灑的正方形等分成若干個(gè)小正方形，再作出小正方形的外接圓，并且還可以求出，每個(gè)小圓的直徑等于小正方形對(duì)角線長(zhǎng)，請(qǐng)注意，這條信息非常關(guān)鍵！

現(xiàn)在噴灑半徑為3√2m的小圓，逆向求它的內(nèi)接正方形的對(duì)角線為6√2m，則小正方形邊長(zhǎng)為6m，對(duì)于這塊正方形草坪，恰好是每條邊的三分之一，所以我們需要將正方形草坪等分成9個(gè)小正方形，如下圖：

所以至少安裝9個(gè)噴灑裝置.

解題思考

本題難點(diǎn)在于理解“至少安裝”，從數(shù)學(xué)上理解就是用若干個(gè)圓去覆蓋正方形，最少需要多少個(gè)，當(dāng)圓的大小和正方形大小確定時(shí)，就是我們需要在題目中解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

為了幫助學(xué)生理解，題目設(shè)置了3個(gè)小題，其中第1小題讓學(xué)生知道如何計(jì)算噴灑覆蓋率，即分別求正方形及其內(nèi)切圓的面積；第2小題則通過(guò)有規(guī)律地增加圓的數(shù)量，但不改變覆蓋方法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這種覆蓋方法的局限性，從而為新的方法創(chuàng)設(shè)懸念；第3小題并沒(méi)有要求學(xué)生去設(shè)計(jì)新方案，而是給出方案，讓學(xué)生去理解其中的原理，并思考為什么這種方案可以做到噴灑覆蓋率為1，在此基礎(chǔ)上，習(xí)慣于探究的學(xué)生會(huì)進(jìn)一步思考，這個(gè)最小值是什么含義；第4小題才是最終需要解決的實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)理解第3小題的結(jié)論，并利用這個(gè)結(jié)論來(lái)完成綜合與實(shí)踐活動(dòng).

用圓覆蓋正方形，或者用正方形覆蓋圓，要做到“剛剛好”，其實(shí)也是個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即正方形內(nèi)切圓或外接圓的問(wèn)題，并且隨著圖形位置不同，大小也會(huì)發(fā)生相應(yīng)變化，這不僅要求學(xué)生平時(shí)在進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，多動(dòng)手動(dòng)腦，也要注重積累這些“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”，而這種經(jīng)驗(yàn)，是綜合與實(shí)踐課程的精髓，當(dāng)我們組織教學(xué)，在課堂上完成一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)之后，學(xué)生最大的收獲，應(yīng)該就是這種數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而命題中，將這種經(jīng)驗(yàn)作為考查對(duì)象，是一種創(chuàng)新.