導(dǎo)語

當(dāng)用網(wǎng)絡(luò)描述一個復(fù)雜系統(tǒng)時，僅憑兩兩連接（pairwise interactions）或許遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。學(xué)術(shù)會議上的多人交談、藥物配方中的多種成分、論文的多個合著者，這些場景本質(zhì)上都涉及高階交互（higher-order interactions）。然而，記錄高階交互的成本極高。究竟何時必須使用高階網(wǎng)絡(luò)，何時又可以安全地將其簡化為普通的成對網(wǎng)絡(luò)？2026年1月15日發(fā)表于《Nature Communications》的一項研究給出了新的答案。該研究借鑒量子統(tǒng)計物理與信息論，提出了一套量化框架，試圖回答：高階網(wǎng)絡(luò)能否在保留核心功能信息的前提下，被“壓縮”回低階結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：高階網(wǎng)絡(luò)，可約性（reducibility），密度矩陣（density matrix），擴(kuò)散動力學(xué)，信息論，模型壓縮（model compression）

王璇丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Reducibility of higher-order networks from dynamics 論文鏈接：https://www.nature.com/articles/s41467-025-68273-4 發(fā)表時間：2026年1月15日 論文來源：Nature Communications

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)不再只是“連線”

傳統(tǒng)成對網(wǎng)絡(luò)以節(jié)點代表個體、邊代表關(guān)系，在社交網(wǎng)絡(luò)分析和腦科學(xué)等領(lǐng)域功不可沒。但現(xiàn)實遠(yuǎn)比這復(fù)雜，一場代謝反應(yīng)往往是多種底物與產(chǎn)物同時參與的“化學(xué)反應(yīng)團(tuán)”；學(xué)術(shù)會議中，人們以小團(tuán)體形式交談，而非僅一對一對話。這些場景的核心在于，交互本質(zhì)是“群體的”，而非“成對的”。

為捕捉這種群體交互，研究者引入高階網(wǎng)絡(luò)，常見形式包括超圖（hypergraph）和單純復(fù)形（simplicial complex）。高階網(wǎng)絡(luò)雖描述能力強(qiáng)大，但代價也極其高昂：存儲需新格式，分析需新工具，計算復(fù)雜度更隨階數(shù)指數(shù)級攀升。這引出研究的核心矛盾：高階網(wǎng)絡(luò)的“高保真”描述，究竟何時必要且不可替代？

從結(jié)構(gòu)到功能：

用擴(kuò)散動力學(xué)尋找最優(yōu)“壓縮率”

判斷一個網(wǎng)絡(luò)是否“可約”，不能只看結(jié)構(gòu)，更要看在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)生的動態(tài)過程，從功能視角評判結(jié)構(gòu)的必要性。研究者選擇擴(kuò)散（diffusion）作為探測工具：想象在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點上釋放信息，它會沿著連接流動。短時間內(nèi)，信息只能流到鄰近節(jié)點，探測局部結(jié)構(gòu)。長時間內(nèi)，信息遍布全網(wǎng)，反映全局特征。這個時間參數(shù)τ（擴(kuò)散時間）就像一個可調(diào)的“放大鏡”。

圖1 高階網(wǎng)絡(luò)的功能可約性。

作者借用量子物理中的密度矩陣概念，將網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)編碼為一個矩陣。他們進(jìn)一步將其推廣到高階網(wǎng)絡(luò)，使用多階拉普拉斯矩陣（multiorder Laplacian）對1到D階超邊進(jìn)行加權(quán)求和，從而定義了描述高階網(wǎng)絡(luò)在擴(kuò)散時間τ下狀態(tài)的高階密度矩陣。這個矩陣成為評價模型的數(shù)據(jù)本身。

對于一個最高階數(shù)的超圖，如果只保留到d階的超邊，簡化版模型能在多大程度上再現(xiàn)原始系統(tǒng)的擴(kuò)散過程？研究者構(gòu)建了一個代價函數(shù)（cost function）來量化：代價 = 信息損失 + 模型復(fù)雜度。信息損失用KL散度衡量，簡化模型描述原始數(shù)據(jù)時丟失了多少信息。模型復(fù)雜度則用簡化模型與“孤立節(jié)點系統(tǒng)”的熵之差定義：結(jié)構(gòu)越有序、越復(fù)雜，熵越低，復(fù)雜度越高。兩者之和呈現(xiàn)先降后升的U形曲線，曲線最低點對應(yīng)的d就是最優(yōu)階數(shù)。

圖2 成本函數(shù)，基于Kullback–Leibler散度的信息損失與模型復(fù)雜度之和。

比較不同階數(shù)模型時面臨一個關(guān)鍵技術(shù)問題：擴(kuò)散時間τ的尺度不統(tǒng)一。一個3階超圖和只含1、2階的簡化版，相同τ值意義完全不同。為此，作者推導(dǎo)出時間標(biāo)度變換。考慮簡化模型時，必須用更長的擴(kuò)散時間去探測，才能與原始模型公平比較。這一變換保證了比較的公平性。

從理論到現(xiàn)實：

超環(huán)、隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)與實證數(shù)據(jù)

為驗證框架有效性，團(tuán)隊從理論模型一路走向真實數(shù)據(jù)。他們首先分析超環(huán)，發(fā)現(xiàn)極短擴(kuò)散時間下，超環(huán)不可約，因信息流動依賴局部高階結(jié)構(gòu)。中等及較長時間下，它變得可約，因全局連通性主導(dǎo)。這表明可約性本身依賴于觀察的時間尺度。隨后轉(zhuǎn)向兩種隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)：隨機(jī)超圖中，各階超邊隨機(jī)獨立生成，系統(tǒng)幾乎不可約，而隨機(jī)單純復(fù)形因包含性約束產(chǎn)生結(jié)構(gòu)冗余，變得可約。

團(tuán)隊進(jìn)一步分析60個真實高階網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)集，涵蓋合著、面對面接觸、藥物成分、代謝、政治提案、戲劇角色同臺等。短時間尺度下，不同系統(tǒng)可約性差異巨大。長時間尺度下，幾乎所有系統(tǒng)都不可約，再次印證了高階交互在宏觀尺度上無法忽視。

圖3 超環(huán)的解析可約性。

什么決定了可約性？研究者聚焦可約性較高的“面對面接觸”數(shù)據(jù)集，設(shè)計三套隨機(jī)化策略：配置模型（Configuration Model），節(jié)點交換（Node Swap）和完全洗牌（Shuffling）。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，策略1和2雖極大破壞嵌套性，卻保留了可約性，只有策略3破壞度異質(zhì)性后，才徹底摧毀可約性。在這些社交網(wǎng)絡(luò)中，決定可約性的核心并非高階與低階的包含關(guān)系，而是節(jié)點的度分布及其異質(zhì)性：只要“社交活躍度”分布被保留，擴(kuò)散功能就依然“可約”。

邁向更精簡的復(fù)雜系統(tǒng)模型

當(dāng)面對日益復(fù)雜的數(shù)據(jù)世界，知道何時應(yīng)該簡化，或許比知道何時應(yīng)該復(fù)雜化更具智慧。并非所有系統(tǒng)都天生需要高階模型，在面對面接觸這類場景中，成對交互或許就能抓住問題的核心。而在學(xué)術(shù)合作、生化反應(yīng)中，高階交互則是不可約簡的硬核信息。這項工作成功地將統(tǒng)計物理、量子信息的概念引入網(wǎng)絡(luò)科學(xué)，為解決網(wǎng)絡(luò)模型的維度災(zāi)難提供了一個嶄新的視角。未來的研究可以沿著這個方向，探索更普適的動力學(xué)、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呢惾~斯模型選擇框架，以及如何將這種可約性分析應(yīng)用于更多的生物和社會系統(tǒng)，例如理解大腦的連接組究竟在多大程度上依賴于高階的神經(jīng)元協(xié)同放電。

高階網(wǎng)絡(luò)社區(qū)

隨著對現(xiàn)實世界探索的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)在許多真實的復(fù)雜系統(tǒng)中，組成系統(tǒng)的個體之間不僅存在二元交互關(guān)系，也廣泛存在多個體同時（或以特定順序）進(jìn)行交互，即高階交互現(xiàn)象。為此，研究人員分別發(fā)展出了基于超圖、單純復(fù)形、依賴關(guān)系等的網(wǎng)絡(luò)高階表示模型，為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析和研究提供了新的思路。

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