系列簡介

這是我們一系列原創(chuàng)技術(shù)貼，從易到難，每天學習一點。所有內(nèi)容均為疾控數(shù)據(jù)分析、科研論文相關(guān)，或者說很多和現(xiàn)在的熱門監(jiān)測預警相關(guān)，所以我們這個系列就叫“監(jiān)測預警基礎”。

今天是第6節(jié)，前面講了很多的關(guān)于算數(shù)移動平均的應用，今天算是新的內(nèi)容，講一講指數(shù)加權(quán)移動平均，系統(tǒng)學習一下究竟什么是指數(shù)加權(quán)！

在傳染病監(jiān)測預警中，我們常常面臨這樣的困境：傳統(tǒng)的簡單移動平均對近期變化的反應不夠靈敏，而單周數(shù)據(jù)又波動太大、容易誤報。

今天，我們聚焦一種在疾控監(jiān)測中極具價值的高級工具——指數(shù)加權(quán)移動平均（The Exponentially Weighted Moving Average,EWMA）。它能夠更敏銳地捕捉疫情的早期變化，為防控決策贏得寶貴時間。

EWMA是由美國貝爾實驗室的S. W. Roberts博士于1959年提出。原有簡單控制圖法在處理小波動或趨勢變化時存在不足，Roberts博士開始探索新的方法，其在簡單移動平均的基礎上引入了權(quán)重的思想。

核心思想就是距今越近，數(shù)據(jù)權(quán)重越大；距今越遠，數(shù)據(jù)權(quán)重越??；隨著時間的推移呈指數(shù)形式遞減。

EWMA的優(yōu)勢就是它會給近期數(shù)據(jù)更高權(quán)重，讓監(jiān)測系統(tǒng)對新變化更敏感，同時對歷史數(shù)據(jù)“逐漸淡忘”，實現(xiàn)動態(tài)追蹤。

所以EWMA最重要參數(shù)就是，為權(quán)重因子， 0<<1，決定遞減速度。

我們通過比較就能發(fā)現(xiàn)指數(shù)加權(quán)移動平均的精髓

計算指數(shù)加權(quán)之后的病例數(shù)：

Zt：今天（t時刻）的指數(shù)加權(quán)之后的病例數(shù)，也就是EWMA值

Xt：今天的新觀測值，原始數(shù)據(jù)

Z(t-1)：昨天的EWMA值，它包含了昨天之前的所有歷史信息

λ：平滑系數(shù)，或者交權(quán)重系數(shù)、衰減因子，這就是我們要說的的“指數(shù)”，它決定了新數(shù)據(jù)的權(quán)重和遺忘的速度，范圍在0到1之間。

額外說明一下，這個初始值，也就是第一個EWMA值，通常直接用第一個數(shù)據(jù)點或目標的平均值。

此外，從操作方法上看這個方法似乎只是移動指數(shù)加權(quán)，但其本質(zhì)是對所有歷史數(shù)據(jù)做的加權(quán)平均，它代表一個“位置”或“中心趨勢”：就像算術(shù)平均值代表一組數(shù)據(jù)的中心一樣，EWMA值代表了近期而且含歷史影響過程水平的估計中心，所以叫指數(shù)加權(quán)移動平均！

λ的含義：λ是衡量“新數(shù)據(jù)的權(quán)重”
λ越大（接近1，如0.9）：當前新數(shù)據(jù)的權(quán)重越大，這意味著模型更信任新數(shù)據(jù)，更不信任歷史記憶。因此，它對新變化反應極快，曲線會緊跟原始數(shù)據(jù)的波動，靈敏度高，但穩(wěn)定性差，更容易被噪聲干擾。

λ越?。ń咏?，如0.1）：新數(shù)據(jù)的權(quán)重越小，歷史記憶的權(quán)重越大。這意味著模型更信任長期建立的歷史基線，對新數(shù)據(jù)持保守態(tài)度。因此，它對新變化反應溫和，曲線非常平滑，能有效過濾短期波動，穩(wěn)定性強，但靈敏度低，對微小變化反應滯后。

λ大靈敏度高，λ小穩(wěn)健性強。如果還沒有很理解，接下來我們直接上數(shù)據(jù)看看，不同λ大小畫出來的線究竟有啥區(qū)別！

我們對以下數(shù)據(jù)做7日移動平均、λ為0.8的移動加權(quán)和λ為0.3的移動加權(quán)。

畫出折線圖如下

這樣就可以比較清楚的看出

黑色線（日病例數(shù)）：這是實際每天報告的病例數(shù)，是“真相”，但充滿噪聲，日報告波動、周末效應等。

黃色線（λ=0.8 的 EWMA）：它幾乎緊貼著黑色線上下起伏。每當黑色線在12月3日、17日出現(xiàn)尖峰，黃線都幾乎同步地出現(xiàn)一個陡峭的突起。因為 λ=0.8 賦予了新數(shù)據(jù)（今日病例數(shù)）高達80%的權(quán)重，所以它像一個“實時跟蹤器”，極度敏感，幾乎無滯后，但也因此繼承了原始數(shù)據(jù)的大部分波動。它適合用于需要分鐘級、小時級反應的高頻監(jiān)控場景，在日數(shù)據(jù)層面則顯得“躁動”。

綠色線（λ=0.3 的 EWMA）：它是最平滑、最沉穩(wěn)的一條線。它完全無視了12月3日的單日小尖峰，對于12月中下旬的整體上升趨勢，它呈現(xiàn)出一條清晰、堅定、無抖動的上升斜坡。因為 λ=0.3 賦予新數(shù)據(jù)的權(quán)重僅30%，而70%依賴于歷史（昨天的EWMA值）。這使它擁有強大的“慣性”和“記憶力”，穩(wěn)定性更強，能有效過濾掉偶然的日度波動，只將持續(xù)、一致的趨勢變化納入曲線。

紅色線（7日移動平均）：其平滑度介于黃綠之間，像一個標準的“趨勢基線”，7日移動平均的主要問題是會完全忘掉7天之前的數(shù)據(jù)。它的行為在數(shù)學上近似于一個 λ 約等于 0.25 的 EWMA，所以其平滑和穩(wěn)健的特性與綠線（λ=0.3）相似，但因為是固定窗口的簡單平均，在趨勢轉(zhuǎn)折時可能略有一點不同。

好了，這些應該明白指數(shù)加權(quán)移動平均怎么計算以及λ的影響了吧！

那么，λ是怎么確定的呢，這么說吧，λ 是通過“基于目標的計算”得到一個初始建議值，然后通過“手動調(diào)整”來最終確定的，它不是憑空試出來的，但也不是一個固定公式能完全算死的。λ的“最終值”確定必須通過結(jié)合自身歷史數(shù)據(jù)反復測試、調(diào)整，以達到誤報和漏報間最佳平衡。

編輯：普通疾控人 | 審核：詩酒趁年華

文章來源 | 原創(chuàng)

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本文具體說明

本文為原創(chuàng)內(nèi)容，文章為個人理解所學，不涉及疫情信息及內(nèi)部保密數(shù)據(jù)，發(fā)表的目的為自我總結(jié)及給有需求的人士學習使用。如有不妥之處，歡迎聯(lián)系小編修改、刪除。

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