在 19 世紀(jì), 數(shù)學(xué)在根本層面上發(fā)生了改變. 在它變得更深刻、更廣闊的同時(shí), 對(duì)數(shù)學(xué)洞察能力的要求也越來越高. 而且, 數(shù)學(xué)催生了一種職業(yè). 大學(xué)和技術(shù)研究所大量涌現(xiàn), 需要能夠講授高級(jí)課題的職員. 數(shù)學(xué)教師, 曾經(jīng)是沒有經(jīng)濟(jì)保證的職業(yè)選擇, 此時(shí)則成了鐵飯碗.

數(shù)學(xué)的研究越來越聚焦于精確的定義和嚴(yán)格的證明. 歐拉揮灑自如的風(fēng)格已經(jīng)讓位于柯西的詳盡分析. 微積分演變?yōu)槲覀兘裉焖Q的分析學(xué)科. 貫穿這個(gè)世紀(jì)的一條分析主線, 是圍繞傅里葉級(jí)數(shù)展開的種種問題.

本章將探究這方面的一些成果, 以黎曼對(duì)積分的定義與相關(guān)工作為起點(diǎn), 以對(duì)實(shí)數(shù)本質(zhì)的驚人洞察為高潮. 這只不過是一個(gè)簡(jiǎn)短的體驗(yàn), 讓你品味一下微積分在這個(gè)變革的世紀(jì)中發(fā)生了什么.

來源 | 《微積分溯源：偉大思想的歷程》

作者 | [美] 戴維·M. 布雷蘇（David M. Bressoud）

譯者：陳見柯 林開亮 葉盧慶

摘自 | 《分析》一章

1

黎曼積分

伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann, 1826—1866) 曾受教于卡爾·弗里德里?！じ咚购凸潘顾颉さ依死? 也許是 19 世紀(jì)最有才能的數(shù)學(xué)家, 他完全革新了幾何學(xué)與分析學(xué), 而且只用一篇文章就奠定了素?cái)?shù)定理的證明基礎(chǔ). 這一工作表明, 復(fù)平面上的微積分可以用來證明, 不超過 的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)漸近等于 . 1854 年, 為取得在德國(guó)大學(xué)擔(dān)任教授的資格 (Habilitation), 黎曼需要提交一篇更高級(jí)的論文, 他選擇了建立任意一個(gè)函數(shù)可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)的充要條件.

所成的論文《用三角級(jí)數(shù)來表示函數(shù)》以對(duì)這個(gè)問題的歷史綜述開始. 黎曼接下來建立了一個(gè)函數(shù)可積的充要條件. 關(guān)鍵在于, 對(duì)于任意事先指定的上界 , 變差大于 的地方必須要在一些區(qū)間之內(nèi), 所有這些區(qū)間的長(zhǎng)度之和可以任意小.

為了說得更清楚, 我們需要定義函數(shù)在一點(diǎn)的變差(振幅). 考慮 在所有包含 的開區(qū)間上的變差. 在點(diǎn) 的變差 , 定義為 在所有包含 的開區(qū)間上的變差的下確界. 特別是, 當(dāng)且僅當(dāng) 在點(diǎn) 連續(xù). 函數(shù) 在 可積的一個(gè)充要條件是, 對(duì)任意的 與 , 變差大于等于 的點(diǎn)集中在總長(zhǎng)度小于 的一些區(qū)間內(nèi).

這個(gè)定理的證明可以通過將定積分定義為

的極限而變得更簡(jiǎn)單, 其中 是區(qū)間 中的任意一點(diǎn). 正如我們?cè)?4.6 節(jié)介紹的, 當(dāng)且僅當(dāng)我們可以控制各個(gè)區(qū)間的最大長(zhǎng)度, 使得以下和式

與 0 任意接近時(shí), 定積分存在. 連續(xù)函數(shù)是可積的, 因?yàn)槲覀兛梢栽诿總€(gè)區(qū)間上將變差 控制得足夠小. 不過, 我們也可以使得上述和式足夠小, 只要我們能夠?qū)⒛切┳儾畋容^大的子區(qū)間的長(zhǎng)度總和控制住.

例如, 只在一個(gè)點(diǎn)不連續(xù)的有界函數(shù)是可積的. 盡管包含這個(gè)點(diǎn)的區(qū)間上的變差不可能小于該點(diǎn)的變差, 但我們可以將區(qū)間的長(zhǎng)度選取得足夠小, 使得它對(duì)式 (5.1) 的貢獻(xiàn)足夠小.

雖然黎曼對(duì)定積分的定義很笨拙, 但對(duì)他的本意來說是完美的, 即建立函數(shù)可積的充要條件.

黎曼立即構(gòu)造了一個(gè)函數(shù), 它在包含它的每一個(gè)任意小的區(qū)間內(nèi)都是不連續(xù)的, 但它仍然是可積的. 他的函數(shù)是

其中 是 減去離 最近的整數(shù), 在例外的情況中, 即當(dāng) 為半整數(shù)時(shí), 離它最近的整數(shù)有兩個(gè), 此時(shí)定義 等于 0. 例如, . 雖然這個(gè)函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都有一個(gè)不連續(xù)點(diǎn), 但對(duì)每個(gè) , 只存在有限多個(gè)點(diǎn), 其變差超過 . 這個(gè)函數(shù)的圖像在圖 5.1 中給出.

黎曼對(duì)定積分的最后一個(gè)貢獻(xiàn), 是引入了瑕積分的概念. 他指出, 有可能通過取極限的方式來定義一個(gè)無界函數(shù)的積分. 作為例子, 等于 2, 這是因?yàn)?/p>

雖然 在 上不可積, 但它的瑕積分存在.

圖 5.1　黎曼的在每個(gè)區(qū)間上都有不連續(xù)點(diǎn)的可積函數(shù):

2

微積分基本定理的反例

只要我們只考慮連續(xù)函數(shù), 微積分基本定理就成立. 但如果我們考慮的是具有無限多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù), 就不能再假定作為黎曼和極限的積分與作為原函數(shù)的積分是等價(jià)的. 這樣一個(gè)例子來自式 (5.2) 所給出的黎曼函數(shù).

有些函數(shù)本身是導(dǎo)函數(shù), 但不一定是連續(xù)的. 一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的例子是不連續(xù)導(dǎo)數(shù) (discontinuous derivative), 我將稱之為 函數(shù), 定義如下 (圖 5.2):

圖 5.2　當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí),

當(dāng) 時(shí), 的導(dǎo)數(shù)是 . 當(dāng) 時(shí), 需要用到導(dǎo)數(shù)的極限定義來計(jì)算:

在 處不連續(xù), 因?yàn)?/p>

不存在.

正如加斯東·達(dá)布 (Gaston Darboux, 1842—1917) 在 19 世紀(jì) 70 年代所證明的, 每個(gè)導(dǎo)函數(shù)一定具有介值性質(zhì).也就是說, 若 是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù), 則對(duì)任意的 , 以及介于 和 之間的任意的 , 一定存在某個(gè) , 使得 . 式 (5.3) 所定義的函數(shù) 具有一個(gè)在 處不連續(xù)的導(dǎo)函數(shù), 不過 仍然具有介值性質(zhì): 每個(gè)包含 的開區(qū)間也包含使得 取值為 的點(diǎn), 以及取值為 之間任意一個(gè)值的點(diǎn) (圖 5.3).

圖 5.3　當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí),

從達(dá)布的結(jié)果可以推出, 式 (5.2) 所給出的黎曼可積函數(shù)不可能是一個(gè)導(dǎo)函數(shù). 如果我們定義

則 在 的任意不連續(xù)點(diǎn)都不可導(dǎo). 內(nèi)的每個(gè)開區(qū)間都包含無窮多個(gè) 的值, 使得 在 處不可導(dǎo), 正是因?yàn)楸欢x為積分的函數(shù)并不一定就可導(dǎo).

在另一個(gè)方向又如何呢？如果已知函數(shù) 是另一個(gè)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù), 是否總可以對(duì) 積分？嚴(yán)格說來, 不存在可以作為黎曼和極限的無界函數(shù). 由此可以推出, 的導(dǎo)數(shù)在任何包含 的區(qū)間上不可積. 不過這還不夠令人信服, 因?yàn)殍Ψe分的確存在. 這個(gè)問題的一個(gè)更強(qiáng)的版本如下: 如果已知函數(shù) 在區(qū)間 上每一點(diǎn)可導(dǎo), 而且其導(dǎo)數(shù) 在該區(qū)間上有界, 是否可以推出 在該區(qū)間上可積？換言之, 若在區(qū)間 上 存在且有界, 是否總有

令人驚訝的是, 回答是“否”. 原因是定積分有可能不存在. 這個(gè)結(jié)果是由意大利數(shù)學(xué)家維托·沃爾泰拉 (Vito Volterra, 1860—1940) 在 20 歲時(shí)給出的, 在一年以后, 即 1881 年發(fā)表. 這種函數(shù)的一個(gè)反例的介紹與解釋可見 [10], pp. 89-94.

雖然有這些令人不安的發(fā)現(xiàn), 關(guān)于黎曼積分的真正問題倒不在于微分與積分并非總是互逆的過程, 而是在于結(jié)果表明, 黎曼積分 —— 其定義用于澄清一個(gè)不連續(xù)函數(shù)何時(shí)可積 —— 不太適合用來證明關(guān)于積分的其他結(jié)果. 特別是 19 世紀(jì)晚期的一個(gè)重要問題: 刻畫那些可以逐項(xiàng)積分的級(jí)數(shù). 這對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)以及其他源于求解偏微分方程的級(jí)數(shù)來說尤為重要.

一個(gè)不可逐項(xiàng)積分的級(jí)數(shù)的例子如下:

其部分和是 (圖 5.4)

圖 5.4　 的圖像, (實(shí)線), (長(zhǎng)虛線), (短虛線)

隨著 的增大, 的駝峰越來越向右隆起. 對(duì) 中的每個(gè) 隨著 的增大而趨近于 0. 因此,

這個(gè)級(jí)數(shù)的積分等于 0,

而 下方區(qū)域的面積是 , 當(dāng) 趨于無窮時(shí), 它趨于 1:

在這個(gè)例子中, 無窮和的積分并不等于積分的無窮和.

亨利·勒貝格 (Henri Lebesgue, 1875—1941) 在其 1901 年的博士論文中, 提出了一個(gè)不同的積分, 這可以消除與黎曼積分相關(guān)聯(lián)的許多困難. 他沒有分割函數(shù)的定義域, 而是選擇劃分值域.

在圖 5.5 中, 值域被劃分為高度等于 1 的各個(gè)區(qū)間. 所標(biāo)記的區(qū)間, 是那些取值在 1 和 2 之間的點(diǎn). 我們用 , 即 的測(cè)度, 來表示所有這些區(qū)間的長(zhǎng)度之和. 更一般的是, 是那些函數(shù)值介于 和 之間的區(qū)間長(zhǎng)度之和. (我們將在 5.4 節(jié)看到任意一個(gè)集合的測(cè)度的定義.) 對(duì)于 在 上的積分, 我們讓每個(gè)測(cè)度 乘以對(duì)應(yīng)函數(shù)值下界 而得到一個(gè)下界, 讓每個(gè)測(cè)度 乘以對(duì)應(yīng)函數(shù)值上界 而得到一個(gè)上界:

圖 5.5　勒貝格的水平劃分

如果我們選取一個(gè)更精細(xì)的劃分, 比如 , 且 , 其中 取遍所有的整數(shù), 并令 是滿足 的 構(gòu)成的集合, 則定積分有上、下界如下:

當(dāng)且僅當(dāng)可以選取充分小的 , 使得上式兩端的上和與下和任意接近時(shí), 函數(shù) 的勒貝格積分存在. 上和與下和的差正好是

因?yàn)? 是有限的, 所以如果 在區(qū)間上的上界與下界都是有限的, 那么可以選取充分小的 , 使得這個(gè)差任意小. 在這種情況下, 勒貝格積分的上界與下界趨向于同一個(gè)極限.

值得指出的是, 勒貝格的方法可以處理在一個(gè)方向無界 (即無上界或無下界) 的函數(shù), 而無須借助于瑕積分. 如果積分的下極限趨于 , 那么定積分的值就定義為 . 如果積分的下極限趨于某有限值, 則上極限必定趨于同一個(gè)值, 從而定積分具有一個(gè)有限值. 此外, 如果我們?cè)试S 是無窮多個(gè)區(qū)間的并集, 則沃爾泰拉的函數(shù)不再構(gòu)成微積分基本定理的反例. 利用勒貝格積分, 它的導(dǎo)數(shù)仍然是可積的. 不過最重要的在于, 勒貝格大大簡(jiǎn)化了決定一個(gè)級(jí)數(shù)何時(shí)可以逐項(xiàng)積分的問題. 今天, 大多數(shù)數(shù)學(xué)家在使用勒貝格積分, 不論是以隱含的方式, 還是以明確的方式.

為使用勒貝格積分, 我們需要對(duì)任意的有界實(shí)數(shù)集 定義其測(cè)度 , 而這意味著我們需要理解實(shí)數(shù)的子集的可能結(jié)構(gòu), 結(jié)果表明, 這個(gè)挑戰(zhàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了 19 世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)家可以想見的難度. 對(duì)此, 我們將在本章最后一節(jié) (5.4 節(jié)) 探究.

不過, 即便是勒貝格積分也并不是完美無缺的. 如果我們考慮函數(shù)

它具有定義良好的導(dǎo)數(shù),

但在任何一個(gè)包含 0 的區(qū)間上, 這個(gè)導(dǎo)數(shù)既沒有上界也沒有下界, 它的勒貝格積分不存在, 盡管其瑕黎曼積分確實(shí)存在. 在 1912 年與 20 世紀(jì) 60 年代之間, 好幾位數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了克服這個(gè)問題的等價(jià)的積分定義, 通常被稱為亨斯托克 (Henstock) 積分.

這里所傳遞出的信息在于, 積分的整個(gè)課題遠(yuǎn)比我們?cè)谝辉⒎e分里學(xué)到的復(fù)雜. 然而, 學(xué)生必須要懂得函數(shù)既可以作為微分的逆運(yùn)算, 也可以作為求和的極限過程. 微積分基本定理正好聯(lián)系了積分的這兩個(gè)觀點(diǎn), 而且微積分的諸多威力恰好依賴于這一聯(lián)系.

3

魏爾施特拉斯和橢圓函數(shù)

在談?wù)?19 世紀(jì)的分析學(xué)發(fā)展時(shí), 必定要提到卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯 (Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, 1815—1897, 圖 5.6), 他被貝爾 (Bell) 譽(yù)為“分析學(xué)之父”. 我們 (在 3.3 節(jié)) 早就碰到過他了, 他確立了歐拉關(guān)于正弦函數(shù)的無窮乘積的合理性. 自 1856 年起, 魏爾施特拉斯開始擔(dān)任柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)教授, 他在那里教授周期為兩年的分析學(xué), 培養(yǎng)了 19 世紀(jì)晚期的許多數(shù)學(xué)家, 包括索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭 (Sofia Kovalevskaya, 1850—1891), 首位在歐洲的大學(xué)擁有數(shù)學(xué)教授席位的女?dāng)?shù)學(xué)家. 對(duì)一致連續(xù)性與一致收斂性的現(xiàn)代理解, 主要功歸于魏爾施特拉斯. 他證明了, 如果一個(gè)級(jí)數(shù)一致收斂, 那么它就可以逐項(xiàng)積分,

魏爾施特拉斯經(jīng)常在課堂上慷慨地分享其數(shù)學(xué)創(chuàng)見, 并允許學(xué)生細(xì)化并發(fā)表.

圖 5.6　卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯

第一個(gè)無處可微的連續(xù)函數(shù)的例子就是這種情形. 1872 年, 魏爾施特拉斯在課堂上給出了這個(gè)例子. 三年后, 他的學(xué)生保羅·杜波依斯-雷蒙德將它發(fā)表了. 關(guān)于魏爾施特拉斯的諸多貢獻(xiàn)的一個(gè)極好的介紹可見于威廉·鄧納姆 (William Dunham) 的《微積分的歷程》(The Calculus Gallery).

魏爾施特拉斯的成功之路并非一帆風(fēng)順. 他父親對(duì)他的期望是在普魯士政府謀得一個(gè)管理職位. 為此, 他把魏爾施特拉斯送到大學(xué)學(xué)習(xí)法律、金融和經(jīng)濟(jì). 因?yàn)楦赣H不允許他追求數(shù)學(xué), 魏爾施特拉斯非常沮喪, 他忽略了所有課程, 連期末考試也懶得搭理. 大學(xué)肄業(yè)一年后, 他進(jìn)入明斯特大學(xué), 預(yù)備成為一名高中數(shù)學(xué)老師. 1841 年, 剛好快到他 26 歲生日時(shí), 他終于畢業(yè)了, 并得到了第一份教職.

幸運(yùn)的是, 魏爾施特拉斯在明斯特大學(xué)的老師有克里斯托夫·古德曼 (Christoph Gudermann, 1798—1852), 他是當(dāng)時(shí)少有的橢圓函數(shù)與阿貝爾函數(shù)方面的專家之一. 魏爾施特拉斯的最大貢獻(xiàn)就在于對(duì)這類函數(shù)的研究, 遺憾的是, 只有極少數(shù)數(shù)學(xué)本科專業(yè)課程會(huì)介紹這類函數(shù). 在業(yè)余時(shí)間, 他探究這類函數(shù)的奧秘, 偶爾發(fā)表幾篇文章, 但很少受到關(guān)注. 直到 1854 年, 他發(fā)表了《關(guān)于阿貝爾函數(shù)的理論》( “Zur Theorie der Abelschen Functionen” ), 這項(xiàng)工作是如此重要, 以至于哥尼斯堡大學(xué)授予他榮譽(yù)博士學(xué)位, 柏林大學(xué)則聘請(qǐng)他為數(shù)學(xué)教授.

為討論魏爾施特拉斯所取得的成就, 我們需要復(fù)平面的微積分知識(shí), 因此這超出了我們?cè)谶@些篇幅里可以解釋的范圍. 然而, 由于橢圓函數(shù)非常重要, 在當(dāng)今最激動(dòng)人心的數(shù)學(xué) (從費(fèi)馬大定理的證明一直到現(xiàn)代物理中的弦論) 中占有中心位置, 因此值得指出它們是如何定義的, 以及為什么如此重要. 橢圓函數(shù)的名字源于一個(gè)曾經(jīng)困擾牛頓的問題: 求出橢圓的一段弧長(zhǎng). 正如在 2.6 節(jié)所提到的, 人們?cè)?1659 年就已經(jīng)知道了弧長(zhǎng)公式

一旦知道行星的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓, 自然就引出了求橢圓弧長(zhǎng)的問題. 如果我們考慮中心在原點(diǎn)的上半橢圓 (其中 ), 或

其導(dǎo)數(shù)是

從 0 到 的弧長(zhǎng)為

其中, .

問題源于被積函數(shù)分母中的四次多項(xiàng)式的平方根. 在同一時(shí)期, 人們還發(fā)現(xiàn)了其他類似的積分, 其中最著名的一個(gè)是, 確定單擺何時(shí)沿著其擺弧到達(dá)某給定點(diǎn)的積分.這些積分 (分子是一個(gè)多項(xiàng)式, 分母是一個(gè)三次或四次多項(xiàng)式的平方根) 后來被稱為橢圓積分. 分母是一個(gè)五次以上多項(xiàng)式的平方根的積分被稱為阿貝爾積分, 源于阿貝爾對(duì)它們的研究.

1797 年, 高斯發(fā)表了對(duì)這些積分的第一個(gè)真正見解, 聚焦于最簡(jiǎn)單的情形 (這個(gè)函數(shù)的圖像見圖 5.7):

高斯注意到, 可積分的類似函數(shù) (其分母是一個(gè)二次多項(xiàng)式的平方根的函數(shù)) 是更常見的函數(shù)的反函數(shù),

其中, 是雙曲正弦函數(shù), 而 是它的反函數(shù). 第一個(gè)見解是, 與其考慮由橢圓積分定義的函數(shù), 不如關(guān)注其反函數(shù).橢圓函數(shù) 就定義為 的反函數(shù).

第二個(gè)見解源于這樣的認(rèn)識(shí): 橢圓函數(shù)只有定義在復(fù)平面 上才能展現(xiàn)其真正本性. 雖然正弦函數(shù)與雙曲正弦函數(shù)作為實(shí)數(shù)軸上的函數(shù)看起來非常不同, 但如果在復(fù)平面上考察它們, 差異就消失了. 多虧了歐拉公式, 即 3.3 節(jié)的式 (3.9), 我們有

作為復(fù)平面到自身的一個(gè)映射, 雙曲正弦函數(shù)只不過是將正弦的自變量與因變量都旋轉(zhuǎn)了 . 特別是, 在復(fù)平面上, 它們都是周期函數(shù). 正弦函數(shù)有實(shí)周期: . 雙曲正弦有純虛周期:

圖 5.7　 在 上的圖像

橢圓函數(shù)具有兩個(gè)周期. 復(fù)平面上的兩個(gè)線性無關(guān)的向量可定義一個(gè)平行四邊形, 它可以用來產(chǎn)生一個(gè)格 (圖 5.8). 正如正弦函數(shù)在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的值由它在 上的值唯一確定, 一個(gè)橢圓函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上的值也由它在這個(gè)平行四邊形上的值唯一確定. 事實(shí)上, 正弦函數(shù)與雙曲正弦函數(shù)只不過是橢圓函數(shù)的極端情況, 兩個(gè)周期之一被拉伸為無窮大.

圖 5.8　一個(gè)具有周期 1 和 的橢圓函數(shù)的周期格

橢圓函數(shù)的優(yōu)美與威力源于它們之間的錯(cuò)綜復(fù)雜的恒等式與關(guān)系. 三角函數(shù)等式只不過是橢圓函數(shù)世界的紛繁景象的蒼白投影. 對(duì)橢圓函數(shù)的直覺, 沒有一個(gè)人能勝過印度數(shù)學(xué)家斯里尼瓦瑟·拉馬努金 (Srinivasa Ramanujan, 1887—1920), 他甚至經(jīng)歷了兩次大學(xué)輟學(xué). 作為馬德拉斯 (Madras) 的一個(gè)職員, 他有機(jī)會(huì)到馬德拉斯大學(xué)的數(shù)學(xué)圖書館學(xué)習(xí), 他在那里學(xué)到了橢圓函數(shù), 并開始自己探索這片沃土. 他的發(fā)現(xiàn)在其短暫的一生中得到了認(rèn)可, 他成為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)最年輕的會(huì)員之一, 而且是印度第二個(gè)享有此榮譽(yù)的人. 由于人們后來發(fā)現(xiàn), 源于橢圓函數(shù)的對(duì)稱遍及大自然, 因此拉馬努金的結(jié)果對(duì)現(xiàn)代物理來說變得非常根本.14今天稱為金奈 (Chennai).

4

實(shí)數(shù)的子集

格奧爾格·康托爾以他在集合論和實(shí)數(shù)系結(jié)構(gòu)方面的工作著稱, 不過他是從一個(gè)關(guān)于傅里葉級(jí)數(shù)的問題開始做研究的. 康托爾曾在柏林大學(xué)跟隨庫默爾 (Kummer) 和魏爾施特拉斯研習(xí)數(shù)論. 在獲得擔(dān)任大學(xué)教授職位的資格后, 他的第一份工作是在哈雷-維滕貝格大學(xué)任教, 在那里, 愛德華·海涅勸服他研究傅里葉級(jí)數(shù)中存在的問題. 康托爾很快全力解決了具有無窮多個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開. 這使他認(rèn)識(shí)到, 實(shí)數(shù)的所有無限子集并非都可以比較大小.

事實(shí)上, 正如數(shù)學(xué)界慢慢認(rèn)識(shí)到的, 對(duì)實(shí)數(shù)的有界無限子集的大小, 存在三種不同的描述方式: 稠密性、基數(shù)和測(cè)度.

稠密性是其中最古老的, 而且在 19 世紀(jì)中葉前就已經(jīng)得到了很好的理解. 如果每一個(gè)與 相交的開區(qū)間都包含 的子集 中的至少一個(gè)點(diǎn), 則稱 在 中稠密. 事實(shí)上, 你一旦知道每個(gè)開區(qū)間都包含 中至少一點(diǎn), 就不難知道, 每個(gè)開區(qū)間包含 中無限多個(gè)點(diǎn). 上的一個(gè)稠密子集的經(jīng)典例子是該區(qū)間上的全部有理數(shù). 許多更小的子集, 比如分母為 2 的冪的有理數(shù), 也是稠密的.

另一個(gè)極端, 是所謂的無處稠密的子集. 如果 的每個(gè)開子區(qū)間都包含著一個(gè)子區(qū)間, 它跟 不相交, 則集合 在 中無處稠密. 任何有限子集都是無處稠密的, 集合 在 中也是無處稠密的. 的每個(gè)開子區(qū)間 都包含一點(diǎn) , 它不是某整數(shù)的倒數(shù), 因此它介于 與 之間 ( 為正整數(shù)). 與 的交就是 的一個(gè)子區(qū)間, 它不包含任何形如 的數(shù).

正是康托爾在 1873 年發(fā)現(xiàn) (并于次年發(fā)表) 了無限集合的基數(shù)的重要性.兩個(gè)集合具有相同的基數(shù), 當(dāng)且僅當(dāng)它們之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 在這個(gè)意義下, 區(qū)間上的有理數(shù)集不超過正整數(shù)集. 從 和 出發(fā), 我們可以將有理數(shù)線性排序: 取有理數(shù)的簡(jiǎn)約形式, 如果 或 , 而 , 則 排在 之前. 中的全部有理數(shù)可以與正整數(shù)形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 如下所示.

有限集或可以與正整數(shù)集形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合都稱為可數(shù)的. 有理數(shù)集是可數(shù)的. 這也許不足為怪. 那么究竟是否只有一種無限呢？康托爾 1874 年的論文表明, 存在更大的無限. 特別是, 區(qū)間上的全部實(shí)數(shù)無法與正整數(shù)集構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 這個(gè)事實(shí)的標(biāo)準(zhǔn)證明有賴于實(shí)數(shù)的無限小數(shù)表示是眾所周知的.鄧納姆對(duì)康托爾的原始證明給出了優(yōu)美的論述, 這個(gè)證明直接建立在實(shí)數(shù)的完備性基礎(chǔ)上.如果一個(gè)集合不是可數(shù)的, 就稱為不可數(shù). 區(qū)間上的實(shí)數(shù)集不可數(shù).

我們?cè)?5.2 節(jié)遇到了描述一個(gè)集合大小的第三種方式, 稱為測(cè)度. 勒貝格用三條準(zhǔn)則來定義它:

(1) 區(qū)間的測(cè)度是其長(zhǎng)度, 單點(diǎn)集的測(cè)度是 0, 對(duì)于有限多個(gè)或可數(shù)無窮多個(gè)有測(cè)度定義的集合的無交并, 其測(cè)度是各個(gè)子集合的測(cè)度之和;

(2) 對(duì)一個(gè)集合做平移 (即每個(gè)元素加上同一個(gè)數(shù)) 不會(huì)改變其測(cè)度;

(3) 若 和 都有定義良好的測(cè)度, 則 與 (在集合 中而不在集合 中的元素構(gòu)成的集合) 都有定義良好的測(cè)度, 而且后者的測(cè)度等于 的測(cè)度減去 的測(cè)度.

正如勒貝格所能證明的, 這些條件唯一確定了度量實(shí)數(shù)子集大小的方式. 為求出一個(gè)集合 的測(cè)度, 我們定義 的一個(gè)覆蓋 為開區(qū)間的任意一個(gè)包含了 的可數(shù)并, 而該覆蓋的長(zhǎng)度則定義為這些開區(qū)間的長(zhǎng)度之和.若 的測(cè)度存在, 則它必定等于 的所有覆蓋之長(zhǎng)度的下確界. 如果我們考慮 的子集, 則這個(gè)區(qū)間上的有理數(shù)集 (它是可數(shù)多個(gè)測(cè)度等于 0 的集合的無交并) 的測(cè)度等于 0, 而這個(gè)區(qū)間上的無理數(shù)集具有測(cè)度 1. 任意可數(shù)集必的測(cè)度必然為 0. 那么 上的不可數(shù)集又如何呢？

正如康托爾所表明的, 一個(gè)不可數(shù)集的測(cè)度也可能為 0. 如果我們從區(qū)間 出發(fā), 去掉開區(qū)間 , 就得到了一個(gè)測(cè)度為 的集合. 如果我們繼續(xù)去掉剩下兩個(gè)區(qū)間中間的三分之一, 即 和 , 就能得到一個(gè)測(cè)度為 的集合. 如法炮制, 我們?cè)诿恳徊饺サ羯弦徊绞Ｏ碌母鱾€(gè)區(qū)間中間的三分之一. 在第 步以后, 我們得到 個(gè)區(qū)間, 其總測(cè)度是 (圖 5.9). 集合 有時(shí)稱為康托爾塵 (Cantor dust), 它由 中剩下的點(diǎn)構(gòu)成. 被去掉的集合是一些區(qū)間的可數(shù)并, 從而康托爾塵是可測(cè)的, 而且其測(cè)度是

集合 顯然包含了所有區(qū)間的端點(diǎn), 即分母為 3 的冪的有理數(shù). 也許會(huì)讓你驚訝的是, 中還包含不可數(shù)個(gè)其他點(diǎn).

圖 5.9　通過去掉中間的三分之一來構(gòu)造康托爾集

對(duì)此, 最簡(jiǎn)單的方式是采用 3 為底數(shù), 或者 0 和 1 之間的實(shí)數(shù)的三進(jìn)制表示. 例如

這些區(qū)間的端點(diǎn)是有窮的三進(jìn)制小數(shù). 0 和 1 之間的每個(gè)實(shí)數(shù)都可以在十進(jìn)制下表示為一個(gè)無窮小數(shù), 而且這個(gè)表示是唯一的, 除了那些有限小數(shù)也可以表示為以無窮多個(gè) 9 結(jié)尾的無窮小數(shù)以外, 例如

以類似的方式, 0 和 1 之間的每個(gè)實(shí)數(shù)都可以在三進(jìn)制下表示為一個(gè)無窮小數(shù) (其中只用到數(shù)字 ), 而且這個(gè)表示是唯一的, 除了那些有限小數(shù)也可以表示為以無窮多個(gè) 2 結(jié)尾的無窮小數(shù)以外, 例如

康托爾塵由單位區(qū)間去掉了區(qū)間 , 然后是 和 , 再接下來是 , 以及 等之后剩下的點(diǎn)構(gòu)成. 換言之, 我們?nèi)サ袅怂衅湮ㄒ蝗M(jìn)制表示中在某個(gè) 1 之后有非零數(shù)字的數(shù). 一個(gè)三進(jìn)制表示中只含有 0 和 2 的實(shí)數(shù)一定包含在康托爾塵中. 特別是, 康托爾塵中的一個(gè)元素是

這樣的數(shù)有多少呢？顯然在 與形如

的二進(jìn)制表示的數(shù)之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

然而, 單位區(qū)間上的每一個(gè)實(shí)數(shù)都有這樣一個(gè)二進(jìn)制表示, 因此 的基數(shù)與單位區(qū)間 的基數(shù)一樣大.

集合 是違背直覺的. 它是無處稠密的: 每一個(gè)與 相交的開區(qū)間必定與我們?nèi)サ舻哪硞€(gè)開區(qū)間有交集. 它是不可數(shù)的. 而且它具有測(cè)度 0.

一個(gè)無處稠密的集合可以具有正的測(cè)度嗎？回答是肯定的. 如果我們不是去掉中間的三分之一區(qū)間, 而是去掉中間的五分之一區(qū)間, 那么每個(gè)開區(qū)間將仍然與其中之一有交集, 但剩下的集合的測(cè)度是

通過選取更小的分?jǐn)?shù), 我們可以使得剩下來的無處稠密集的測(cè)度與 1 任意接近.

那么一個(gè)稠密子集是否可以有測(cè)度 0 呢？如果它是可數(shù)的, 比如說是有理數(shù)集, 那么回答顯然是肯定的. 不過即便這個(gè)集合不可數(shù), 回答也可以是肯定的. 從康托爾集 出發(fā), 將 的一個(gè)副本 (按比例縮小) 放到區(qū)間 中. 然后將 的另一個(gè)副本 (按比例縮小) 放到那 3 個(gè)被去掉的長(zhǎng)度為 的區(qū)間中. 將 的另一個(gè)副本 (按比例縮小) 放到那 9 個(gè)被去掉的長(zhǎng)度為 的區(qū)間中. 如此下去, 直至無窮. 由于每一個(gè)集合的測(cè)度為 0, 故所有這些集合的并集測(cè)度為 0, 不過它在 中稠密.

綜上所述, 描述 的一個(gè)無限子集的大小有三種方式:

一共會(huì)產(chǎn)生 8 種可能的組合, 其中只有兩種不會(huì)出現(xiàn), 即“可數(shù)”與“正測(cè)度”相連的兩種組合.

種特殊情況, 因此這五個(gè)子集不能全都是可測(cè)的. 除此以外, 通過推廣他們的論證, 可以證明任意立體形狀可以劃分為有限多個(gè)子塊, 并用剛體運(yùn)動(dòng)重組為其他立體形狀. 這個(gè)結(jié)果的一個(gè)宜人的證明可見瓦普納 (Wapner) 的 [70], 書名《豌豆和太陽》(The Pea and the Sun) 的含義在于, 如果我們接受選擇公理, 那么理論上有可能將一粒豌豆 (pea) 分割成有限多塊, 然后利用剛體運(yùn)動(dòng)將它們重組為太陽 (sun) 大小的球體.

就像連續(xù)統(tǒng)假設(shè)一樣, 我們可以選擇接受或拒絕選擇公理, 而不影響我們對(duì)實(shí)數(shù)所知的其他一切, 包括我們是否選擇接受連續(xù)統(tǒng)假設(shè). 實(shí)數(shù)集真的是超出了你的想象.

《微積分的歷程：從牛頓到勒貝格》

作者：鄧納姆

譯者：李伯民 汪軍 張懷勇

本書榮獲“第七屆文津圖書獎(jiǎng)推薦書目”。

這不是一本數(shù)學(xué)家的傳記，而是一座展示微積分宏偉畫卷的陳列室。書中的每一個(gè)結(jié)果，從牛頓的正弦函數(shù)的推導(dǎo)，到伽瑪函數(shù)的表示，再到貝爾的分類定理，無一不處于各個(gè)時(shí)代的研究前沿，至今還閃爍著耀眼奪目的光芒。