數(shù)學(xué)思維是一種強(qiáng)大的認(rèn)知工具，它不僅幫助我們解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，還為我們提供了一種系統(tǒng)化、邏輯化的思考方式。

數(shù)學(xué)思維并非孤立存在的，它與多種思維方式密切相關(guān)，尤其是分析思維、綜合思維、系統(tǒng)性思維、批判性思維和創(chuàng)造性思維。

該如何培養(yǎng)這5種思維？《人人用得上的數(shù)學(xué)》用通俗的語(yǔ)言和好玩的例子帶你徜徉數(shù)學(xué)世界！

來(lái)源 | 《人人都用得上的數(shù)學(xué)：生活和工作中的數(shù)學(xué)思維》

作者 | [美] 阿爾伯特·拉瑟福德

譯者 | 談天星

01

分析思維與綜合思維

分析思維是指憑借細(xì)致、敏銳的思考，來(lái)解決問(wèn)題、分析數(shù)據(jù)、記憶信息并加以運(yùn)用的認(rèn)知活動(dòng)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，分析思維能力就是解決問(wèn)題的能力。這些特質(zhì)和能力可以引導(dǎo)人們以合理的方式尋求問(wèn)題的最優(yōu)解。

我們?cè)诜治鍪挛飼r(shí)，會(huì)將其拆解為易于理解的較小部分，逐一進(jìn)行評(píng)估與分析。但在拆解的過(guò)程中，我們極易忽略這些部分是如何相互關(guān)聯(lián)，并在具體情境中發(fā)揮作用的。最終，我們會(huì)陷入“分析癱瘓”。倘若其相互作用并不明顯，我們便難以洞悉。

而綜合思維就是幫助我們理解這些相互作用及協(xié)同關(guān)系的重要工具。

綜合不單是指將事物拆解研究后，再重新組合起來(lái)。如果說(shuō)分析思維讓我們得以認(rèn)識(shí)情境中的不同組成部分，那么綜合思維則有助于我們理解這些部分是如何協(xié)同工作的。再者，分析思維可以幫助我們將事物分解為最基本的組成部分，而綜合思維則幫助我們探尋這些組成部分的模式。也就是說(shuō)，分析思維的作用在于辨識(shí)差異，而綜合思維的作用則是發(fā)現(xiàn)共性，兩者分別代表了特殊化和一般化。在數(shù)學(xué)思維中，它們都是不可或缺的。

綜合思維比分析思維更加復(fù)雜，因?yàn)槭挛镩g的相互作用往往更加難以捉摸。綜合思維是動(dòng)態(tài)的，而分析思維則是靜態(tài)的。盡管兩者都能幫助我們發(fā)現(xiàn)模式、主題與共性，但綜合思維表現(xiàn)得更為迅速與直觀，因?yàn)樗揪途劢褂诖耍治鏊季S則側(cè)重于發(fā)現(xiàn)差異。兩種思維方式各有局限，卻也相輔相成。

關(guān)于綜合思維，以汽車廣告為例，“道奇”汽車品牌為推廣其卡車展開(kāi)了長(zhǎng)期的廣告活動(dòng)。多年來(lái)，其所屬公司通過(guò)分析消費(fèi)者數(shù)據(jù)及偏好，開(kāi)發(fā)產(chǎn)品并制定營(yíng)銷策略。其廣告活動(dòng)參考了人口特征、生活方式及消費(fèi)心態(tài)，綜合了多方面的主題，既突出卡車的強(qiáng)勁動(dòng)力和堅(jiān)固車身，又強(qiáng)調(diào)“道奇”作為“美國(guó)制造”和“美國(guó)企業(yè)”的身份，還展示了如何通過(guò)按鈕操作和座椅調(diào)整，將卡車變身為適合家庭使用的“旅行車”。綜合一切元素，只為打動(dòng)你購(gòu)買道奇卡車，無(wú)論你身處何種人生階段。在此之前，這些綜合起來(lái)的部分都已經(jīng)過(guò)嚴(yán)密分析。

02

系統(tǒng)性思維

系統(tǒng)性思維是用來(lái)理解復(fù)雜問(wèn)題與情境的簡(jiǎn)單技巧。我們可以通過(guò)這種思維方式對(duì)具體情境中的多個(gè)元素進(jìn)行統(tǒng)籌管理而非單一管理。

系統(tǒng)性思維、系統(tǒng)思維和系統(tǒng)化思維各不相同，含義不一。系統(tǒng)思維關(guān)注的是事物間的相互作用，系統(tǒng)化思維是指有條理地進(jìn)行思考，而系統(tǒng)性思維則是一種聚焦于整體的簡(jiǎn)便技巧。系統(tǒng)性思維的基本理念在于，一切事物都與其周遭事物相互關(guān)聯(lián)、彼此影響。當(dāng)我們以系統(tǒng)性思維解決問(wèn)題時(shí)，便不再孤立地應(yīng)對(duì)每個(gè)部分，而是將所有部分視作一個(gè)整體，進(jìn)行統(tǒng)籌管理。在關(guān)注各元素本身的同時(shí)，我們還需考慮其相互作用。

系統(tǒng)性思維遵循以下4個(gè)步驟。

1. 盡可能全面地列出組成要素，比如問(wèn)題、解決方案、機(jī)會(huì)、需求、預(yù)期結(jié)果及想法（即分析思維）。

2. 將共同要素歸為一組，并指出每組要素間的相似之處。例如，問(wèn)題與需求可被歸為一類，而預(yù)期結(jié)果、想法和機(jī)會(huì)則可另成一組（即綜合思維）。

3. 找出各組描述中重復(fù)出現(xiàn)的主題。

4. 遵循“組成要素→次主題→共同主題”的流程。

這個(gè)過(guò)程可以提升你應(yīng)對(duì)一切情境的洞察力，你或許會(huì)感嘆早該用系統(tǒng)性思維思考了。

初次遇到棘手的情境時(shí)，你很難識(shí)別其中的模式與主題。但隨著實(shí)踐的積累與技能的精進(jìn)，你便能輕松地識(shí)別它們。運(yùn)用系統(tǒng)性思維，不僅需要掌握知識(shí)與技能，還需熟悉各種模式與主題，從而具備相應(yīng)的識(shí)別力。隨著識(shí)別出既定主題與模式的能力逐漸根植于我們的腦海中，我們就能不假思索地識(shí)別出它們。也就是說(shuō)，我們并未領(lǐng)會(huì)它們?cè)诰唧w情境中的含義，只是基于慣性做出本能的反應(yīng)。由此可見(jiàn)，當(dāng)我們有意識(shí)地尋找并理解在情境中重復(fù)出現(xiàn)的模式與主題時(shí)，便可不斷進(jìn)步，對(duì)數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生更深刻的洞察力。

系統(tǒng)性思維結(jié)合了分析思維與綜合思維。在該思維過(guò)程中，我們需要列出自己所能想到的一切組成要素，通過(guò)分析尋找其共性。相比之下，單一的分析思維只需列出少量要素，通過(guò)排序選出最關(guān)鍵的一個(gè)，并將其他要素全部舍棄，以確保內(nèi)容的可控性，并減輕工作量。而在系統(tǒng)性思維模式下展開(kāi)分析思維，則需列出諸多要素，并提供最精確、最具代表性的模式。

如前文所述，系統(tǒng)性思維的第一步是分析——詳盡列出組成要素；第二步是綜合——找出所列要素中的共同主題與模式。

03

批判性思維

批判性思維指的是分析事實(shí)、構(gòu)建想法、梳理思路、辯護(hù)觀點(diǎn)、比較事物、推敲結(jié)論、驗(yàn)證（推翻）論點(diǎn)、解決問(wèn)題。該思維模式基于邏輯解決問(wèn)題，通過(guò)推理尋找答案。提出猜想時(shí)，批判性思維是論證的關(guān)鍵。

但并非所有情境或決策都可采用批判性思維。以戀愛(ài)為例，在決定約會(huì)對(duì)象或結(jié)婚對(duì)象時(shí)，我們往往依賴直覺(jué)與情感，而非批判與邏輯。個(gè)人喜好亦是如此。比如我很喜歡霍華德·錢(qián)德勒·克里斯蒂（Howard Chandler Christy）的征兵海報(bào)，卻說(shuō)不出緣由，畢竟我還喜歡他的其他作品，以及他所打造的“克里斯蒂女孩”。這種喜好并非后天習(xí)得，它是自然而然的。當(dāng)然，生活中確實(shí)有很多重要決策需要我們深思熟慮，比如選擇大學(xué)，決定上大學(xué)還是念職校，或者考慮是否接受一份遠(yuǎn)在異地的工作。

批判性思維之所以重要，是因?yàn)樗茏屛覀冊(cè)谡J(rèn)清自身情感的同時(shí)不受其控制。情感的干擾會(huì)讓人誤以為自己做出了正確決定。你可曾聽(tīng)說(shuō)，目擊者的證詞通常并不可靠？原因有很多，比如外界的干擾，比如目擊者自認(rèn)為看清了嫌疑人，比如目睹暴力行徑造成的心理創(chuàng)傷。辯護(hù)律師及檢察官都很清楚，目擊證詞往往是眾多證據(jù)中最不可信的，因此必須輔以間接證據(jù)，如法醫(yī)證據(jù)，才可確鑿認(rèn)定嫌疑人的罪行。

數(shù)學(xué)思維與批判性思維的區(qū)別在于，前者側(cè)重于對(duì)假設(shè)的證明，得出明確的結(jié)論（無(wú)論真假），后者依賴于觀點(diǎn)。運(yùn)用批判性思維時(shí)，人們并非根據(jù)解決方案正確與否做出決策。批判性思維者獲取信息后，會(huì)進(jìn)行分析、解讀，并結(jié)合自己的世界觀得出結(jié)論，進(jìn)而形成對(duì)研究主題的個(gè)人觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)思維者則會(huì)將信息拆解開(kāi)來(lái)，逐步推導(dǎo)出廣義的答案，再以模板和公式證實(shí)或推翻這一答案。

批判性思維專家羅伊·范登·布林克–布德根（Roy van den Brink-Budgen）博士指出，批判性思維者具有4種特質(zhì)：堅(jiān)持不懈、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、思維開(kāi)闊、勤勉努力。此外，美國(guó)伊利諾伊大學(xué)榮譽(yù)退休教授羅伯特·恩尼斯（Robert Ennis）博士也總結(jié)了批判性思維者所應(yīng)具備的一系列技能：

• 判斷信息來(lái)源是否可靠；

• 辨明結(jié)論、理由與假設(shè)；

• 判別論證優(yōu)劣，尤其是理由、假設(shè)及支撐論據(jù)；

• 確認(rèn)并維護(hù)立場(chǎng)；

• 提出合宜的澄清性問(wèn)題；

• 建立假設(shè)或設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，并加以評(píng)估；

• 根據(jù)語(yǔ)境定義術(shù)語(yǔ)；y 保持開(kāi)放的心態(tài)；

• 建立充分的認(rèn)知；

• 得出可靠的結(jié)論，但保持審慎的態(tài)度。

這些特質(zhì)或技能是可以傳授或習(xí)得的。批判性思維與分析思維一樣，并非與生俱來(lái)，而是通過(guò)教育與實(shí)踐培養(yǎng)所得。

假設(shè)有一位女性身患罕見(jiàn)病癥，危在旦夕。醫(yī)生提出，有一種鐳制劑或許能救她一命。此藥由同城的一位藥劑師近期研發(fā)所得，制作成本十分高昂，而定價(jià)更是成本的10倍。該藥劑師以200美元購(gòu)得原料，以2000美元出售每副藥劑。

患者的丈夫海因茨四處籌錢(qián)，只集得1000美元，也就是藥價(jià)的一半。他告訴藥劑師，自己的妻子生命垂危，懇請(qǐng)對(duì)方降低價(jià)格或允許延期付款。但藥劑師表示：“不行。我既然開(kāi)發(fā)了新藥，自然是要從中獲利的�！苯^望之余，海因茨溜進(jìn)實(shí)驗(yàn)室，為妻子偷得藥物。那么，海因茨的做法是否合理？為什么？以下信息和問(wèn)題或許能幫你厘清思路。

1. “哄抬物價(jià)”已成為近期新聞中的高頻詞，“大型藥企”的相關(guān)案例更是屢見(jiàn)不鮮，比如臭名昭著的馬丁·什克雷利（Martin Shkreli），再如瓦倫特制藥公司（于2018年更名為博士康公司）的丑聞。

2. 人的生命在多大程度上重于其他因素？你或許會(huì)同情海因茨夫婦，但他們終究無(wú)權(quán)支配該藥物或盜取他人財(cái)產(chǎn)。

這些問(wèn)題只是供你應(yīng)對(duì)這一兩難之境時(shí)作為參考。別忘了，批判性思維無(wú)關(guān)對(duì)錯(cuò)。

04

創(chuàng)造性思維

創(chuàng)造性思維是指將本無(wú)關(guān)聯(lián)的事物或想法聯(lián)系起來(lái)，或者建立新的聯(lián)系。當(dāng)你為解決難題而憂心時(shí)，創(chuàng)造性思維不僅能派上用場(chǎng)，說(shuō)不定還能讓你免于焦慮。我曾經(jīng)帶著兩個(gè)孩子去迪士尼樂(lè)園，那時(shí)他們還小，可以盡情玩耍，但還記不住父母的名字和電話號(hào)碼。以防萬(wàn)一，我給他們準(zhǔn)備了印有我的聯(lián)系方式的文身貼。幸而我們并未走散，不過(guò)，在那段為期一周的旅程中，不少家長(zhǎng)都來(lái)向我打聽(tīng)哪里可以買到這種貼紙。

數(shù)學(xué)思維強(qiáng)調(diào)邏輯，而創(chuàng)造性思維則依賴于想象力，可以帶來(lái)源源不斷的靈感與方案。它們各有特色，卻也正如我們先前提到的其他思維方式，是相輔相成的。數(shù)學(xué)思維者時(shí)常會(huì)遭遇瓶頸，陷入僵局。為取得進(jìn)展，他們會(huì)提出猜想，而后求證，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性的飛躍。我們將在下一章深入了解這一關(guān)聯(lián)。

數(shù)學(xué)思維是收斂的。它會(huì)將問(wèn)題拆解為各種觀點(diǎn)、答案或解決方案，以供進(jìn)一步分析與運(yùn)用。相比之下，創(chuàng)造性思維則是發(fā)散的。它從某一描述出發(fā)，向多個(gè)方向延伸，以尋求多種解決方案。

收斂的特點(diǎn)在于強(qiáng)調(diào)邏輯推理，注重得出一個(gè)明確、唯一的答案，傾向于深入探究問(wèn)題（縱向思維）。而發(fā)散的特點(diǎn)在于強(qiáng)調(diào)想象力探索多樣化的可能性與解決方案（橫向思維）。數(shù)學(xué)思維以隧道視野辨別命題的真假；而創(chuàng)造性思維則需廣泛考慮一切可能的選項(xiàng)，包括那些看似無(wú)關(guān)的選項(xiàng)。

創(chuàng)造性思維自有其益處。該思維過(guò)程還可以通過(guò)多種方式改善你的健康。一方面，它能緩解壓力。你可以通過(guò)各種創(chuàng)造性的活動(dòng)來(lái)釋放生活中的壓力，并根據(jù)自己的興趣加以調(diào)整。而緩解壓力則有助于預(yù)防心臟病、阿爾茨海默病和抑郁癥。另一方面，創(chuàng)造性思維還能激活大腦，保護(hù)并促進(jìn)神經(jīng)元的增長(zhǎng)，從而維護(hù)中樞神經(jīng)系統(tǒng)的健康。在經(jīng)歷重大疾病、傷痛或壓力（如分手、離異）后進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)，如手工制作、益智游戲，甚至是聽(tīng)音樂(lè)，都有助于恢復(fù)身心健康。

05

要點(diǎn)回顧

• 數(shù)學(xué)思維是一種認(rèn)知工具，它與如下5種概念息息相關(guān)：分析思維、綜合思維、系統(tǒng)性思維、批判性思維、創(chuàng)造性思維。

• 分析思維有助于揭示情境中各組成部分間的差異。綜合思維則有助于識(shí)別主題間的共性，以及組成要素的模式。

• 綜合思維、系統(tǒng)性思維、批判性思維、創(chuàng)造性思維皆與分析思維相輔相成（單獨(dú)或與其他概念相結(jié)合），為展開(kāi)分析思維提供了廣泛的選擇。

• 創(chuàng)造性思維是指將本不相干的事物或概念聯(lián)系起來(lái)，或是構(gòu)建新的可能。

《人人都用得上的數(shù)學(xué)：生活和工作中的數(shù)學(xué)思維》

作者：[美] 阿爾伯特·拉瑟福德（Albert Rutherford）

譯者：談天星

文科生也能掌握的數(shù)學(xué)思維入門(mén)寶典！

1.提升核心思維能力：數(shù)學(xué)思維是一種通過(guò)抽象、邏輯推理和模式識(shí)別，將復(fù)雜問(wèn)題分解并系統(tǒng)化，從而高效解決問(wèn)題和做出理性決策的思考方式。

2.與生活緊密相關(guān)：本書(shū)介紹了“系統(tǒng)性思維”“批判性思維”“模式識(shí)別”等實(shí)用策略，教你運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)、邏輯推理等數(shù)學(xué)工具，在生活中做出更理性的選擇。

3.文科生也能輕松掌握：本書(shū)不講公式，生動(dòng)的比喻和案例讓數(shù)學(xué)思維變得直觀有趣，幫你從“思維混亂”走向“頭腦清晰”。