圓背景下的無(wú)刻度直尺作圖

利用無(wú)刻度直尺作圖，意味著作圖過(guò)程中只能進(jìn)行連接、延長(zhǎng)等操作，我們?cè)谡叫尉W(wǎng)格中作圖，還可利用網(wǎng)格線(xiàn)間的平行或垂直關(guān)系，而在圓背景下進(jìn)行此類(lèi)作圖，則需要充分理解圓內(nèi)弦、圓心角、圓周角、弧之間的關(guān)聯(lián)，從軸對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性去看上述元素間的關(guān)系，構(gòu)造合適的圖形。

題目

解析：

01

（1）對(duì)于圖1，需要分析其中的等腰△ABC及AO的關(guān)系，由于圓和等腰三角形均為軸對(duì)稱(chēng)圖形，作為等腰三角形的外接圓，其圓心（外心）一定在BC邊的垂直平分線(xiàn)上，同時(shí)OA作為半徑，它所在直線(xiàn)是圓的對(duì)稱(chēng)軸，因此AO⊥BC，說(shuō)明我們只需要過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線(xiàn)即可達(dá)到要求；

過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線(xiàn)，即以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)直角，這令人聯(lián)想到圓周角，顯然直徑所對(duì)的圓周角是直角，如下圖：

02

（2）題目要求畫(huà)的∠MBN是圓周角，已知的∠ABC=120°也是圓周角，如何完成這種轉(zhuǎn)換？圖中我們將圓周角所對(duì)的弧端點(diǎn)與圓心連接并延長(zhǎng)，可得到一個(gè)圓心角∠MON，如下圖：

此時(shí)的∠MON與∠MBN對(duì)同一條弧MN，同時(shí)∠MON對(duì)頂角是∠AOC，∠AOC所對(duì)劣弧為弧ABC，優(yōu)弧為弧ANC，∠ABC所對(duì)弧為優(yōu)弧ANC，因此可得到∠AOC=120°，即∠MON=120°，最后求得∠MBN=60°；

03

（3）先觀察這個(gè)△ABC，通過(guò)計(jì)算邊長(zhǎng)或角度，發(fā)現(xiàn)∠ABC=90°，即這是一個(gè)直角三角形，因此我們?cè)谡覉A心時(shí)，會(huì)簡(jiǎn)單一些，根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，AC邊就是直徑，圓心就在AC中點(diǎn)處；

在網(wǎng)格中作線(xiàn)段中點(diǎn)，多用構(gòu)造全等三角形的方法如下圖：

連接格點(diǎn)E、F，交AC于點(diǎn)O，即為所求；

角平分BM將直角∠ABC分成兩個(gè)45°角，觀察前面用過(guò)的格點(diǎn)E、F，可以證明BE⊥EF且BE=EF，如下圖：

則△BEF是等腰直角三角形，我們需要的45°角出來(lái)了，即∠EBF=45°，說(shuō)明BF在∠ABC的角平分線(xiàn)上，我們延長(zhǎng)BF交圓O于點(diǎn)M，即為所求。

解題反思

關(guān)于網(wǎng)格中使用無(wú)刻度直尺作圖，難度最高的是天津市中考卷，其次是武漢市中考卷，網(wǎng)格背景意味著作圖只需要連接或延長(zhǎng)，連接格點(diǎn)、交點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)段；格線(xiàn)有平行與垂直兩種位置關(guān)系，這些條件可幫助我們構(gòu)造全等、相似等特殊關(guān)系，這種練習(xí)從七年級(jí)學(xué)習(xí)平行線(xiàn)和相交線(xiàn)便可開(kāi)始了，當(dāng)然格線(xiàn)中這兩種最容易畫(huà)，而到了八年級(jí)學(xué)習(xí)了全等三角形之后，構(gòu)圖就極大豐富了，本題中的作圖就多次構(gòu)造不同的全等三角形，包括了教材中的X型全等，K型全等……再往后學(xué)習(xí)了特殊四邊形之后，進(jìn)一步拓展作圖方法，到九年級(jí)引入圓，網(wǎng)格背景下的作圖難度就比較大了，甚至不用網(wǎng)格背景，僅用無(wú)刻度直尺作圖，也能在圓中構(gòu)造出需要的特殊圖形。

在壓軸題研題系列視頻中，周小倩老師的第90講里，對(duì)網(wǎng)格背景下的作圖進(jìn)行了十分詳細(xì)的說(shuō)明。在教學(xué)中，我自已在八年級(jí)全等學(xué)習(xí)完之后便進(jìn)行了這些背景下的作圖嘗試，并針對(duì)性進(jìn)行了諸如作平行線(xiàn)、垂線(xiàn)、角平分線(xiàn)的歸納，這些歸納不是一次性的，只是給出了“開(kāi)局”，后續(xù)需要不斷進(jìn)行補(bǔ)充、拓展，從而豐富學(xué)生的作圖經(jīng)驗(yàn)。

對(duì)于網(wǎng)格作圖這種題型，個(gè)人認(rèn)為并不需要刻意去進(jìn)行大量模仿訓(xùn)練，而是要認(rèn)真研究作圖原理，即尋求解決問(wèn)題的方案，而不是解題，正方形網(wǎng)格作為背景，同樣也可以以菱形網(wǎng)格作為背景，甚至沒(méi)有網(wǎng)格，都不影響其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，反之，只要在課堂上真正落實(shí)了素養(yǎng)教學(xué)，無(wú)論什么背景，學(xué)生都能手到擒來(lái)。