1905年，愛(ài)因斯坦正式提出了狹義相對(duì)論；1908年，閔可夫斯基給出了狹義相對(duì)論的幾何表述，也就是我們這里說(shuō)的閔氏幾何。愛(ài)因斯坦一開(kāi)始對(duì)這套幾何語(yǔ)言很反感，認(rèn)為這些純數(shù)學(xué)上的“花架子”沒(méi)什么用，還增加了相對(duì)論的復(fù)雜度。但是，他很快就發(fā)現(xiàn)閔氏幾何非常重要，發(fā)現(xiàn)這絕不是什么純數(shù)學(xué)技巧，而是有著深刻物理內(nèi)涵的洞見(jiàn)。而且，如果要建立廣義相對(duì)論，少了它根本不行。

幾何語(yǔ)言清晰直觀，在處理許多問(wèn)題時(shí)有很大的優(yōu)勢(shì)，這在雙生子佯謬?yán)矬w現(xiàn)得非常明顯：使用代數(shù)語(yǔ)言，使用洛倫茲變換去處理雙生子佯謬，其中難度之大思維之繞，絕對(duì)是對(duì)智商極大的考驗(yàn)；而使用幾何語(yǔ)言，這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)單得不像是個(gè)問(wèn)題。然而，目前絕大部分介紹相對(duì)論的書籍文章還是使用的代數(shù)語(yǔ)言，所以你還是能經(jīng)常看到許多人在一些非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題上糾纏不清，爭(zhēng)論不休。

梁燦彬老師說(shuō)他上世紀(jì)80年代從“言必稱幾何”的芝加哥大學(xué)回來(lái)以后，就一直在國(guó)內(nèi)大力推廣相對(duì)論的幾何語(yǔ)言，但是不明白為啥過(guò)了三十多年大眾對(duì)它還是很排斥。我就在這篇文章里跟大家好好聊一聊，希望能夠解開(kāi)大家跟閔氏幾何之間的心結(jié)。

因?yàn)檫@是從零開(kāi)始的一篇文章，所以我暫時(shí)就只談相對(duì)論里最簡(jiǎn)單的幾何語(yǔ)言，也就是狹義相對(duì)論里的閔氏幾何。至于廣義相對(duì)論里涉及的黎曼幾何，我們后面再說(shuō)。

01為什么很多人覺(jué)得幾何語(yǔ)言難？

了解相對(duì)論的人大多知道一點(diǎn)閔氏幾何，知道我們可以通過(guò)畫時(shí)空?qǐng)D的方式來(lái)解決一些很復(fù)雜的問(wèn)題，但是他會(huì)覺(jué)得閔氏幾何很難：把時(shí)空?qǐng)D畫出來(lái)很難，畫出來(lái)之后去解釋時(shí)空?qǐng)D更難。當(dāng)看到別人對(duì)著時(shí)空?qǐng)D“輕而易舉”地把問(wèn)題解決了，他心里沒(méi)底。他無(wú)法理解為什么你說(shuō)時(shí)空?qǐng)D里的這個(gè)代表了相對(duì)論的里的那個(gè)，為什么你對(duì)時(shí)空?qǐng)D里的一些點(diǎn)、線、面做這樣的處理就對(duì)應(yīng)著相對(duì)論里的那個(gè)問(wèn)題。所以，他覺(jué)得你在時(shí)空?qǐng)D里做的那些幾何操作非?！疤摗?，他不理解這些幾何背后的實(shí)質(zhì)，自然會(huì)覺(jué)得很難。

然而，這不該是幾何該給我們留下的印象啊。我們平常接觸的幾何，一個(gè)點(diǎn)、一條線、一個(gè)正方形、一個(gè)圓，這些都是我們?nèi)粘Ｉ罾镆恍┬螤畹耐昝劳渡?，它們非常的?shí)在，一點(diǎn)都不虛。很多在代數(shù)上不好理解的東西，我們把它畫到幾何圖形上一下子就理解了。幾何原本就應(yīng)該比代數(shù)更加簡(jiǎn)單直觀，但是為什么到了相對(duì)論這里，大家反而覺(jué)得幾何語(yǔ)言更加難以接受了呢？原因就是狹義相對(duì)論里使用的幾何并不是我們熟知的歐式幾何，而是一種全新的閔氏幾何，當(dāng)我們把歐式幾何里的一些習(xí)慣和常識(shí)代入進(jìn)來(lái)的時(shí)候，自然會(huì)引起各種水土不服。

所以，這里我們先不談閔氏幾何和歐式幾何的具體區(qū)別，我們先來(lái)看看狹義相對(duì)論是怎么和閔氏幾何對(duì)上眼了的。為什么狹義相對(duì)論不用歐式幾何來(lái)描述，而非得使用一個(gè)我們不熟悉的閔氏幾何呢？這個(gè)問(wèn)題不清楚，講再多閔氏幾何的性質(zhì)也是白搭。

02兩個(gè)基本假設(shè)

為什么狹義相對(duì)論要使用我們不熟悉的閔氏幾何，原因當(dāng)然還是得從自身來(lái)找。大家都知道狹義相對(duì)論有兩條基本假設(shè)：相對(duì)性原理和光速不變。從這兩個(gè)假設(shè)出發(fā)我們可以很自然的推導(dǎo)出狹義相對(duì)論里各種奇奇怪怪的結(jié)論，這里我們先來(lái)審查一下這兩個(gè)假設(shè)。

相對(duì)性原理說(shuō)物理定律在所有的慣性參考系里都是平等的，不存在一個(gè)特殊的慣性系。這一點(diǎn)很自然，伽利略很早就發(fā)現(xiàn)這點(diǎn)了，他意識(shí)到一個(gè)人在一個(gè)勻速移動(dòng)（慣性系）的密閉船艙里根本無(wú)法區(qū)分這艘船到底是靜止的還是以某個(gè)速度勻速運(yùn)動(dòng)。無(wú)法區(qū)分的意思就是這兩個(gè)參考系（靜止和勻速運(yùn)動(dòng)）是平等平權(quán)的，否則，你就應(yīng)該有辦法把它們區(qū)分開(kāi)。

不同的是：伽利略只敢給力學(xué)定律打包票，他只敢說(shuō)我們無(wú)法用力學(xué)實(shí)驗(yàn)區(qū)分兩個(gè)慣性系，其他定律（比如電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)）能不能區(qū)分慣性系他就不敢說(shuō)了。愛(ài)因斯坦說(shuō)你不敢打包票我來(lái)，我打賭所有的物理定律（力學(xué)的也好，電磁學(xué)或者其他的也好）都無(wú)法區(qū)分慣性系，你在船艙里做什么實(shí)驗(yàn)都也無(wú)法區(qū)分這艘船是靜止的還是勻速運(yùn)動(dòng)的。

從這里我們可以感覺(jué)到，相對(duì)性原理好像并沒(méi)有那么反常識(shí)，它只是把伽利略的那套相對(duì)性原理的適用范圍給擴(kuò)大了。那么，狹義相對(duì)論里那么多結(jié)論的“詭異”似乎就應(yīng)該來(lái)自另外一個(gè)假設(shè)，也就是光速不變。

光速不變說(shuō)真空中的光速在所有的慣性系里都是一樣的。不論你在哪個(gè)慣性系（注意一定要是慣性系，非慣性系里光速就沒(méi)人管它了）里測(cè)量光速，在靜止的地面也好，飛速的火車飛船里測(cè)也好，測(cè)得的光速都是一個(gè)定值c。

這就太反常識(shí)了，怎么能夠在不同的參考系里測(cè)量同一個(gè)物體的速度都相同呢？比如，在一輛速度為300km/h的高鐵上，有一個(gè)人以5km/h的速度朝車頭走去。那么，高鐵上的人會(huì)覺(jué)得他的速度是5km/h，而地面的人會(huì)覺(jué)得他的速度是300+5=305km/h，這兩個(gè)速度肯定是不一樣的。但是，如果我把這個(gè)人換成一束光，讓這束光射向車頭，光速不變就是說(shuō)不管你是在高鐵上測(cè)量，還是在地面上測(cè)量，這束光的速度都是c。你以為在地面上測(cè)量的光速應(yīng)該是c+300km/h么？對(duì)不起，并不是這樣。

你覺(jué)得這個(gè)事詭異么？詭異！為什么會(huì)這樣呢？不知道，光速不變是狹義相對(duì)論的一個(gè)基本假設(shè)，這個(gè)類似數(shù)學(xué)里的公理，我們只能假設(shè)它是對(duì)的，但是卻無(wú)法證明它是對(duì)的，它的可靠性由實(shí)驗(yàn)保證。其實(shí)，這個(gè)事情很多人還是知道的，但是，大多數(shù)人并不知道如果我們?cè)偕钔谝幌鹿馑俨蛔冊(cè)淼拿孛埽覀兙湍苷业揭粭l通向閔氏幾何的隱秘通道。

03光速不變的秘密

光速不變說(shuō)你在任何慣性系中測(cè)量光速，得到的結(jié)果都是c，我們來(lái)定量的分析一下這個(gè)原理。

假設(shè)我們?cè)贙系里測(cè)量一束光，假設(shè)這束光在Δt的時(shí)間內(nèi)走了Δl的距離，那么顯然就有Δl=Δt×c。如果我們把這束光在x，y，z三個(gè)坐標(biāo)軸方向移動(dòng)距離的分量記為Δx，Δy，Δz，那么根據(jù)勾股定理就有：Δl2=Δx2+Δy2+Δz2，再把這兩個(gè)式子合起來(lái)就能得到：Δx2+Δy2+Δz2-（Δt×c）2=0。如果這時(shí)候我們用一個(gè)新的量Δs2表示左邊的東西，那么就有Δs2=Δx2+Δy2+Δz2-（Δt×c）2=0。

好，事情發(fā)展到這里，一切都非常容易理解，上面的事情倒騰來(lái)倒騰去就是一束光在空間里走了一段距離，然后套用了小學(xué)生都知道的距離等于速度乘以時(shí)間而已。而且，大家也會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)事跟光速不變也沒(méi)有什么關(guān)系，你就是把上面的光換成一顆子彈，把光速c換成子彈的速度，那么上面的一切推理都還是那樣的。沒(méi)錯(cuò)，因?yàn)楣馑俨蛔冋f(shuō)的是光速在不同的慣性系里都一樣，那么我們還得再考察一個(gè)慣性系。

還是上面那束光，我們這次在另一個(gè)參考系K’里對(duì)它進(jìn)行測(cè)量。假設(shè)我們測(cè)量的結(jié)果是它在Δt’的時(shí)間內(nèi)走了Δl’，我們同樣對(duì)這個(gè)距離做一個(gè)分解，假設(shè)它在x，y，z三個(gè)坐標(biāo)軸方向移動(dòng)距離的分量記為Δx’，Δy’，Δz’。根據(jù)光速不變?cè)?，光在這個(gè)參考系里的速度還是c，那么，按照上面的邏輯，我們依然可以得到Δs’2=Δx’2+Δy’2+Δz’2-（Δt’×c）2=0。

當(dāng)我們把K和K’這兩個(gè)參考系了的結(jié)果拿來(lái)對(duì)比的時(shí)候，光速不變?cè)韼?lái)的反常效應(yīng)就出現(xiàn)了：大家有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)Δs和Δs’的表達(dá)式的形式完全一致，而且值還相等（都等于0）？

我們只是把K系里測(cè)量的時(shí)間和距離全都換成了K’系里測(cè)量的時(shí)間和距離，其它的東西我們一概沒(méi)動(dòng)。而在牛頓力學(xué)里，Δs和Δs’的表達(dá)式形式是不一樣的，因?yàn)榕ｎD力學(xué)里另一個(gè)慣性系的測(cè)量速度會(huì)加上兩個(gè)參考系之間的相對(duì)速度。也就是說(shuō)在牛頓體系里，在K’系里測(cè)量的光速應(yīng)該是c加上兩個(gè)參考系的相對(duì)速度，這樣Δs’的形式就Δs跟不完全一樣了，而相對(duì)論是用光速不變強(qiáng)制保證了它們的形式一致。

這一點(diǎn)大家好好想一想，它并不難理解，但是卻是后面的關(guān)鍵。我們現(xiàn)在等于說(shuō)是定義了一個(gè)Δs，對(duì)于光來(lái)說(shuō)，這個(gè)Δs的值在不同的參考系里是相等的，剛好都是0。

那么，重點(diǎn)來(lái)了：如果我把這個(gè)Δs從光推廣到所有物體，我仍然從兩個(gè)不同的慣性系K和K’去測(cè)量這個(gè)物體在空間上運(yùn)動(dòng)的距離Δx、Δy、Δz和時(shí)間上經(jīng)過(guò)的間隔Δt，然后一樣把它們組合成Δs和Δs’。那么，這個(gè)物體的Δs和Δs’之間有沒(méi)有什么關(guān)系呢？它們是不是還跟光的Δs和Δs’一樣相等并且都等于0呢？

是否等于0很好回答，一看就知道肯定不等于0。假設(shè)博爾特1秒鐘跑10米，那么Δt=1、Δx=10，不考慮另外兩個(gè)維度（Δy=Δz=0），看看Δs2的表達(dá)式：Δs2=Δx2+Δy2+Δz2-（Δt×c）2=100+0+0-（1×3×10^8）2，這顯然是個(gè)非常大的負(fù)數(shù)。那么問(wèn)題的關(guān)鍵就落在在慣性系K和K’里測(cè)量的這兩個(gè)值Δs和Δs’是否相等，也就是說(shuō)，如果博爾特在跑步，我們從地面和火車上測(cè)量得到的 Δs和Δs’是否相等？

這個(gè)答案我直接告訴大家：一樣！

這個(gè)證明過(guò)程其實(shí)也非常簡(jiǎn)單，這不就是同一個(gè)事件看它在不同的慣性系里是否滿足某個(gè)式子么？同一個(gè)事件在不同慣性系下變換關(guān)系，在相對(duì)論里這不就是洛倫茲變換的內(nèi)容么？所以，你直接用洛倫茲變換去套一下Δs和Δs’，你很簡(jiǎn)單就能發(fā)現(xiàn)它們是相等的，這里我就不做具體計(jì)算了，當(dāng)作課后習(xí)題。

所以，我們通過(guò)分析就得到了這樣一個(gè)結(jié)論：在相對(duì)論里，不同慣性系里測(cè)量一個(gè)物體的位移、時(shí)間等信息可能不一樣，但是它們組合起來(lái)的Δs2=Δx2+Δy2+Δz2-（Δt×c）2確是相等的，而這個(gè)值對(duì)光來(lái)說(shuō)還剛好就是0。

注意了，這個(gè)結(jié)論極其重要，正是它決定了為什么我們要使用閔氏幾何來(lái)描述狹義相對(duì)論，甚至，從某種角度來(lái)說(shuō)，它幾乎包含了閔氏幾何里的全部奧秘。為了讓大家更好地了解這個(gè)結(jié)論背后的意義，我們先去看一看歐式幾何里的類似情況。

04歐式幾何不變量

在歐式幾何里也有一些量是不隨坐標(biāo)系的變化而變化的，比如最簡(jiǎn)單的線段的長(zhǎng)度。

在二維的歐式幾何里，我們假設(shè)在一個(gè)直角坐標(biāo)系里有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），令Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，那么，利用勾股定理就能非常容易的算出AB之間的距離Δl2=Δx2+Δy2。這時(shí)候我們?nèi)绻诮ㄒ粋€(gè)新的直角坐標(biāo)系，在這個(gè)新的坐標(biāo)系里原來(lái)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)變成了A（x1’，y1’）、B（x2’，y2’），同樣令Δx’=x2’-x1’，Δy’=y2’-y1’，AB之間新的距離Δl’2=Δx’2+Δy’2。這時(shí)候我們可以很輕松的驗(yàn)證Δl=Δl’，也就是說(shuō)Δx2+Δy2=Δx’2+Δy’2。

這個(gè)結(jié)論一點(diǎn)都不奇怪，我們都可以很直觀的感覺(jué)到，為什么呢？因?yàn)闅W式幾何就是我們?nèi)粘Ｊ煜さ目臻g啊，我們現(xiàn)在就假設(shè)有一跟2米長(zhǎng)的尺子AB，我在一個(gè)直角坐標(biāo)系里計(jì)算它的長(zhǎng)度的平方Δl2=Δx2+Δy2=22=4，難不成我在另一個(gè)坐標(biāo)系里算得它的長(zhǎng)度的平方Δl’2=Δx’2+Δy’2還能不等于4么？我這把尺子的長(zhǎng)度是一定的，如果我在不同坐標(biāo)系下得到尺子的長(zhǎng)度卻不一樣了，那還了得，那這幾何就有問(wèn)題了。

因此，在歐式幾何里，Δl2=Δx2+Δy2也是一個(gè)坐標(biāo)系不變量，這個(gè)值不隨你取坐標(biāo)系的變化而變化。很顯然的，如果把歐式空間從二維推廣到三維，那么這個(gè)不變量自然就可以寫成Δl2=Δx2+Δy2+Δz2；推廣到四維，我們用t表示第四個(gè)維度，那么Δl2=Δx2+Δy2+Δz2+Δt2，再往上推廣幾維，我就加幾個(gè)分量就行了。

大家肯定注意到了：在歐式幾何里，不隨坐標(biāo)系變化的是Δl2=Δx2+Δy2+Δz2+Δt2，而我們上面在講狹義相對(duì)論的時(shí)候，不隨慣性系變化的量Δs2=Δx2+Δy2+Δz2-（Δt×c）2。這兩者非常的相似，這個(gè)光速c是個(gè)常數(shù)，可以不用考慮，為了方便計(jì)算我們甚至可以直接約定c=1，這樣的話Δl2和Δs2的差別就僅僅只差一個(gè)Δt前面的負(fù)號(hào)而已。

那么，這種形式上的相似和那個(gè)負(fù)號(hào)的差別到底意味著什么呢？畢竟它們一個(gè)代表的是不隨慣性系的變化而變化的量（Δs2），一個(gè)代表的是歐式幾何里不隨坐標(biāo)系的變化而變化的量（Δl2），一個(gè)是物理量，一個(gè)是幾何量，好像并沒(méi)有直接的關(guān)系。但是，我們這樣想想：如果我想用一種幾何來(lái)描述狹義相對(duì)論里Δs2=Δx2+Δy2+Δz2-（Δt×c）2不隨慣性系的變化而變化的這種性質(zhì)，我們肯定就不能選歐式幾何了（因?yàn)闅W式幾何里不隨坐標(biāo)系變化的量是Δl2=Δx2+Δy2+Δz2+Δt2）。所以我們需要一種新的幾何，在這種新幾何里，不隨坐標(biāo)系變換而變化的量是類似Δs2這樣帶有一個(gè)負(fù)號(hào)的量，這種全新的幾何自然就是閔氏幾何。

你這時(shí)候心里可能有點(diǎn)疑惑：我們真的可以只憑借不隨參考系變化的量是Δs2和Δl2，就斷定這是兩種不同的幾何么？Δs2和Δl2這些東西到底意味著什么？或者說(shuō)，到底是什么決定了一種幾何？

05線元決定幾何

我們從小就在學(xué)習(xí)歐式幾何，我們學(xué)習(xí)直線、三角形、圓等很多幾何圖形，我們關(guān)心它們的各種性質(zhì)，比如兩點(diǎn)的距離、曲線的長(zhǎng)度、兩條線的夾角、一個(gè)圖形的面積。但是，大家有沒(méi)有想過(guò)：在歐式幾何的各種各樣的性質(zhì)里，有沒(méi)有哪個(gè)是最基本的？也就是說(shuō)，我們能不能只定義這個(gè)最基本的量，其他的各種量都可以從這個(gè)量里衍生出來(lái)？這樣的話，我們就只需要抓住這一個(gè)最基本量的性質(zhì)，就可以抓住這種幾何的性質(zhì)了。

答案是：有，這個(gè)最基本的量就是弧長(zhǎng)，準(zhǔn)確地說(shuō)是組成任意曲線、弧線的基本元段長(zhǎng)。

要把這個(gè)說(shuō)清楚，我們這里得稍微引入一丟丟微積分的思想，別慌，這個(gè)很容易理解的~在歐式幾何里，我們很容易求一根線段的長(zhǎng)度（直角坐標(biāo)系里利用勾股定理就行了），但是，如果要你求一條任意曲線的長(zhǎng)度呢？

比如上圖的曲線AB，這是隨手畫的很一般的一條曲線，不是什么特殊的圓弧，你要怎么求它的長(zhǎng)度呢？數(shù)學(xué)家們是這么考慮的：我在曲線AB之間取一些點(diǎn)，比如P1、P2、P3，然后這三個(gè)點(diǎn)就把這段圓弧的分成了四個(gè)部分。我們用線段把這幾個(gè)點(diǎn)連起來(lái)，這樣我們就得到了一條折線，這時(shí)候我們就用折線的長(zhǎng)度（也就是這四條線段的和AP1+P1P2+P2P3+P3B）來(lái)近似代替曲線AB的長(zhǎng)度。當(dāng)然，你肯定會(huì)說(shuō)，曲線的長(zhǎng)度明顯比這四條線段加起來(lái)更長(zhǎng)啊，你怎么能用折線的長(zhǎng)度來(lái)代替曲線呢？

是的，如果你只在AB之間取三個(gè)點(diǎn)，那么曲線AB的長(zhǎng)度肯定要比折線的長(zhǎng)度多很多，這樣近似的誤差很大。但是，如果我再多取一些點(diǎn)呢？我在AB之間取十個(gè)、一百個(gè)甚至一千一萬(wàn)個(gè)點(diǎn)，那么，這成千上萬(wàn)條線段組成的折線的總長(zhǎng)度跟曲線AB比呢？當(dāng)然，還是會(huì)短一些，但是，你可以想象，這時(shí)候這些折線已經(jīng)跟曲線AB非常接近了。如果一根1米長(zhǎng)的曲線被你分成了1萬(wàn)條線段，這時(shí)候你用肉眼根本分辨不出來(lái)這是原來(lái)的曲線還是折線。但是你內(nèi)心還是知道折線要短一些，那么接下來(lái)就是重點(diǎn)了：如果我在曲線AB之間放無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)呢？

無(wú)窮是一個(gè)很迷人，同時(shí)也很迷惑人的詞匯。從上面的分析我們知道：當(dāng)我們?cè)谇€AB里放越多的點(diǎn)，這些小線段連起來(lái)的折線就越接近曲線AB本身。那么，當(dāng)我們放了無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，這無(wú)窮多個(gè)線段組成的折線是不是就應(yīng)該等于曲線AB的長(zhǎng)度了？答案是肯定的，而這，就是微積分最樸素也是最核心的思想。

在這種思想的指導(dǎo)下，我們要求任意曲線的距離，最終還是要求小線段的距離，因?yàn)闊o(wú)窮多個(gè)小線段累加起來(lái)的長(zhǎng)度就是曲線的長(zhǎng)度。因此，我們只要知道如何求無(wú)窮小的線段的長(zhǎng)度，我們就能用微積分的思想求出任意曲線的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)最基本小線段稱為曲線的一個(gè)元段長(zhǎng)，記做dl。

在歐式幾何里，我們把基本元段dl在坐標(biāo)系里分解一下，用dx和dy表示dl在x軸和y軸上的分量，那么根據(jù)勾股定理就有dl2=dx2+dy2，我們就把dl2稱之為線元。

提煉出了線元這個(gè)概念以后，我們就可以開(kāi)始反推了。在任何一種幾何里，如果我們確定了線元，就等于知道了元段dl的長(zhǎng)度，然后就可以利用上面微積分的思想求任意一段曲線的長(zhǎng)度。那么，接下來(lái)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)幾何里的其他性質(zhì)都可以按照這些定義。比如，我們就可以把兩點(diǎn)之間的距離定義為這兩點(diǎn)之間所有可能的曲線里最短的一條，把兩條直線的夾角定義為弧長(zhǎng)和半徑的比值（想象在一個(gè)圓里，半徑固定，弧長(zhǎng)越大角度越大），其他什么面積、體積之類的幾何性質(zhì)就都可以根據(jù)這些基本性質(zhì)來(lái)定義。

最后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)只要給定了一個(gè)線元，我們就能把它所有的幾何性質(zhì)都確定下來(lái)，也就是說(shuō)：線元決定幾何。

那么，什么是歐式幾何呢？歐式幾何就是由歐式線元（dl2=dx2+dy2）決定的幾何。非歐幾何呢？只要你的線元不是歐式線元，那么這個(gè)線元決定的幾何就是非歐幾何。用這種新線元，我們一樣可以定義出在這種新幾何里的曲線長(zhǎng)度、兩點(diǎn)的距離、線的夾角等等幾何性質(zhì)。

那么，閔氏幾何是什么？閔氏幾何的線元又是什么呢？

答：很顯然，閔氏幾何就是由閔氏線元決定的幾何。閔氏線元是這樣的ds2=-dt2+dx2+dy2+dz2，如果只考慮二維閔氏幾何的話，那么ds2=-dt2+dx2。

閔氏線元（ds2=-dt2+dx2）跟歐式線元（dl2=dx2+dy2）十分相像，它們之間唯一的差別就在于閔氏線元的第一個(gè)分量dt2的前面是負(fù)號(hào)，而歐式線元全部都是正號(hào)。也因?yàn)槿绱?，閔氏幾何跟歐式幾何也非常像，所以閔氏幾何還有一個(gè)稱呼，叫偽歐幾何。但是，我們也要特別注意這個(gè)負(fù)號(hào)，正是這個(gè)負(fù)號(hào)，決定了閔氏幾何和我們熟悉的歐式幾何里所有不一樣的地方，而這些不一樣，恰恰是我們通過(guò)閔氏幾何來(lái)理解狹義相對(duì)論的關(guān)鍵。

06閔氏幾何與狹義相對(duì)論

我們現(xiàn)在知道了，所謂的閔氏幾何，不過(guò)是由閔氏線元ds2=-dt2+dx2+dy2+dz2決定的幾何。在這種幾何里面，曲線的長(zhǎng)度、兩點(diǎn)的距離、線的夾角等一切性質(zhì)都有這個(gè)第一項(xiàng)帶了一個(gè)負(fù)號(hào)的閔氏線元決定。

看看這個(gè)閔氏線元ds2=-dt2+dx2+dy2+dz2，再看看我們最開(kāi)始提到的那個(gè)在狹義相對(duì)論里不隨慣性系的變化而變化的量Δs2=Δx2+Δy2+Δz2-（Δt×c）2，是不是非常像？在相對(duì)論里有兩種單位制：國(guó)際單位制和幾何單位制。國(guó)際單位制就是我們平常熟悉的那一套單位制，幾何單位制就是選擇光速c=1，這樣可以大大簡(jiǎn)化在用幾何處理相對(duì)論問(wèn)題的難度。采用幾何單位制的話，不隨慣性系變化的Δs2=Δx2+Δy2+Δz2-Δt2，這就真的跟閔氏線元ds2=-dt2+dx2+dy2+dz2一模一樣了。

這就是為什么我們要用閔氏幾何，而不是歐式幾何來(lái)描述狹義相對(duì)論的根本原因。

在牛頓的世界里，時(shí)間是絕對(duì)的，三維的空間也是絕對(duì)的，一根木棒在三維空間里隨便怎么變換，隨便怎么變換參考系，它在三維空間里的長(zhǎng)度是一定的，這個(gè)是跟三維的歐式線元對(duì)應(yīng)的（因?yàn)槿S的歐式線元dt2+dx2+dy2也不隨坐標(biāo)系的變化而變化）。

但是，在狹義相對(duì)論里，空間不再是絕對(duì)的，不再是一成不變的，我們熟悉的尺縮效應(yīng)不就是說(shuō)從不同的慣性系里觀測(cè)同一把尺子，這個(gè)尺子的長(zhǎng)度是不一樣的么？這就是說(shuō)空間上的“長(zhǎng)度”在狹義相對(duì)論的不同慣性系里不再是不變量。但是，我們發(fā)現(xiàn)如果把時(shí)間也考慮進(jìn)來(lái)，把三維空間和一維時(shí)間一起組合成四維時(shí)空，那么這個(gè)四維時(shí)空里的間隔Δs2=Δx2+Δy2+Δz2-Δt2就是不隨慣性系的變化而變化的量（這個(gè)在前面說(shuō)過(guò)，用洛倫茲變換可以非常方便的證明）。

所以，在牛頓的世界里，三維空間是絕對(duì)的，他必須保證同一把尺子在不同的三維空間的坐標(biāo)系里長(zhǎng)度是一樣的，也就是說(shuō)在度量三維空間里長(zhǎng)度的方式（這個(gè)有個(gè)更專業(yè)的概念叫度規(guī)，這里我們知道就行）必須跟坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，而歐式幾何正好有這樣的特性，所以牛頓力學(xué)的背景是歐式幾何。

而在狹義相對(duì)論里，三維空間并不是絕對(duì)的，三維空間里一把尺子的長(zhǎng)度在不同慣性系里是不一樣的。但是，三維空間和一維時(shí)間組成的四維時(shí)空是絕對(duì)的。四維時(shí)空里如果也有這樣一把“尺子”，那么這把“尺子”無(wú)論從哪個(gè)慣性系來(lái)看，它的四維“長(zhǎng)度”都是一樣的。而狹義相對(duì)論的這種四維“長(zhǎng)度”，或者說(shuō)我們?cè)谒木S時(shí)空里度量長(zhǎng)度的方式，它跟閔氏線元表達(dá)式的形式是一樣的。也就是說(shuō)只有在閔氏幾何里，狹義相對(duì)論的時(shí)空間隔才對(duì)應(yīng)于他們幾何里的“長(zhǎng)度”的概念，所以我們要使用閔氏幾何來(lái)描述狹義相對(duì)論。

理解這一段非常的重要，因?yàn)橹挥欣斫饬诉@個(gè)，你才能從根本上把閔氏幾何和狹義相對(duì)論對(duì)應(yīng)起來(lái)。有很多閔氏幾何的科普文章里上來(lái)就是直接給你畫時(shí)空?qǐng)D，然后告訴你閔氏幾何里的這種圖形這個(gè)幾何性質(zhì)對(duì)應(yīng)著狹義相對(duì)論里的這種概念，這樣很多人就感覺(jué)難以接受，然后對(duì)幾何語(yǔ)言產(chǎn)生抵觸的心理。

好，既然我們打算用閔氏幾何來(lái)描述狹義相對(duì)論，那么肯定就要把狹義相對(duì)論里的物理語(yǔ)言翻譯成閔氏幾何里的幾何語(yǔ)言。幾何肯定是離不開(kāi)畫圖的，在歐式幾何里我們經(jīng)常會(huì)畫出一個(gè)幾何圖形在空間上的樣子，這是空間圖。而狹義相對(duì)論把時(shí)間和空間看作一個(gè)整體， 它要求我們以同等的地位來(lái)看待時(shí)間和空間，所以我們需要畫出一個(gè)事件同時(shí)在時(shí)間和空間里的樣子，這種圖就叫時(shí)空?qǐng)D。

07時(shí)空?qǐng)D

在時(shí)空?qǐng)D里，你能非常自然地感覺(jué)到時(shí)間和空間被統(tǒng)一起來(lái)了，因?yàn)闀r(shí)空?qǐng)D里的時(shí)間軸和空間軸有著完全的平等的地位。

在時(shí)空?qǐng)D里，一個(gè)粒子現(xiàn)在在哪，你找到它的空間坐標(biāo)（x，y，z），記下現(xiàn)在的時(shí)間t，那么你就得到了它的時(shí)空信息（x，y，z，t），那這個(gè)時(shí)空信息就對(duì)應(yīng)時(shí)空?qǐng)D里的一個(gè)點(diǎn)，這就叫時(shí)空點(diǎn)。

同樣的，你再記下它下一個(gè)時(shí)刻t1的位置（x1，y1，z1），那么它又對(duì)應(yīng)了坐標(biāo)系的另一個(gè)點(diǎn)（x1，y1，z1，t1）。所以，一個(gè)粒子在任一時(shí)刻的時(shí)間、空間信息就都對(duì)應(yīng)了時(shí)空?qǐng)D里的一個(gè)點(diǎn)。那么，如果考察這個(gè)粒子的全部歷史，你就可以得到一系列的這種時(shí)空點(diǎn)，這些點(diǎn)在時(shí)空?qǐng)D里就會(huì)形成一條線，這條能代表粒子全部歷史的線就叫粒子的世界線。

現(xiàn)實(shí)生活里一個(gè)粒子有四個(gè)維度（三維空間+一維時(shí)間），那么對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸應(yīng)該也是四維的，但是我們?cè)诙S平面里勉強(qiáng)可以畫出三維圖形，對(duì)四維圖形實(shí)在無(wú)能為力。為了方便起見(jiàn)，我們假設(shè)粒子只沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，這樣我們就可以不考慮y軸和z軸的情況，從而把四維的問(wèn)題簡(jiǎn)化為二維，然后我們就可以很愉快的在一張二維的紙上畫這二維時(shí)空?qǐng)D了。

我們先建立一個(gè)坐標(biāo)系，橫軸x代表粒子的空間信息，縱軸t代表粒子的時(shí)間信息。為了再次簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們采用幾何單位制，也就是取光速c=1，然后我們?cè)賮?lái)看一些具體問(wèn)題。

問(wèn)題1：一個(gè)靜止不動(dòng)的粒子在時(shí)空?qǐng)D里是什么樣的？或者說(shuō)它的世界線是什么樣的？

這個(gè)答案很容易想到，一個(gè)粒子靜止不動(dòng)，就是在空間上沒(méi)動(dòng)，那么它的x坐標(biāo)一直為零，但是時(shí)間依然在流逝，也就是粒子的時(shí)間坐標(biāo)在一直變大。所以，靜止不動(dòng)的粒子是世界線是一條跟t軸重合，垂直于x軸的直線。

問(wèn)題2：一個(gè)勻速向右運(yùn)動(dòng)的粒子的世界線是什么樣的？

這個(gè)也不難想象，一個(gè)勻速向右運(yùn)動(dòng)的粒子，它在時(shí)間軸不停往上走的同時(shí)，空間軸上也在不停地往右走，那么這個(gè)粒子的世界線應(yīng)該是一條斜直線。問(wèn)題是，斜多少？是所有的坐標(biāo)空間它都可以斜，還是有什么限制？這個(gè)問(wèn)題我們先放著，先看看第三個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題3：一條朝右上方45°的斜直線（如下圖的L1）代表了什么粒子的世界線？

我們先來(lái)算一算這個(gè)粒子的速度：我們?cè)诹Ｗ拥氖澜缇€L1上取兩個(gè)點(diǎn)，也就是假設(shè)粒子在t1時(shí)刻在位置x1，在t2時(shí)刻在位置x2。因?yàn)檫@條直線是45°的，所以很顯然x2-x1=t2-t1，.那么粒子的速度v=(x2-x1)/(t2-t1)=1。

速度等于1是什么意思？我們?cè)诋媹D的時(shí)候采用的是幾何單位制，也就是取光速c=1(如果我們不采用幾何單位制，那么豎軸的單位就不是t，而是ct，本質(zhì)并沒(méi)有什么不同)?，F(xiàn)在這個(gè)粒子的速度等于1，其實(shí)就是代表這個(gè)粒子的速度是光速，速度是光速那自然就是光子了，那么這條45°斜直線就代表了光子的世界線。

從這里我們可以看到，在時(shí)空?qǐng)D里，光子的世界線是45°的斜直線。我們也知道在相對(duì)論里任何有質(zhì)量粒子的速度都是小于光速的，那么一個(gè)有質(zhì)量的粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)的世界線該是一條什么樣的斜直線呢？是在區(qū)域1還是區(qū)域2？

我們可以這樣想一下：如果粒子的速度比光速小，那么假設(shè)粒子在t1時(shí)刻在x1處，那么到了t2時(shí)刻它肯定到不了x2地方，那么這兩點(diǎn)的連線肯定就在L1的上方，也就是區(qū)域1。其實(shí)我們也可以想一個(gè)極端的粒子，假設(shè)這個(gè)粒子在原點(diǎn)不動(dòng)，那么粒子的世界線就是跟t軸重合，粒子速度到達(dá)光速就是45°的那條直線，那么速度在靜止和光速之間的粒子世界線自然就是在區(qū)域1的斜直線了。

現(xiàn)在我們知道了這樣一個(gè)結(jié)論：在時(shí)空?qǐng)D里，45°的斜直線代表了光子的世界線（如L1），比光子世界線更陡，更加靠近t軸的斜直線（如L2）是有質(zhì)量粒子勻速直線運(yùn)動(dòng)，或者說(shuō)慣性運(yùn)動(dòng)（速度小于光速）的世界線。

有了這樣的基本認(rèn)識(shí)，我們來(lái)用幾何語(yǔ)言分析一下狹義相對(duì)論里入門教材里必定會(huì)碰到的問(wèn)題：火車閃光問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題之所以重要，是因?yàn)樗沂玖送瑫r(shí)的相對(duì)性，也就是說(shuō)在一個(gè)慣性系看來(lái)是同時(shí)發(fā)生的事件，在另一個(gè)參考系里不一定是同時(shí)發(fā)生的。愛(ài)因斯坦敏銳地發(fā)現(xiàn)了這點(diǎn)，然后借此從看似牢不可破的牛頓力學(xué)里撕開(kāi)了一道口子。

08同時(shí)的相對(duì)性

在牛頓力學(xué)里，時(shí)間是絕對(duì)的，所以同時(shí)必然也是一個(gè)絕對(duì)的詞匯。在一個(gè)參考系看來(lái)是同時(shí)發(fā)生的事件，不管誰(shuí)來(lái)看都絕對(duì)是同時(shí)發(fā)生的，這也是一個(gè)非常符合常識(shí)的論述。

但是，愛(ài)因斯坦用一個(gè)簡(jiǎn)單的火車實(shí)驗(yàn)就讓人們的這個(gè)信念坍塌了，這個(gè)實(shí)驗(yàn)是這樣的：假設(shè)地面上有一輛勻速運(yùn)動(dòng)的火車，在某一個(gè)時(shí)刻，地面上的觀察者發(fā)現(xiàn)這個(gè)火車的車頭和車尾同時(shí)被閃電擊中。也就是說(shuō)，對(duì)于地面參考系而言，閃電擊中車頭和車尾這兩個(gè)事件是同時(shí)發(fā)生的。但是，愛(ài)因斯坦認(rèn)為在火車參考系里，這兩個(gè)事件就不是同時(shí)發(fā)生的。

原因也很簡(jiǎn)單，我們假設(shè)在閃電擊中火車頭尾的時(shí)候，在地面這兩點(diǎn)的中點(diǎn)有一個(gè)觀察者。因?yàn)閮蓚€(gè)事件在地面系看起來(lái)是同時(shí)發(fā)生的，所以，站在地面中間的那個(gè)觀察者肯定會(huì)同時(shí)看到車頭和車尾發(fā)過(guò)來(lái)的閃光，所以這兩個(gè)事件是同時(shí)的。

但是，站在火車中間的觀察者就不是這樣了，因?yàn)檐囶^車尾的閃光在向中間傳播的時(shí)候，火車本身也在前進(jìn)，所以火車中間的人就會(huì)先看到車頭發(fā)過(guò)來(lái)的閃光，后看到車尾發(fā)過(guò)來(lái)的閃光。所以，火車上的觀察者就會(huì)覺(jué)得這閃電擊中車頭和車尾這兩個(gè)事件不是同時(shí)發(fā)生的，而是擊中車頭的先，擊中車尾的后。

愛(ài)因斯坦從這個(gè)火車閃光實(shí)驗(yàn)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了同時(shí)的相對(duì)性，進(jìn)而打開(kāi)了狹義相對(duì)論的大門。這個(gè)實(shí)驗(yàn)比較簡(jiǎn)單，整個(gè)邏輯過(guò)程也不復(fù)雜，但是這樣講不夠直觀，不夠具有普遍性。因?yàn)楹芏嗳藭?huì)把這個(gè)實(shí)驗(yàn)當(dāng)做一個(gè)特例來(lái)處理，也就是只有當(dāng)他們意識(shí)到要講同時(shí)的相對(duì)性的時(shí)候才會(huì)想起這個(gè)實(shí)驗(yàn)，平常就會(huì)把這個(gè)實(shí)驗(yàn)帶來(lái)的同時(shí)的相對(duì)性給忘了，然后帶來(lái)一系列的“相對(duì)論詭異疑難”。下面我們從幾何語(yǔ)言來(lái)看看這個(gè)問(wèn)題，看看如何讓這個(gè)重要問(wèn)題更直觀，更具有普遍性。

我們假設(shè)閃電同時(shí)擊中車頭車尾（從地面系觀測(cè)）的時(shí)候，火車的車尾M’、車頭N’剛好經(jīng)過(guò)地面的M和N點(diǎn)，P點(diǎn)為地面MN的中點(diǎn)，P’為火車上的中點(diǎn)，我們來(lái)看看怎么在時(shí)空?qǐng)D上描述這個(gè)閃電擊中火車的問(wèn)題。

我們先來(lái)看看地面上M和N點(diǎn)的世界線，因?yàn)镸、N在地面上沒(méi)有動(dòng)，所以M和N點(diǎn)的世界線都是一條沿著時(shí)間軸t豎直向上的直線（空間位置沒(méi)動(dòng)，只有時(shí)間t在動(dòng)）。同樣的，在MN中間的P點(diǎn)也沒(méi)動(dòng)，它的世界線也是一條豎直向上的直線。這三條線好畫，那么在火車上的M’、N’和P’，它們都在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，那它們的世界線是什么樣的呢？這個(gè)我們上一節(jié)剛好說(shuō)了，做勻速運(yùn)動(dòng)的粒子的世界線是一條比45°線更陡的斜直線。那我們把這六個(gè)點(diǎn)的世界線都畫出來(lái)，不難理解應(yīng)該就是下面這樣（橫軸為空間x，縱軸為時(shí)間t，這里省略了）。

下面是關(guān)鍵的了，怎么畫車頭、車尾的閃光向中點(diǎn)傳播的過(guò)程？我們知道，閃電擊中車頭車尾之后，這個(gè)事件就會(huì)向四面八方發(fā)射光信號(hào)（所以四面八方的人都能看到火車被閃電擊中了），但是，其他的信號(hào)我們都不關(guān)心，我們只關(guān)心被地面中點(diǎn)P和火車中點(diǎn)P’所接收到的那一束光信號(hào)。那么，這個(gè)光信號(hào)要怎么畫呢？它們的出發(fā)點(diǎn)肯定在m和n，那接下來(lái)呢？這次我們?cè)俅蜗肫鹆松弦还?jié)中提到的：光子的世界線是45°的斜直線。那么我們就加上這兩條45°的世界線，最后的圖就是下面這樣的。

這兩根世界線跟兩個(gè)中點(diǎn)P、P’的世界線產(chǎn)生了三個(gè)交點(diǎn)A、B、C，這是三個(gè)很有意思的點(diǎn)，我們來(lái)分析一下它們的物理含義。

首先是A點(diǎn)，A點(diǎn)是閃光世界線跟地面中點(diǎn)P點(diǎn)的世界線交點(diǎn)，它們相交了是什么意思？縱軸代表時(shí)間，橫軸代表空間，相交了就代表這兩個(gè)粒子此時(shí)時(shí)間和空間信息都一樣，都一樣那就是相遇了啊，具體到我們這個(gè)問(wèn)題就是閃光傳播到了地面上的中點(diǎn)。因?yàn)榈孛鏇](méi)有動(dòng)，M和N點(diǎn)到P點(diǎn)的距離又是一樣的，那么車頭車尾的閃光肯定同時(shí)到達(dá)地面中點(diǎn)，所以它們都相交于A點(diǎn)是正確的。

再來(lái)看B點(diǎn)和C點(diǎn)。B點(diǎn)是車尾的閃光的世界線和火車?yán)锩娴闹悬c(diǎn)P’世界線的交點(diǎn)，那B點(diǎn)代表的意思自然就是火車中間的觀察者觀察到車尾的閃光這個(gè)事件。同理，C點(diǎn)是車頭閃光世界線跟P’世界線的交點(diǎn)，那C點(diǎn)就是火車中間的觀察者觀察到車頭閃光的這個(gè)事件。這樣看就非常明顯了，縱坐標(biāo)是時(shí)間軸，那么B事件明顯就是在C事件之后發(fā)生的啊。

這正是同時(shí)的相對(duì)性的表現(xiàn)：對(duì)于地面系，它們都交于A點(diǎn)，所以是同時(shí)的；對(duì)于火車系，它們分別交于B點(diǎn)C點(diǎn)，所以是不同時(shí)的，這在時(shí)空?qǐng)D里極為直觀。

這里有一個(gè)事要強(qiáng)調(diào)一下：我們?cè)谶@個(gè)火車閃光問(wèn)題里雖然涉及到了地面系和火車系，但是我們是一直在地面系來(lái)分析問(wèn)題的。我們畫的時(shí)空?qǐng)D，不管是地面上的點(diǎn)還是火車上的點(diǎn)，我們都是在地面系畫，因?yàn)楫吘挂粡垐D只有一個(gè)坐標(biāo)系嘛。那么，我們能不能在一張圖里同時(shí)把地面系和火車系兩個(gè)慣性系都畫上呢？

答案當(dāng)然是可以的。

09兩個(gè)坐標(biāo)系

我們來(lái)具體看看這個(gè)問(wèn)題：假設(shè)我們現(xiàn)在已經(jīng)畫了一個(gè)地面系的直角坐標(biāo)系x-t，那么我們要如何把火車系的坐標(biāo)系x’-t’畫出來(lái)？

第一次遇到這個(gè)問(wèn)題的同學(xué)可能有點(diǎn)懵，不著急我們一步步來(lái)，我們先看看火車系的縱軸t’要怎么畫。要畫火車系的縱軸，我們先想想一個(gè)坐標(biāo)系的縱軸的是什么意思？我們知道如果我們讓一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡就是跟縱軸重合的。還記得我們上面說(shuō)的靜止粒子的世界線么？靜止粒子的空間坐標(biāo)x為0，所以它的世界線就是垂直于x軸，與t軸重合的一條直線。那么，火車系的t’軸自然也是在火車系里靜止在原點(diǎn)處粒子的世界線。

這一點(diǎn)很重要，大家好好理解一下，也就是說(shuō)我們只要把火車系處于原點(diǎn)處粒子的世界線畫出來(lái)，我們就能得到火車系的t’軸。那么，一個(gè)在火車系靜止的點(diǎn)，在地面系看來(lái)它是在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而勻速直線運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的世界線，我們上面也說(shuō)了，就是一條比45°更陡的斜直線。所以，火車系的t’軸就是這樣一條更陡的斜直線，如下圖所示：

火車系的t’軸畫好了，那火車系的x’軸呢？大家可以看到我在圖上用虛線畫了一根與t’垂直的軸，并且特意標(biāo)明了“錯(cuò)誤的x’軸”。為什么要這樣標(biāo)呢？因?yàn)檫@是相對(duì)論初學(xué)者極容易犯的錯(cuò)誤。我們已經(jīng)習(xí)慣了歐式幾何，歐式幾何里直角坐標(biāo)系都是相互垂直的，所以到了這里很多人看到我們已經(jīng)畫出了t’軸，就立馬條件反射地畫一根和t’軸垂直的當(dāng)做x’軸，但是這是錯(cuò)誤的，為什么呢？

這里我們第一次感受到了閔氏幾何的異樣。我在最開(kāi)始花了那么大的篇幅告訴大家為什么狹義相對(duì)論要使用閔氏幾何，我們也知道了閔氏幾何的線元跟歐式幾何不一樣（時(shí)間項(xiàng)前面多了一個(gè)負(fù)號(hào)），所以，我們?cè)诋嫊r(shí)空?qǐng)D處理狹義相對(duì)論問(wèn)題的時(shí)候，一定要意識(shí)到自己雖然是在歐式平面里畫圖，但是我們畫的是閔氏幾何里的圖形。

有人可能會(huì)有點(diǎn)疑問(wèn)，我們前面不是已經(jīng)用時(shí)空?qǐng)D解決了同時(shí)的相對(duì)性問(wèn)題么？我們不是已經(jīng)把愛(ài)因斯坦火車閃光問(wèn)題用時(shí)空?qǐng)D畫出來(lái)了么，我沒(méi)感覺(jué)啥異樣?。磕侵皇且?yàn)槟莻€(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單：它只有一個(gè)坐標(biāo)系，而且也不涉及到線長(zhǎng)相關(guān)的問(wèn)題，所以我即便在一個(gè)歐式直角坐標(biāo)系里把它畫出來(lái)了，它也暫時(shí)沒(méi)什么沖突。如果我們生活在一個(gè)閔氏空間里，那么我們畫出的閔氏直角坐標(biāo)系肯定都是相互垂直的，但是我們生活在歐式空間里，我已經(jīng)用一個(gè)歐式空間里的直角坐標(biāo)系畫了一個(gè)閔氏坐標(biāo)系，那么另一個(gè)就肯定不可能再是垂直的了。

這里的邏輯有點(diǎn)繞，大家可以細(xì)細(xì)品味，搞得不是很懂也不要緊，我接下來(lái)會(huì)把另一個(gè)坐標(biāo)系畫出來(lái)，大家能看懂再回去看上面的一段話就明白了。

好，回到正題，我們?cè)賮?lái)看看火車系正確的x’軸該怎么畫。我們?cè)賮?lái)整體回顧一下這個(gè)事情：我們現(xiàn)在是已經(jīng)畫好了地面系x-t，要畫火車系x’-t’，火車系和地面系它有沒(méi)有什么關(guān)系呢？有啊，洛倫茲變換說(shuō)的不就是地面系和火車系的關(guān)系么？什么是洛倫茲變換？比如我在地面系觀測(cè)到了一個(gè)粒子的位置和速度，現(xiàn)在我想知道它在火車系里是什么情況，我并不需要重新再到火車系里測(cè)量一遍這個(gè)粒子的位置和速度，我只需要根據(jù)洛倫茲變換就可以直接得到火車系里那個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)情況。所以，洛倫茲變換就是兩個(gè)慣性系之間的聯(lián)系，我只要知道了一個(gè)慣性系里粒子的運(yùn)動(dòng)情況，立馬我就可以知道其他慣性系里粒子運(yùn)動(dòng)的情況。

所以，我們可以根據(jù)洛倫茲變換來(lái)找到兩個(gè)慣性系之間的聯(lián)系。我現(xiàn)在不是根據(jù)地面系的坐標(biāo)軸來(lái)找火車系的坐標(biāo)軸么？我們對(duì)著洛倫茲變換改就是了。洛倫茲變換是下面這樣的：

其中，x，y，z，t代表地面系里觀測(cè)到的，x’，y’，z’，t’是火車系里觀測(cè)到的。v是火車系相對(duì)地面系的速度，火車的速度一旦給定了，這個(gè)v就是一個(gè)定值，c是光速，所以右邊的γ都是一個(gè)常數(shù)。如果我們?cè)俑鶕?jù)幾何單位制來(lái)，取c=1，那么洛倫茲變換就可以簡(jiǎn)化成下面的樣子：

因?yàn)槲覀冎豢紤]火車系相對(duì)地面系在x軸方向上的運(yùn)動(dòng)，所以在y和z方向上還跟原來(lái)一樣，我們可以不考慮。我們現(xiàn)在畫圖也是來(lái)畫x-t圖，所以我們重點(diǎn)關(guān)注這兩個(gè)式子：

這是什么呢？這不就是火車系了的x’和t’么？我現(xiàn)在要畫的就是x’的坐標(biāo)軸，也就是火車系的空間坐標(biāo)軸，那怎么找到這個(gè)坐標(biāo)軸呢？這個(gè)我們前面也提過(guò)：縱坐標(biāo)的那條線就是橫坐標(biāo)為0的所有點(diǎn)的集合，反過(guò)來(lái)也是，橫坐標(biāo)就是縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)的集合。所以，我們令火車系的時(shí)間等于0，也就是縱坐標(biāo)t’=0就能找到橫坐標(biāo)x’軸了。

那我們令t’=γ（t-vx）=0，因?yàn)棣檬且粋€(gè)不為零的常數(shù)，所以就只有t-vx=0了，也就是t=vx。

這在x-t坐標(biāo)系里就是一條過(guò)原點(diǎn)的直線，斜率為火車的速度v（斜率就是這條直線的傾斜程度，你可以理解為一個(gè)坡越陡斜率越大。當(dāng)直線與橫軸重合的時(shí)候，斜率為0；當(dāng)直線跟橫軸成45°的時(shí)候，斜率為1；當(dāng)直線跟縱軸重合的時(shí)候，斜率為無(wú)窮大）。因?yàn)槲覀冞@里是幾何單位制，光速為1，在狹義相對(duì)論里任何有質(zhì)量的物體它的運(yùn)動(dòng)速度都是小于光速的，所以火車的速度v肯定是小于1的，也就是說(shuō)這條直線的斜率比45°的直線（剛好是光的世界線）小。

再者，我們可以用同樣的方法令x’=γ(x-vt)=0，就能得到火車系的縱軸是這樣一條直線：t=x/v。它的斜率是1/v，因?yàn)関小于1，所以1/v是個(gè)大于1的數(shù)，所以這條斜直線的斜率比45°要大（我們前面畫的也正是這樣）。這里我給一個(gè)初中數(shù)學(xué)的結(jié)論：斜率互為倒數(shù)（比如v和1/v）的兩條直線它們是關(guān)于y=x，也就是45°的直線對(duì)稱的。所以，我們的x’軸是跟t’軸關(guān)于45°的直線對(duì)稱的。這樣我們就能精確地把它畫出來(lái)了，如下圖：

第一次看到這樣一個(gè)坐標(biāo)系的同學(xué)可能會(huì)感覺(jué)非常別扭，為什么火車系x’-t’的坐標(biāo)系不是正交的，不是一個(gè)直角呢？我們得這樣看：它們是正交的，只不過(guò)它們是在閔氏幾何里正交，我們現(xiàn)在強(qiáng)行把它畫在歐式幾何里，那么肯定就看起來(lái)不正交了。

還有同學(xué)也會(huì)有疑惑，你不是說(shuō)狹義相對(duì)論里慣性系都是平權(quán)的么？那么為什么這里把地面系畫成直角的，而把火車系畫成了一個(gè)小于直角的坐標(biāo)系？我要是人就在火車?yán)?，我非要把火車系畫成直角的，不行么？行，?dāng)然行。你可以按照上面的思路把火車系畫成直角的基準(zhǔn)系，再反推過(guò)去畫地面系，最終的兩個(gè)圖雖然形狀不一樣，但是實(shí)質(zhì)上還是等價(jià)的。

理解這個(gè)雙坐標(biāo)系非常關(guān)鍵，它第一次向我們展示了閔氏幾何不一樣的地方。有了它，我們就可以很方便的處理不同慣性系里的一些事情，比如，我們喜聞樂(lè)見(jiàn)的尺縮效應(yīng)。

10尺縮效應(yīng)

尺縮效應(yīng)是狹義相對(duì)論里比較有趣的一個(gè)效應(yīng)，它簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是一句話：運(yùn)動(dòng)的物體長(zhǎng)度會(huì)收縮，也就是動(dòng)尺收縮。但是這樣描述會(huì)讓許多初學(xué)者心生疑惑，你動(dòng)尺收縮是真的收縮了還是只是看起來(lái)收縮了？這是一種觀測(cè)效應(yīng)還是一種由于光速有限造成的傳播誤差？你相對(duì)尺子沒(méi)動(dòng)，覺(jué)得尺子沒(méi)縮，我覺(jué)得縮了，那么它到底縮了沒(méi)有（這是個(gè)很常見(jiàn)的錯(cuò)誤的問(wèn)題）？

其實(shí)，用非幾何語(yǔ)言初學(xué)相對(duì)論的人不可避免地會(huì)遇到很多類似這樣的問(wèn)題。因?yàn)榇蠹以谂ｎD的那一套環(huán)境里浸潤(rùn)久了，想一下子把思維切換過(guò)來(lái)很麻煩。而且學(xué)相對(duì)論的人最容易載到“相對(duì)”兩個(gè)字里來(lái)，該相對(duì)的東西不相對(duì)，不該相對(duì)的東西又跑去相對(duì)，最后把自己繞進(jìn)去了。但是用幾何語(yǔ)言卻沒(méi)有這樣的煩惱，因?yàn)橛泻芏辔锢砹吭?維的時(shí)候是相對(duì)的，在4維里就都是絕對(duì)的了。而且，幾何圖形清晰直白，會(huì)大大降低這類問(wèn)題的難度和迷惑性。

好，現(xiàn)在我們來(lái)看看怎么用幾何語(yǔ)言處理尺縮效應(yīng)。

一個(gè)粒子的世界線是一條線，而一把尺子是由許多粒子組成的，所以一把尺子在時(shí)空?qǐng)D里留下的軌跡就應(yīng)該是一個(gè)面，我們稱之為尺子的世界面。我們還是以地面系為基準(zhǔn)系，假設(shè)尺子相對(duì)地面系靜止，那么尺子每個(gè)粒子的世界線都是一條平行于t軸的線，合起來(lái)它的世界面應(yīng)該是一個(gè)有一定寬度的面。上一節(jié)我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何把運(yùn)動(dòng)的慣性系也畫出來(lái)，我們?cè)侔严鄬?duì)尺子運(yùn)動(dòng)的參考系x’-t’（假設(shè)為火車系）畫出來(lái)，總的時(shí)空?qǐng)D就是這樣：

如上圖所示，陰影部分就是在地面系靜止的尺子的世界面，它跟x軸的交點(diǎn)為a，跟x’軸的交點(diǎn)為b。那么我們很容易就能知道oa就是尺子在靜止地面系的長(zhǎng)度，ob就是尺子在運(yùn)動(dòng)的火車系x’-t’的長(zhǎng)度。

為什么呢？你想想oa代表什么意思？oa就是當(dāng)?shù)孛嫦档臅r(shí)間為零的時(shí)候尺子在空間x軸的投影，那這顯然就是尺子的長(zhǎng)度了。那么，同樣的道理，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的火車系的坐標(biāo)是x’-t’，ob也是當(dāng)t’都為0的時(shí)候尺子在x’軸的投影，所以ob就是運(yùn)動(dòng)的火車系測(cè)得的尺子長(zhǎng)度。

所以，尺縮效應(yīng)就變成了比較oa和ob的長(zhǎng)度。很顯然，oa和ob的長(zhǎng)度肯定不一樣，那么到底是oa長(zhǎng)還是ob長(zhǎng)呢？

沒(méi)錯(cuò)，你的眼睛沒(méi)有看錯(cuò)，我就是在問(wèn)到底是oa長(zhǎng)還是ob長(zhǎng)？可能這個(gè)時(shí)候你的腦袋是懵的，明明oab組成了一個(gè)直角三角形，ob是斜邊，斜邊肯定比直角邊更長(zhǎng)啊，這是初中生都知道的，ob比oa長(zhǎng)難道還有什么疑問(wèn)么？

沒(méi)錯(cuò)，擱在歐式幾何里，斜邊大于直角邊這絕對(duì)毫無(wú)疑問(wèn)。但是，我們始終要記住我們處理狹義相對(duì)論問(wèn)題用的是閔氏幾何（否則也不會(huì)出現(xiàn)x’-t’這樣看起來(lái)不正交的坐標(biāo)系），那閔氏幾何里要怎么樣比較兩條線段的長(zhǎng)短呢？

這個(gè)時(shí)候你可能意識(shí)到了：我們?cè)陂h氏幾何里連怎么定義線段的長(zhǎng)度都不知道，更別提比較兩條線段的長(zhǎng)短了。那么，閔氏幾何里一條線段的長(zhǎng)度是怎么定義，怎么計(jì)算的呢？

11閔氏幾何的線長(zhǎng)

在討論怎么定義，計(jì)算閔氏幾何一條線段的線長(zhǎng)之前，許多人可能對(duì)為什么這個(gè)問(wèn)題會(huì)是一個(gè)問(wèn)題都心存疑惑：線段的長(zhǎng)度不就是用尺子去量一下線段么，為什么還需要什么定義？即便我不用尺子去量，一條線段我在直角坐標(biāo)系里把它投影到x和y軸，假設(shè)它在x軸和y軸的投影長(zhǎng)度分別是Δx和Δy，那么我就可以利用勾股定理很簡(jiǎn)單的算出這條線段的長(zhǎng)度L2=Δx2+Δy2。

但是，我還是得再?gòu)?qiáng)調(diào)一次：你能這樣做，是因?yàn)槟阋呀?jīng)假設(shè)了你是在歐式幾何里。只有在歐式幾何里，一條線段的長(zhǎng)度才可以這樣用勾股定理去計(jì)算，但是狹義相對(duì)論的幾何背景是閔氏幾何。為了讓大家能更直觀的了解，我們先不談閔氏幾何，我們就來(lái)看看球面幾何。

球面幾何顧名思義就是在在一個(gè)球面上的幾何。你可以想象在一個(gè)籃球的表面，或者地球的表面上有兩個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離應(yīng)該是一段圓弧長(zhǎng)，而不再是歐式幾何里的直線。你想想，在這種情況下，你還能用勾股定理去計(jì)算這兩點(diǎn)之間的距離么？你要硬用勾股定理去計(jì)算，那么算出來(lái)的是這兩點(diǎn)之間的直線距離，并非在球面上的圓弧長(zhǎng)，這顯然是不對(duì)的。就好比你在地球表面計(jì)算北京到深圳的距離，你用勾股定理算出來(lái)的距離是在北京地底下打一個(gè)直線隧道通到深圳的距離，這顯然不是你在地球表面從北京直線開(kāi)車去深圳的距離。

從這里我們能直觀地感覺(jué)到：在不同的幾何里，長(zhǎng)度的計(jì)算方式是不一樣，每一種幾何都有自己度量長(zhǎng)度的規(guī)則（這就是度規(guī)），一旦這種規(guī)則確定了，這種幾何也就確定了。其實(shí)，這一點(diǎn)我在「線元決定幾何」這一節(jié)里已經(jīng)說(shuō)得非常明確了，不光是線長(zhǎng)，所有的幾何性質(zhì)都是由線元決定的，不同的幾何擁有不同的線元，自然就擁有不同的計(jì)算線長(zhǎng)的方式。

二維歐式幾何的線元是dl2=dx2+dy2，二維閔氏幾何的線元是ds2=-dt2+dx2。二維歐式幾何里線段長(zhǎng)度的計(jì)算公式是這樣的：

那么，二維閔氏幾何里線段長(zhǎng)度的計(jì)算公式自然就是這樣的：

因?yàn)殚h氏幾何的線元的時(shí)間項(xiàng)前面有個(gè)負(fù)號(hào)，所以，為了避免根號(hào)里面的值出現(xiàn)負(fù)數(shù)從而讓式子無(wú)意義，我們套了一個(gè)絕對(duì)值（它保證所有值都是非負(fù)的，比如-5的絕對(duì)值為5，記做|-5|=5）的符號(hào)。

也就是說(shuō)，我們?cè)陂h氏幾何里是根據(jù)這個(gè)式子來(lái)計(jì)算一條線段的長(zhǎng)度的，Δt和Δx分別代表這條線在t軸和x軸的投影。這個(gè)式子跟歐式幾何的距離計(jì)算公式很類似，唯一的不同還是時(shí)間項(xiàng)前面的那個(gè)負(fù)號(hào)。也正因?yàn)檫@個(gè)負(fù)號(hào)，閔氏幾何里的線長(zhǎng)問(wèn)題才會(huì)變得更我們平常想的不一樣。為了讓大家熟悉一下這種新的線長(zhǎng)計(jì)算方式，我先來(lái)舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

問(wèn)題4：大家還記得光子的世界線是一條45°的斜直線把，我們現(xiàn)在隨便在光子的世界線里取A、B兩點(diǎn)，那么線段OA、OB的長(zhǎng)度分別是多少呢？如下圖所示：

我們先來(lái)看看OA的長(zhǎng)度，因?yàn)檫@條直線是45°，所以A點(diǎn)在x軸和t軸上投影得到的距離就是一樣長(zhǎng)的，也就是Δt和Δx的大小是一樣的。但是，閔氏幾何里線段長(zhǎng)度的計(jì)算公式是它們兩個(gè)相減再開(kāi)根號(hào)，現(xiàn)在這兩個(gè)值是相等的，那么相減的結(jié)果不就是0了么？再開(kāi)根號(hào)結(jié)果自然還是0。

也就是說(shuō)，OA在閔氏幾何里的長(zhǎng)度為0。

你沒(méi)有看錯(cuò)，它的長(zhǎng)度就是0。OA你看著有這么長(zhǎng)的一段，但是它在閔氏幾何里的長(zhǎng)度卻是0，這就是那個(gè)負(fù)號(hào)帶來(lái)的效果。同樣的，你可以接著去算OB的長(zhǎng)度，或者直接算AB的長(zhǎng)度，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它的長(zhǎng)度一樣全部都是0。

所以，我們有這樣的結(jié)論：光子的世界線長(zhǎng)度恒為0。這很反直覺(jué)吧？我們?cè)賮?lái)看個(gè)例子。

問(wèn)題5：還是上面的圖，我過(guò)B點(diǎn)做一條垂直于t軸的線，然后隨便在BC之間取一條點(diǎn)D。那么OC就是靜止不動(dòng)的粒子的世界線，OD就是一條勻速直線運(yùn)動(dòng)的粒子的世界線，OB是光子的世界線，那么它們?nèi)齻€(gè)的長(zhǎng)短怎么比呢？

乍一看，好像的OB>OD>OC。但是我們剛剛算過(guò)了光子世界線OB的長(zhǎng)度為0；OC是靜止不動(dòng)的粒子的世界線，那么它在空間上的位移Δx就為0，那么OC的長(zhǎng)度就是粒子在時(shí)間軸里走的長(zhǎng)度；OD在時(shí)間軸上的投影跟OC一樣，但是它的Δx不等于0，那么它們相減（-Δt2+Δx2）之后的數(shù)值肯定就變小了，那么OD是小于OC的。于是，我們得到的結(jié)論確實(shí)跟之前的感覺(jué)截然相反的，三者的長(zhǎng)度是OC>OD>OB=0。

所以，當(dāng)我們?cè)谡f(shuō)時(shí)空?qǐng)D了某一條曲線的長(zhǎng)度的時(shí)候，我們都要意識(shí)到我們是用閔氏幾何那把尺子（時(shí)間項(xiàng)前面有負(fù)號(hào)）來(lái)度量曲線的長(zhǎng)度，這跟我們平常生活里感受的（歐式幾何度量長(zhǎng)度）是不一樣的。一開(kāi)始大家會(huì)覺(jué)得這種方式非常不習(xí)慣，但是一旦習(xí)慣了就會(huì)覺(jué)得這個(gè)非常自然。

好了，這里我們介紹了閔氏幾何里線長(zhǎng)的定義和計(jì)算方法，理論上我們就可以計(jì)算任意一條線段的長(zhǎng)度了，也能比較兩條線誰(shuí)長(zhǎng)誰(shuí)短了。我們上一節(jié)不就是最后把尺縮效應(yīng)歸結(jié)比較兩條線段oa和ob的線長(zhǎng)么？那現(xiàn)在可以直接比了啊。

我們看到ob在x軸的投影跟oa是一樣長(zhǎng)的，但是oa在t軸的投影為0，ob在t軸的投影卻大于零。但是，根據(jù)閔氏幾何的線長(zhǎng)公式，線長(zhǎng)是這個(gè)線段在時(shí)間軸t和空間軸x投影長(zhǎng)度平方相減再開(kāi)根號(hào)。既然兩條線段oa和ob在空間軸x上的投影都一樣，那么在時(shí)間軸t上投影長(zhǎng)度越大的，相減之后得到的值就越小，那么最后的線長(zhǎng)就越小。

所以，我們能直接就這樣感覺(jué)到，在閔氏幾何下，ob是比oa更短的。而ob代表的是運(yùn)動(dòng)參考系下尺子的長(zhǎng)度，oa是靜止參考系下尺子的長(zhǎng)度，既然ob比oa更短，那么就是說(shuō)在運(yùn)動(dòng)參考系里尺子的長(zhǎng)度更短，這就是我們常說(shuō)的尺縮效應(yīng)。

這里我們是直接用線長(zhǎng)的計(jì)算公式算出oa和ob的長(zhǎng)度然后再來(lái)做比較，雖然算出來(lái)了，但是可能不是很直觀。在許多教材和文章里都會(huì)提到另外一種看起來(lái)更直觀的比較方式，那就是使用校準(zhǔn)曲線，很多人也經(jīng)?？吹竭@個(gè)但是不是很明白，我這里就一起再講一下。

12校準(zhǔn)曲線

校準(zhǔn)曲線其實(shí)是回答了這樣一個(gè)問(wèn)題：閔氏幾何里，到原點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的軌跡是什么？

老規(guī)矩，我們先看看歐式幾何的情況。在歐式幾何里，到原點(diǎn)距離相等（比如說(shuō)都等于2）的點(diǎn)組成的軌跡是什么呢？這個(gè)我們都知道，這就是一個(gè)圓，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合就是圓，這個(gè)點(diǎn)就是圓心，這個(gè)定長(zhǎng)就是半徑。

在歐式幾何里，如果一個(gè)點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離為2，那么，根據(jù)勾股定理我們就可以很容易寫出下面的關(guān)系：x2+y2=4。而學(xué)過(guò)一點(diǎn)解析幾何的人就都知道，這就是圓的坐標(biāo)方程。

那么，再回到閔氏幾何，在閔氏幾何里到原點(diǎn)的距離為2的點(diǎn)組成的軌跡是什么呢？其實(shí)也簡(jiǎn)單，我們不是已經(jīng)有閔氏幾何的距離公式了么？代入進(jìn)去就行了，因?yàn)槭乔蟮皆c(diǎn)的距離，所以Δx和Δt就分別是點(diǎn)的坐標(biāo)x和t，如下圖：

我們把兩邊平方展開(kāi)就得到了：

大家對(duì)比一下，這個(gè)x2-t2=4跟我們?cè)跉W式幾何里圓的方程只有一個(gè)符號(hào)的差別（因?yàn)樽鴺?biāo)軸不同，作為縱軸t和y是完全等價(jià)的）。這個(gè)式子，學(xué)過(guò)高中數(shù)學(xué)的同學(xué)一眼就能看出來(lái)這是一條雙曲線，沒(méi)學(xué)過(guò)或者忘了的可以自己去找一些具體的點(diǎn)描上去（自己找一些x的值，然后去算t的值，最后把（x，t）組成的點(diǎn)畫到坐標(biāo)系上去，看看軌跡是什么）。我這里用GeoGebra（這是一個(gè)免費(fèi)的在線數(shù)學(xué)繪圖工具，你輸入函數(shù)或者方程，它就會(huì)自動(dòng)把對(duì)應(yīng)的圖像畫出來(lái)，有興趣大家自己也可以去畫一畫）給大家畫了一個(gè)圖，大家可以看看，雙曲線大致就是這么一個(gè)形狀：

我們先甭管雙曲線在歐式幾何里的各種幾何意義，我們是怎么得到這個(gè)圖的？我們是在閔氏幾何里找距離原點(diǎn)距離相等（這里等于2）的點(diǎn)的集合，也就是說(shuō)，你別看這個(gè)曲線是彎彎曲曲的，但是在閔氏幾何里，這個(gè)曲線里所有的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都是相等的，都等于2。

因?yàn)檫@種曲線上所有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都相等（閔氏幾何下），所以我們就可以用這種曲線當(dāng)作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)校準(zhǔn)，這就是把它叫校準(zhǔn)曲線的原因。還是那個(gè)尺縮效應(yīng)的圖，這次我們用校準(zhǔn)曲線來(lái)看一下。

大家看到，我加了一條過(guò)a點(diǎn)的校準(zhǔn)曲線，我們假設(shè)它跟x’軸交于c點(diǎn)。這樣就非常清楚了，什么是校準(zhǔn)曲線？校準(zhǔn)曲線就是閔氏幾何里到原點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)，因?yàn)閍和c都在曲線上，所以，在閔氏幾何里oa和oc的長(zhǎng)度是相等的，也就是oa=oc。而b、c兩點(diǎn)都在x’軸上，很顯然的ob

，合起來(lái)就是ob

，那我們就很自然地得到了ob的長(zhǎng)度比oa更短的結(jié)論。

而oa就是在靜止的地面系觀測(cè)得尺子的長(zhǎng)度，ob是在相對(duì)尺子運(yùn)動(dòng)的火車系上觀測(cè)到尺子的長(zhǎng)度。我們得到的結(jié)論是ob

尺縮效應(yīng)的結(jié)論。

在狹義相對(duì)論里經(jīng)常跟尺縮效應(yīng)一起出現(xiàn)的還有一個(gè)鐘慢效應(yīng)，它說(shuō)相對(duì)鐘運(yùn)動(dòng)的參考系觀測(cè)鐘會(huì)覺(jué)得它走地更慢一些，也就是動(dòng)鐘變慢（這個(gè)不同于廣義相對(duì)論里引力鐘慢效應(yīng)說(shuō)的引力越大，時(shí)間越慢）。但是鐘慢效應(yīng)和尺縮效應(yīng)在時(shí)空?qǐng)D的處理上是類似的，所以我這里就不說(shuō)了，大家可以自己去畫一下，想知道答案的可以參考梁燦彬老師《從零學(xué)相對(duì)論》的4.2節(jié)（沒(méi)有資料的可以在公眾號(hào)后臺(tái)回復(fù)“梁燦彬”或“梁老師”，獲取《從零學(xué)相對(duì)論》+《微分幾何入門與廣義相對(duì)論》以及梁老師配套的的教學(xué)視頻）。

接下來(lái)，我們來(lái)看一個(gè)狹義相對(duì)論里讓無(wú)數(shù)新人頭痛不已，也讓無(wú)數(shù)科普者無(wú)比心煩的一個(gè)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題用幾何語(yǔ)言處理極為簡(jiǎn)單，但是讀者不認(rèn)，他們不太了解閔氏幾何，更無(wú)法理解幾何圖形里代表的物理實(shí)質(zhì)，你憑什么用這個(gè)這個(gè)就代表了那個(gè)那個(gè)？但是，這個(gè)問(wèn)題如果用傳統(tǒng)的代數(shù)語(yǔ)言講就極為復(fù)雜，而且邏輯非常繞，一不小心就在各種相對(duì)里面把自己都繞進(jìn)去了，分析它簡(jiǎn)直是對(duì)智商極大的挑戰(zhàn)。沒(méi)錯(cuò)，這就是大名鼎鼎的“雙生子佯謬”問(wèn)題。

13雙生子佯謬

雙生子佯謬的描述倒是非常簡(jiǎn)單：假設(shè)地球上有一對(duì)雙胞胎，有一天哥哥駕著宇宙飛船去太空里里飛了一大圈再返回地球。那么按照狹義相對(duì)論，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)哥哥再次回到地球的時(shí)候他會(huì)比弟弟更年輕。比如說(shuō)，哥哥從地球出發(fā)的時(shí)候，這對(duì)雙胞胎都是20歲，現(xiàn)在哥哥在太空飛了一圈再回來(lái)之后，有可能弟弟已經(jīng)30歲了，哥哥才25歲。當(dāng)然，這個(gè)具體的數(shù)字依賴于特定的飛行情況，但是哥哥肯定會(huì)比弟弟年輕這是一定的。

這個(gè)問(wèn)題的爭(zhēng)議點(diǎn)在哪呢？它爭(zhēng)議就爭(zhēng)議在：狹義相對(duì)論里有鐘慢效應(yīng)，也就是說(shuō)運(yùn)動(dòng)的物體他的時(shí)間會(huì)變慢。那么似乎可以說(shuō)哥哥離開(kāi)地球在太空里運(yùn)動(dòng)了一圈，所以哥哥是運(yùn)動(dòng)的，那么哥哥的時(shí)間會(huì)變慢，回到地球更年輕好像說(shuō)得通。但是，運(yùn)動(dòng)不是相對(duì)的么？你站在地球上覺(jué)得是哥哥在動(dòng)，那么我站在飛船的角度來(lái)看，我也可以覺(jué)得是弟弟（包括整個(gè)地球）在遠(yuǎn)離我然后靠近我，那么運(yùn)動(dòng)的那個(gè)人就是弟弟，因此弟弟的時(shí)間更慢，兄弟見(jiàn)面的時(shí)候應(yīng)該弟弟更年輕。這樣不就前后矛盾了么？

雙生子問(wèn)題是一個(gè)佯謬，佯謬就是說(shuō)它看起來(lái)是錯(cuò)的，是矛盾的，其實(shí)是正確的。也就是說(shuō)，如果我們真的有這樣一對(duì)雙胞胎，哥哥去外面浪了一圈再回到地球，他是真的會(huì)更年輕。但是，這樣的話，我們要如何解釋后面那種矛盾的說(shuō)法呢？也就是，站在飛船上哥哥的角度看來(lái)，運(yùn)動(dòng)的是弟弟和地球，為什么不可以認(rèn)為弟弟和地球才是那個(gè)時(shí)間變慢的呢？

有人意識(shí)到是加速減速這個(gè)過(guò)程在作怪，但是加速減速他一樣可以說(shuō)，我在飛船上看，地球也是加速離我遠(yuǎn)去，再加速再回來(lái)。然后甚至有人說(shuō)這里有加速度，就應(yīng)該把廣義相對(duì)論搬進(jìn)來(lái)解釋，在這條邪路上走地更遠(yuǎn)的甚至說(shuō)：哥哥不是加速運(yùn)動(dòng)么？等效原理說(shuō)加速度等效于引力，所以哥哥在加速的過(guò)程產(chǎn)生了引力，而廣義相對(duì)論又說(shuō)引力是時(shí)空彎曲，那么哥哥加速使得時(shí)空彎曲了。

其實(shí)，雙生子佯謬不僅是讓許多初學(xué)者疑惑，在相對(duì)論的幾何語(yǔ)言普及之前，許多物理學(xué)家對(duì)它也是頭疼不已。他們到了20世紀(jì)50年代還在吵這個(gè)，物理學(xué)家們吵就不是像我們這樣在群里或者論壇里發(fā)表一下意見(jiàn)看法，他們是發(fā)文章到《自然》、《科學(xué)》這樣的頂級(jí)學(xué)術(shù)雜志里吵，所以你可以想象一下那時(shí)的情況。但是，當(dāng)幾何語(yǔ)言普及之后，物理學(xué)界幾乎就沒(méi)人再因?yàn)檫@個(gè)爭(zhēng)論了，因?yàn)樵趲缀握Z(yǔ)言下，這個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)直簡(jiǎn)單得不像話，它就跟2+2=4一樣清晰簡(jiǎn)單，那還有什么好吵的。

為什么幾何語(yǔ)言可以如此大幅度的降低雙生子佯謬的難度呢？這里就涉及到了學(xué)習(xí)相對(duì)論里最重要的一個(gè)事：學(xué)習(xí)相對(duì)論最重要的就是要分清楚相對(duì)論里哪些東西是相對(duì)的，哪些是絕對(duì)的。你要是看這個(gè)理論的名字叫相對(duì)論，就認(rèn)為什么都是相對(duì)的，那就完了。其實(shí)相反，狹義相對(duì)論的兩個(gè)根基“光速不變”和“相對(duì)性原理”都是絕對(duì)的：前者說(shuō)光速是絕對(duì)的，后者說(shuō)物理定律的形式是絕對(duì)的，這其實(shí)是一個(gè)不折不扣的“絕對(duì)論”。

我們?cè)倩剡^(guò)來(lái)想一想，雙生子佯謬到底為什么這么麻煩？不就是因?yàn)闉E用相對(duì)，認(rèn)為什么都可以相對(duì)，所以站在哥哥的立場(chǎng)和弟弟的立場(chǎng)應(yīng)該都一樣從而導(dǎo)致了佯謬么？那為什么我們用幾何語(yǔ)言可以輕松把這個(gè)問(wèn)題理清楚呢？因?yàn)槲覀冊(cè)谑褂脦缀握Z(yǔ)言的時(shí)候，我們是把時(shí)3維空間和1維時(shí)間看做一個(gè)整體的4維時(shí)空。用3維眼光看世界，3維空間和時(shí)間都是相對(duì)的，但是4維時(shí)空確是絕對(duì)的。當(dāng)我們站在更高的維度（4維時(shí)空）里看問(wèn)題的時(shí)候，那些因?yàn)橄鄬?duì)產(chǎn)生的各種問(wèn)題就自然消失了。所以，使用幾何語(yǔ)言思考相對(duì)論，是站在更高的維度上看問(wèn)題，這是一種思維方式上的降維打擊。看過(guò)劉慈欣《三體》的同學(xué)，想必都對(duì)降維打擊產(chǎn)生的效果印象深刻，學(xué)習(xí)相對(duì)論，我們也要盡快提高自己的維度~

如果想體會(huì)一下3維語(yǔ)言處理雙生子問(wèn)題的復(fù)雜度，可以看看我之前寫過(guò)的一篇《雙生子佯謬過(guò)程全分析》，其處理問(wèn)題之麻煩，邏輯之燒腦簡(jiǎn)直滅絕人性。雖然我已經(jīng)盡量清晰通俗的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)這個(gè)問(wèn)題了，但是讀者的問(wèn)題還是跟雪花一樣飛過(guò)來(lái)。最開(kāi)始我還比耐心的一個(gè)個(gè)在群里解釋，后來(lái)就實(shí)在受不了了。要跟人把這個(gè)問(wèn)題徹底解釋清楚，少則一兩個(gè)小時(shí)，多則一下午，太費(fèi)時(shí)費(fèi)精力了。而且，后面要理解許多人的問(wèn)題都非常困難，因?yàn)橐岢鲆粋€(gè)正確的相對(duì)論的問(wèn)題也需要一定基礎(chǔ)，有些同學(xué)相對(duì)論的基礎(chǔ)知識(shí)不牢，提的問(wèn)題都是問(wèn)題，那還怎么去理解雙生子佯謬呢？

這就像是游戲里剛出來(lái)就要去打終極BOSS，下場(chǎng)自然可想而知，這也是我為什么現(xiàn)在就這么著急的來(lái)講幾何語(yǔ)言的一個(gè)原因：我實(shí)在不想再回答3維語(yǔ)言的雙生子問(wèn)題了。而且，把自己局限在這幾個(gè)效應(yīng)佯謬?yán)?，也不是什么好事，因?yàn)橹v相對(duì)論的人雖然經(jīng)常講這個(gè)幾個(gè)東西，但是這些東西絕非相對(duì)論的精髓，大家早點(diǎn)從這些框框里跳出去，去感受一下相對(duì)論里更精妙的東西才是好事。

14雙生子佯謬的幾何解釋

好，我們下面來(lái)看看從幾何語(yǔ)言是如何降維解決雙生子佯謬的問(wèn)題的。我們先假設(shè)地球做慣性運(yùn)動(dòng)（忽略地球自轉(zhuǎn)和引力場(chǎng)什么的），以地面系為基準(zhǔn)系，我們?cè)跁r(shí)空?qǐng)D里畫一畫哥哥和弟弟的世界線。

弟弟的世界線簡(jiǎn)單，因?yàn)樗恢贝诘厍驔](méi)動(dòng)，所以他在空間坐標(biāo)里沒(méi)動(dòng)，流逝的只有時(shí)間。那么，弟弟的世界線就是一條跟t軸平行的直線。

哥哥的世界線稍微復(fù)雜一點(diǎn)，但是也很容易。哥哥從地球出發(fā)，去太空浪了一圈再返回地球，這其中的過(guò)程無(wú)非是先加速遠(yuǎn)離地球（加速之后有沒(méi)有勻速我們都不管了），太空里飛了一段時(shí)間要掉頭返回地球，那么其中必定先減速，再反向加速駛向地球，最后還要減速降落在地球上。因?yàn)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)的世界線是一條斜直線，那么加速運(yùn)動(dòng)的世界線就是曲線了，這曲線大致就是下面這個(gè)樣子。

我們用a表示哥哥離開(kāi)地球這個(gè)事件，b表示哥哥返回地球跟弟弟見(jiàn)面這個(gè)事件，那么這個(gè)時(shí)空?qǐng)D就大致是下面這樣的：

問(wèn)題來(lái)了，時(shí)空?qǐng)D在這里，哥哥弟弟的世界線也都畫出來(lái)了，那么如何從圖中判斷哥哥弟弟誰(shuí)更年輕呢？時(shí)空?qǐng)D里縱軸是時(shí)間軸，單從時(shí)間軸來(lái)看，哥哥和弟弟的世界線在時(shí)間軸的投影剛好是一樣長(zhǎng)的，那么是不是這樣就代表哥哥弟弟經(jīng)歷的時(shí)間是一樣長(zhǎng)的呢？如果他們經(jīng)歷的時(shí)間一樣，那么重逢時(shí)哥哥弟弟的年齡就應(yīng)該一樣大啊，那怎么還會(huì)有雙生子佯謬呢？這顯然跟事實(shí)不符。

那么這個(gè)時(shí)間到底要怎么看呢？我們先來(lái)想一想，我們要判斷地球重逢時(shí)誰(shuí)更年輕，其實(shí)就是判斷在事件a和事件b之間哥哥弟弟誰(shuí)自己經(jīng)歷的時(shí)間更長(zhǎng)，我這里特別強(qiáng)調(diào)是自己經(jīng)歷的時(shí)間，為什么要這樣強(qiáng)調(diào)？在牛頓力學(xué)里，時(shí)間是絕對(duì)的，全世界的人都共用一個(gè)時(shí)間，因此這么說(shuō)是多余的。但是在相對(duì)論里時(shí)間是相對(duì)的，不同參考系對(duì)時(shí)間的測(cè)量也是不一樣的（正因如此洛倫茲變換里兩個(gè)系的時(shí)間t和t’是不相等的），那么在哪個(gè)參考系測(cè)量的時(shí)間可以表征一個(gè)人的真實(shí)年齡變化呢？或者換句話說(shuō)，哪個(gè)時(shí)鐘可以表征一個(gè)人年齡的真實(shí)變化呢？

答案顯而易見(jiàn)：只有一直跟自己處于同一個(gè)參考系的時(shí)鐘測(cè)量的時(shí)間才是自己年齡變化的真實(shí)時(shí)間。也就是說(shuō)，只有我口袋里那塊表的走時(shí)才是真正跟我的年齡增長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的，我們把這個(gè)自己隨身攜帶的時(shí)鐘測(cè)量的時(shí)間稱為固有時(shí)。相對(duì)論里時(shí)間是相對(duì)的，倫敦的那口大笨鐘跟我不在一個(gè)參考系，憑什么說(shuō)它的走時(shí)測(cè)量的是我的時(shí)間？

想通了這點(diǎn)，上面的事情就好理解了：我們把哥哥和弟弟的世界線都投影到時(shí)間軸，這其實(shí)得到的是地面系的時(shí)鐘測(cè)量哥哥弟弟經(jīng)歷的時(shí)間，這鐘相等沒(méi)有任何意義。我們得用地面系的時(shí)鐘測(cè)量弟弟的時(shí)間，再用飛船系的時(shí)鐘（也就是哥哥隨身帶的時(shí)鐘）測(cè)量哥哥經(jīng)歷的時(shí)間，也就是哥哥的固有時(shí)，這樣對(duì)比才行。

那么問(wèn)題來(lái)了：根據(jù)時(shí)空?qǐng)D和世界線，我們要如何得到哥哥的固有時(shí)呢？

15世界線和固有時(shí)

在這里，我先給出這個(gè)極為重要的結(jié)論：世界線的線長(zhǎng)等于固有時(shí)。

這句話很短，意思卻很明確，他就是告訴我們時(shí)空?qǐng)D里那個(gè)粒子的世界線的線長(zhǎng)就表征了粒子的固有時(shí)，也就是跟粒子一直保持相對(duì)靜止的時(shí)鐘測(cè)量的時(shí)間。在上面的雙生子佯謬的時(shí)空?qǐng)D里，哥哥和弟弟的世界線都畫出來(lái)了，那么我們可以求出他們的線長(zhǎng)。現(xiàn)在你說(shuō)世界線線長(zhǎng)等于固有時(shí)，那我們要比較哥哥弟弟的固有時(shí)，直接比較他們的世界線線長(zhǎng)就完了。

所以，如果我們知道上述結(jié)論，那么雙生子佯謬這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化為比較哥哥和弟弟世界線的線長(zhǎng)，誰(shuí)的長(zhǎng)一些誰(shuí)經(jīng)歷的時(shí)間就多一些，那誰(shuí)就更老，那問(wèn)題就相當(dāng)簡(jiǎn)單了。因此，現(xiàn)在問(wèn)題的關(guān)鍵就是如何理解上面的結(jié)論：為什么在閔氏時(shí)空里世界線的線長(zhǎng)會(huì)等于固有時(shí)呢？

這個(gè)事情我們可以這樣理解：固有時(shí)是什么？固有時(shí)就是自己隨身帶的時(shí)鐘測(cè)量的時(shí)間，說(shuō)得再準(zhǔn)確一點(diǎn)，那就是跟自己一直處在同一個(gè)參考系里的時(shí)鐘測(cè)量的時(shí)間。因此，如果一個(gè)時(shí)鐘始終跟你處在同一個(gè)參考系里，它自然覺(jué)得你一直是靜止不動(dòng)的。比如，在飛船里的哥哥雖然要經(jīng)歷加速減速運(yùn)動(dòng)，還可能在宇宙里各種浪，但是在飛船里的人和時(shí)鐘看來(lái)，哥哥一直坐在那里沒(méi)動(dòng)。

那么，重點(diǎn)來(lái)了：時(shí)鐘覺(jué)得你不動(dòng)，其實(shí)是覺(jué)得你在空間里沒(méi)動(dòng)，也就是說(shuō)覺(jué)得你在空間上的位移為零。那么，你在時(shí)空（時(shí)間+空間）里移動(dòng)的間隔就將全部由你在時(shí)間上的間隔貢獻(xiàn)（因?yàn)榭臻g沒(méi)動(dòng)，間隔為0）。

什么意思？我們?cè)賮?lái)理一下時(shí)空間隔這個(gè)概念：狹義相對(duì)論統(tǒng)一了時(shí)間和空間，用時(shí)空?qǐng)D上的一個(gè)點(diǎn)表示發(fā)生在某個(gè)時(shí)間某個(gè)空間上的一個(gè)事件，那么兩個(gè)事件肯定就表示為時(shí)空?qǐng)D上的兩個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離（閔氏距離）就是這兩個(gè)事件的時(shí)空間隔。而且，我們還反復(fù)強(qiáng)調(diào)了，閔氏幾何里的時(shí)空間隔，就跟歐式幾何里的空間間隔一樣，它是不會(huì)隨著參考系的變化而變化的。也就是說(shuō)，只要發(fā)生了兩個(gè)事件，那么不管我是在地面系看，還是在飛船系看，這兩個(gè)事件信息雖然不一樣，但是它們的時(shí)空間隔一定是一樣的。

在歐式幾何里，歐式線元是dl2=dx2+dy2，所有在x軸上相隔dx，y軸上相隔dy的兩個(gè)點(diǎn)的空間間隔，或者說(shuō)空間距離也就是dl2=dx2+dy2。同樣的道理，在閔氏幾何里，閔氏線元是ds2=-dt2+dx2，所以，在時(shí)間上和空間上分別相差dt、dx的兩個(gè)事件，它們之間的時(shí)空間隔也就是ds2=-dt2+dx2。

我們現(xiàn)在想知道固有時(shí)，也就是想知道跟自己處在同一個(gè)參考系里的時(shí)鐘的走時(shí)。上面我們已經(jīng)分析了，在自己所處的參考系里，肯定覺(jué)得自己是靜止的，也就是空間間隔dx=0。因?yàn)闀r(shí)空間隔是ds2=-dt2+dx2，把dx=0代入進(jìn)去我們就能得到ds2=-dt2。這就是在上面說(shuō)的，自己參考系里的時(shí)空間隔全部由時(shí)間間隔貢獻(xiàn)的意思。

有了ds2=-dt2，事情就明朗了：dt就是在自己所在參考系里的時(shí)間流逝，而ds是時(shí)空間隔，也就是時(shí)空?qǐng)D上兩點(diǎn)的距離。這個(gè)微分符號(hào)d就是在告訴我們這是兩個(gè)間隔無(wú)窮小的事件，如果我們把許多無(wú)窮小的這種事件累積起來(lái)（也就是對(duì)ds2=-dt2做積分運(yùn)算），那么dt累積起來(lái)就是時(shí)鐘流逝的時(shí)間，也就是固有時(shí)；而把ds累積起來(lái)，也就是把所有相鄰時(shí)空點(diǎn)之間的距離累積起來(lái)，那得到的就是時(shí)空?qǐng)D里這條世界線的長(zhǎng)度。

這就無(wú)可辯駁的向我們證明了：世界線的長(zhǎng)度等于固有時(shí)。

其實(shí)，只要我們理解自己相對(duì)于自己所在的參考系肯定在空間上是靜止的，所以時(shí)空間隔全部由時(shí)間間隔貢獻(xiàn)。而時(shí)空間隔就是時(shí)空?qǐng)D里兩點(diǎn)的距離，這個(gè)距離累積起來(lái)就是世界線的長(zhǎng)度，而時(shí)間間隔累積起來(lái)自然就是這個(gè)參考系里流逝的時(shí)間就行了。上面做的各種簡(jiǎn)單的計(jì)算，無(wú)非就是從數(shù)學(xué)上更加嚴(yán)格地證明了這一點(diǎn)而已。

想通了這點(diǎn)就會(huì)覺(jué)得其實(shí)“世界線長(zhǎng)等于固有時(shí)”是很正常的事情，在一些相對(duì)論的教材里，他們甚至直接拿這個(gè)來(lái)定義標(biāo)準(zhǔn)鐘的。也就是說(shuō)，他們?cè)诮滩牟粫?huì)向你解釋為什么“世界線長(zhǎng)等于固有時(shí)”，而是直接告訴你“只有世界線的線長(zhǎng)等于固有時(shí)的鐘才是標(biāo)準(zhǔn)鐘”，才是準(zhǔn)確的鐘，否則你的鐘是有問(wèn)題的?？梢?jiàn)，在大家眼里，這個(gè)結(jié)論實(shí)在是非常自然的。

16雙生子佯謬之完結(jié)篇

好了，如果我們能夠理解“世界線的線長(zhǎng)等于固有時(shí)”，那么困擾大家多年的雙生子佯謬就瞬間變成了一個(gè)極其簡(jiǎn)單的問(wèn)題。我們?cè)賮?lái)看看雙生子佯謬的時(shí)空?qǐng)D：

比較哥哥弟弟重逢時(shí)誰(shuí)的年齡更大，就是比較他們兩個(gè)的固有時(shí)，就是比較哥哥和弟弟世界線的線長(zhǎng)。那么，他們兩個(gè)的世界線誰(shuí)的更長(zhǎng)一些呢？

其實(shí)這根本都不用定量的去計(jì)算，一眼就能看出弟弟的世界線更長(zhǎng)，因?yàn)殚h氏幾何里線段長(zhǎng)度是時(shí)間和空間項(xiàng)的平方相減之后再開(kāi)方得到的。這個(gè)求線段距離的公式我們前面也說(shuō)了，其實(shí)就是閔氏線元稍微處理一下，如下圖：

所以，如果兩條線在時(shí)間軸上長(zhǎng)度一樣（比如哥哥和弟弟的時(shí)間都是從a到b），那么在空間上走的越多的它的總線長(zhǎng)就越短。弟弟靜止沒(méi)動(dòng)，他的世界線是完全平行于t軸的，在x軸上都沒(méi)有任何分量，也就是Δx=0，所以他的世界線肯定是最長(zhǎng)的。哥哥因?yàn)槿ヌ诊w了一圈，所以空間上的分量Δx>0，那最終得到的S的值肯定就比弟弟更小了。

我們可以想象一個(gè)最極端的情況，我們假設(shè)哥哥以光速運(yùn)動(dòng)，那么它在空間上走的距離就最大。而我們知道光子的世界線長(zhǎng)度為0，所以這時(shí)候哥哥的世界線長(zhǎng)度就是最小值0了，0肯定比弟弟的世界線長(zhǎng)度更小吧。

如果大家對(duì)這種粗略的討論不放心，我們可以換種更精確的方式討論。如下圖，我們把弟弟和哥哥的世界線用很多平行于x軸的虛線分隔開(kāi)，如果我們的分割線足夠多，那么在每一個(gè)小段里哥哥的世界線就可以近似看做一條斜直線，而它的線長(zhǎng)是顯然比弟弟世界線里的那一小段短的（這我們?cè)谏厦嬉呀?jīng)給過(guò)結(jié)論了）。由于每一小段里哥哥的世界線都更短，那么累加起來(lái)的總世界線肯定還是更短了。

總之，大家如果理解閔氏時(shí)空的線長(zhǎng)計(jì)算公式，我相信理解哥哥的世界線更短是非常容易的，而世界線更短就意味著自己經(jīng)歷的時(shí)間（固有時(shí)）更短，那么重逢時(shí)哥哥就更年輕。這樣，雙生子佯謬就是很明顯的事情了。

于是乎，我們發(fā)現(xiàn)讓我們頭疼不已的雙生子佯謬就這樣被解決了。在幾何語(yǔ)言里，復(fù)雜的雙生子問(wèn)題被簡(jiǎn)化到僅僅比較一下哥哥弟弟兩條世界線的線長(zhǎng)就行了，而只要我們理解在閔氏幾何里計(jì)算線長(zhǎng)要用閔氏幾何的方式（ds2=-dt2+dx2）去度量就沒(méi)什么問(wèn)題了。其實(shí)，你也不用覺(jué)得奇怪，把代數(shù)問(wèn)題幾何化之后帶來(lái)問(wèn)題難度的大幅度降低并不是什么奇怪的事情，我們?cè)诔踔懈咧械臄?shù)學(xué)里，不也經(jīng)常借助畫圖去理解函數(shù)、方程的性質(zhì)么？

這樣處理問(wèn)題簡(jiǎn)單是簡(jiǎn)單了，但是細(xì)心的人還是會(huì)有疑慮，他覺(jué)得：雖然你在這個(gè)以地面為基準(zhǔn)系的時(shí)空?qǐng)D里確實(shí)嚴(yán)格地證明了哥哥的世界線更短，所以回來(lái)的時(shí)候更年輕。但是我如果不以地面系為基準(zhǔn)系呢？我在其他的參考系里來(lái)看，來(lái)畫時(shí)空?qǐng)D，比如我要是站在哥哥飛船的視角來(lái)畫時(shí)空?qǐng)D，那結(jié)果會(huì)不會(huì)又不一樣呢？因?yàn)檎f(shuō)到底，大家覺(jué)得雙生子佯謬難以理解，就是因?yàn)槟憧梢哉驹诘艿艿慕嵌?，也可以站在哥哥的角度，這樣一相對(duì)就沒(méi)完沒(méi)了了。

這在以前的思維里確實(shí)是大問(wèn)題，但是，在幾何語(yǔ)言里這確不是問(wèn)題。為什么呢？因?yàn)榫€長(zhǎng)是一個(gè)幾何量，這種幾何量是不會(huì)隨著坐標(biāo)系的變化而變化的（因?yàn)樗鼈兪歉鶕?jù)線元定義的，而線元在不同的坐標(biāo)系里都是一樣的），也就是跟坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。這一點(diǎn)我們?cè)诙S歐式幾何里也可以非常清楚地感覺(jué)到：你在二維歐式平面里有一條線段，那么這條線段的長(zhǎng)度就是固定的。不管你是上下左右的移動(dòng)這個(gè)直角坐標(biāo)系，還是順時(shí)針逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)這個(gè)直角坐標(biāo)系，線段的長(zhǎng)度始終都是一樣的，這一點(diǎn)相信大家不難理解。

那么，同樣的，在閔氏幾何里，不論你選擇哪個(gè)慣性系作為基準(zhǔn)系，一條世界線的線長(zhǎng)都是一樣的。也就是說(shuō)只要哥哥的世界線在一個(gè)參考系里比弟弟的世界線短，那么再所有的慣性參考系里都比弟弟的世界線短。這就跟在歐式幾何里一根木棒只要在一個(gè)直角坐標(biāo)系里比另一根木棒長(zhǎng)，它在所有的直角坐標(biāo)系里都比那根木棒長(zhǎng)一樣的道理。

其實(shí)，我們?cè)僮屑?xì)想一下，當(dāng)初我們?yōu)槭裁催x擇閔氏幾何來(lái)描述狹義相對(duì)論？不就是因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)了在洛倫茲變換下，也就是在慣性參考系之間不論怎么相互轉(zhuǎn)換，ds2=-dt2+dx2作為一個(gè)整體它的值是不變的么？然后我們以ds2=-dt2+dx2為線元建立了閔氏幾何，而在閔氏幾何里曲線的長(zhǎng)度就是根據(jù)這個(gè)線元來(lái)定義的。所以，世界線的長(zhǎng)度在閔氏幾何不同的參考系里肯定就是一樣的，我們也壓根沒(méi)必要舍近求遠(yuǎn)，去選擇更復(fù)雜的參考系給自己找不痛快。

這樣，我們就能消除那個(gè)疑惑，放心大膽的說(shuō)哥哥的世界線更短了。于是，用閔氏幾何討論雙生子佯謬的問(wèn)題就全部結(jié)束了。其實(shí)，只要把幾個(gè)關(guān)鍵的彎轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)雙生子佯謬其實(shí)是非常簡(jiǎn)單的一個(gè)問(wèn)題，它完全不值得我們花費(fèi)那么多的時(shí)間精力在這里繞來(lái)繞去（這個(gè)問(wèn)題跟薛定諤的貓?jiān)谏缛豪锊⒎Q兩大月經(jīng)問(wèn)題），但是不使用幾何語(yǔ)言，這好像也是沒(méi)辦法的事，太復(fù)雜了。相對(duì)論還有非常多精彩的東西等著我們?nèi)ヌ剿靼l(fā)現(xiàn)，在雙生子這棵小樹(shù)上把自己吊死了豈不可惜？閔氏幾何雖然看上去有點(diǎn)怪異，但是當(dāng)我們順著思路慢慢看的時(shí)候，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它其實(shí)也沒(méi)那么奇怪，它不過(guò)就是在歐式線元的前面加了一個(gè)負(fù)號(hào)而已，其他的邏輯跟歐式幾何都幾乎是一模一樣的。