具體的、形象的、抽象的：在高等初等數(shù)學(xué)中使用CPA方法

深圳唐老師乒乓散文及翻譯2025-11-18 08:16

具體的、形象的、抽象的:在高等初等數(shù)學(xué)中使用CPA方法

教師可以通過在不同階段引入概念來幫助學(xué)生建立更深的數(shù)學(xué)理解和信心。

經(jīng)過 勞倫斯·金斯伯格

2025年11月17日

雷切爾·赫斯/伊斯托克

四年前，我得到了一個極好的機(jī)會，成為一個小學(xué)項目的數(shù)學(xué)教練。但是當(dāng)我開始的時候，沒有工作框架，沒有腳本可循。我從零開始。我必須決定我的重點(diǎn)是什么。

我研究了最佳實(shí)踐，我的研究一次又一次地讓我認(rèn)識到被稱為CPA的教學(xué)風(fēng)格(具體的、圖片的、抽象的)。在CPA中，學(xué)生的理解是分階段逐漸建立起來的，從物理(具體)到視覺(圖形)再到傳統(tǒng)的、符號(抽象)階段，大多數(shù)人想到數(shù)學(xué)時都會想到這個階段——一頁紙上的數(shù)字。我開始相信CPA應(yīng)該是我數(shù)學(xué)課的支柱。

基于教育心理學(xué)家杰羅姆·布魯納的工作在20世紀(jì)80年代，CPA被引入新加坡數(shù)學(xué)課程，并在Jo Boaler等數(shù)學(xué)改革者的幫助下，于21世紀(jì)初引入美國。在那段時間里，研究表明CPA有多種好處，不僅包括更好的考試成績，還包括更深的概念理解和數(shù)學(xué)信心的增強(qiáng)——這是當(dāng)問題變得棘手時堅持不懈的重要預(yù)測因素。

這些好處很大程度上歸功于CPA如何創(chuàng)建內(nèi)置支架——給學(xué)生認(rèn)知時間來更好地理解和處理所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)。對于你的賽車手來說，這可能意味著放慢速度去理解他們正在快速執(zhí)行的概念，但可能沒有更深入地吸收。對你的徒步旅行者來說，CPA方法是一個處理數(shù)學(xué)和慢慢學(xué)習(xí)的機(jī)會。最終，兩種類型的學(xué)習(xí)者都會受益。

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注冊會計師在行動

根據(jù)我教小數(shù)的方法，讓我們來看一些CPA的具體例子。第一課著重于對小數(shù)代表什么的具體理解:一個整體的分割。為了理解這一點(diǎn)，我們來看看把一個整體分解成千分之一。

對于具體階段，我們使用十進(jìn)制塊—物理的、有形的塊。通常，在處理整數(shù)時，一個小的單個立方體代表1，一列代表10，一個10x10的“表”代表100，一個大塊代表1，000。但是我教學(xué)生們從他們以前使用過的十個街區(qū)的基礎(chǔ)向后看。在五年級，我們是這樣做的:通常代表1000的大方塊現(xiàn)在代表一個整體，薄片現(xiàn)在是十分之一，列現(xiàn)在是百分之一，小的單個立方體現(xiàn)在是千分之一。這有助于學(xué)生明白，一個整體可以用千分之一或十分之一來創(chuàng)造。根據(jù)課程的不同，我們在一到兩節(jié)課中使用十進(jìn)制數(shù)塊練習(xí)創(chuàng)建十進(jìn)制數(shù)。

接下來，我們用圖畫練習(xí)。我們通過使用百分圖和千分圖來做到這一點(diǎn)。這些圖表代表了我們的整體。學(xué)生用彩色鉛筆在圖表上涂色，代表不同的值。根據(jù)課程的不同，這也可以是一到兩節(jié)課。

在上完具體的和圖示的課后，學(xué)生們準(zhǔn)備學(xué)習(xí)如何加減小數(shù)。首先，我們回到具體階段，我要求學(xué)生通過組合兩個十進(jìn)制值來具體地添加小數(shù)，每個十進(jìn)制值都由塊的組合來表示。我喜歡使用一個位置值圖表，讓學(xué)生用圖表平面上的方塊算出方程式。然后我們用百分圖做類似的事情。當(dāng)我們用圖畫添加時，我喜歡讓學(xué)生用兩種不同顏色的彩色鉛筆直觀地看到添加的過程。

一旦學(xué)生們學(xué)會了如何具體地、形象地解方程，我就教他們傳統(tǒng)的、抽象的加小數(shù)方法的步驟，并仔細(xì)注意小數(shù)點(diǎn)的對齊。

集成CPA

使用注冊會計師是一種實(shí)用的方式來支持您的學(xué)生變得更加舒適和數(shù)學(xué)能力。但是你不需要修改你的課程來使用CPA方法——你可以從整合它開始。這確實(shí)需要一點(diǎn)額外的時間和計劃，但是這段時間給了你的學(xué)生更充分地探索和理解數(shù)學(xué)的機(jī)會。隨著時間的推移，你可能會看到他們的信心和能力在增長。

至于一些具體的證明？以下是一些真實(shí)的學(xué)生對CPA的反思:

“因?yàn)楹芏鄬W(xué)生學(xué)的比較抽象，所以人們不知道除法或者乘法實(shí)際上是干什么的。當(dāng)你長大后，只知道如何解決問題對解決更難的問題沒有幫助，”一名學(xué)生說�！八晕蚁矚gCPA方法，因?yàn)樗鼛椭伊私鈫栴}的實(shí)際含義。”

另一名學(xué)生這樣說:“(注冊會計師)教會了我一種新的方式，那就是……一步一步地走，確保我真正理解并記住了我正在學(xué)習(xí)的東西。我想這種方法會永遠(yuǎn)伴隨著我�！�